10 Poissonprozess

Question 1

(S) Voraussetzungen eines Poisson-Punktprozess (4)

Answer 1

Für einen Poisson-Punktprozess auf R+ nehmen wir an, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) Zwei Zufallsvariablen𝑁𝑎,𝑏 und 𝑁𝑐,𝑑 sind stochastisch unabhängig, falls [𝑎,𝑏] ∩ [𝑐,𝑑] = ∅ für alle 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈ R+ mit 𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 𝑑.
(ii) Die Verteilung einer Zufallsvariable hängt nur von der Länge des Intervalls ab: 𝑁𝑎+𝑠,𝑏+𝑠 und 𝑁𝑎,𝑏 haben für alle 𝑠, 𝑎, 𝑏 ∈ R+ mit 𝑎 < 𝑏 die gleiche Verteilung.

(iii) Es existiert eine Konstante 𝜆 > 0 mit
lim_Δ𝑡→0 𝑃 1(Δ𝑡) / Δ𝑡 =𝜆.

(iv) Es gilt
lim_Δ𝑡→0 P(𝑁Δ𝑡 ≥ 2) / Δ𝑡 = 0.
Das heißt, die W zwei oder mehr Punkte zu sehen, konvergiert schneller gegen Null als die Intervalllänge.

Dann gilt für 𝑡 ≥ 0 und 𝑎,𝑏 ∈ R+ mit 𝑎 < 𝑏:
𝑁𝑡 ist Poisson-verteilt zum Parameter 𝜆𝑡,
𝑁𝑎,𝑏 ist Poisson-verteilt zum Parameter 𝜆(𝑏 − 𝑎).

Question 2

(D) Poisson-Punktprozess, Intensität

Answer 2

Ein System zufälliger Punkte auf R+ heißt Poisson-Punktprozess, wenn es die Bedingungen (i)-(iv) erfüllt.

Die Konstante 𝜆 > 0 aus der Bedingung (iii) heißt Intensität des Poisson-Punktprozesses.

Question 3

(D) Poissonprozess

Answer 3

Ein stochastischer Prozess (𝑁𝑡 )𝑡 ≥0 heißt Poisson-Prozess, falls er als Funktional eines Punktprozesses definiert ist, der (i)-(iv) erfüllt.

Question 4

(S) Äquivalente Definition eines Poissonprozesses (3)

Answer 4

Familie (𝑁𝑡)𝑡≥0 von |N0-wertigen Zufallsvariablen heißt PP mit Intensität 𝜆 > 0 genau dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. 𝑁0 = 0
2. Familie (𝑁𝑡𝑖 − 𝑁𝑡𝑖−1) ist unabhängig (für alle 𝑛∈N und 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < ··· < 𝑡𝑛, 𝑖 = 1, …, 𝑛).
3. 𝑁𝑡 − 𝑁𝑠 ist Poisson-verteilt mit Parameter 𝜆(𝑡 − 𝑠) (0 ≤ 𝑠 < 𝑡).

Question 5

(S) Abstände bei Poisson-Punktprozessen

Answer 5

PPP mit Intensität 𝜆 > 0, (𝑇𝑘 )𝑘 ∈N Folge der Abstände zwischen Punkten des PPP. Dann ist (𝑇𝑘 )𝑘 ∈N Folge iid Zufallsvariablen mit Werten in R+ und es gilt

P(𝑇𝑘 ≥𝑡) = 𝑒^−𝜆𝑡, 𝑘∈N,

d.h. 𝑇𝑘 ist exponential-verteilt mit Parameter 𝜆.

Question 6

(S) Überlagerung von Poissonprozessen (2)

Answer 6

(𝑁^𝑖)𝑖∈{1,…,𝑚} Familie unabhängiger PP jeweils mit Intensität 𝜆i > 0, 𝜆 := ∑𝜆i. Dann gilt

1. Je zwei PP haben keine gemeinsamen Sprünge.
2. (𝑁𝑡)𝑡≥0 mit Nt := ∑i Nt^i ist PP mit Intensität 𝜆.

Question 7

(S) Ausdünnung von Poissonprozessen

Answer 7

𝑁 Poissonprozess mit Intensität 𝜆 > 0, (𝑌𝑛) unabhängige {1,…,𝑚}-wertige Zufallsvariablen, 𝑁𝑗(𝑡)=#{𝑖≤𝑁𝑡 :𝑌𝑖 =𝑗}.

Dann ist für alle 𝑗 aus dem Wertebereich von 𝑌 der Prozess (𝑁𝑗 (𝑡))𝑡 ≥0 ein Poissonprozess mit Intensität 𝜆 P(𝑌𝑖 = 𝑗). Außerdem sind die Prozesse untereinander unabhängig.