5 Kenngrößen von Zufallsvariablen Flashcards
(D) Modalwert, unimodal
Jedes Maxima einer Zähldichte oder einer Dichte von P_X heißt Modalwert der Verteilung P_X von X.
Verteilungen bei denen der Modalwert eindeutig ist, heißen unimodal.
(Bsp) Modalwert von Normalverteilung und Exponentialverteilung (2)
- Der Modalwert der Normalverteilung ist gegeben durch ihren Erwartungswert µ. Der Parameter µ hat direkten Einfluss auf den Modalwert.
- Der Modalwert der Exponentialverteilung Exp(𝜆) ist für alle 𝜆 > 0 durch den Wert 0 gegeben.
Der Parameter 𝜆 hat also keinen Einfluss auf den Modalwert.
(D) Median
Ein Median der Verteilung P_X der Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion F_X ist jeder Wert m mit
F_X(m-) ≤ 1/2 ≤ F_X(m).
(Hier ist F_X(m-) = lim_y↑m F_X(y).)
(D) 𝛼-Quantil
Das 𝛼-Quantil (𝛼 ∈ [0, 1]) der Verteilung P_X mit Verteilungsfunktion F_X ist der Wert u_𝛼 mit
F_X (u_𝛼−) ≤ 𝛼 ≤ F_X (u_𝛼).
(D) Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen
X Zufallsvariable mit diskreter Wertemenge S.
Der Erwartungswert von X ist definiert durch
E[X] := ∑︁ a * P(X = a) = ∑︁ X(𝜔) * P({𝜔}).
(D) Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen
X stetige Zufallsvariable mit Dichte 𝑓.
Der Erwartungswert von X ist definiert durch
E[X] = ∫±∞ x * 𝑓(x) dx.
(L) Eigenschaften von Erwartungswerten (3)
X, Y Zufallsvariablen. Dann gelten folgende Eigenschaften
- Linearität: E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] für alle a,b∈R.
- Für X ≥ 0 (d.h. P(X ≥ 0) = 1) gilt
(a) E[X] ≥ 0,
(b) E[X] = 0 genau dann, wenn P(X = 0) = 1. - Monotonie: Ist X ≤ Y, dann gilt E[X] ≤ E[Y].
(D) Varianz und Kovarianz
X, Y Zufallsvariablen.
Die Varianz von X ist definiert durch
Var[X] := E[(X − E[X])^2].
Die Kovarianz von X und Y ist definiert durch
Cov[X,Y] = E[(X − E[X]) (Y − E[Y])].
Insbesondere ist Var[X] = Cov[X,X] und Cov[X,Y]=0, falls X und Y unabhängig sind.
(D) Korrelationskoeffizient, unkorreliert
Der Korelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen X, Y ist
𝜌𝑋,𝑌 := Cov[X,Y] / √Var[X]√Var[Y].
Ist Cov[X,Y] = 0, dann ist 𝜌𝑋,𝑌 = 0 und man sagt, die Zufallsvariablen sind unkorreliert.
(S) Eigenschaften der Varianz (5)
𝑋,𝑋1,…,𝑋𝑛 Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten. Es gilt
(i) Var[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎^2 Var[𝑋],
(ii) Var[𝑋] ≥ 0,
(iii) Var[𝑋] = 0 gilt genau dann, wenn P(𝑋 = E[𝑋 ]) = 1,
(iv) Var[𝑋1 + … +𝑋n] = ∑ Var[𝑋i] + 2 ∑ikleinerj Cov[Xi,Xj]
(v) Sind die Zufallsvariablen 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛 paarweise unkorreliert, dann gilt Var[𝑋1 + … +𝑋n] = ∑ Var[𝑋i].
(L) E[X^2], E[XY]
𝑋,𝑌 reelle Zufallsvariablen mit E[𝑋^2] < ∞ und E[𝑌 ^2] < ∞. Dann gilt
Var[𝑋] = E[𝑋^2] − (E[𝑋])^2 und Cov[𝑋,𝑌] = E[𝑋𝑌] − E[𝑋] E[𝑌].
(D) Varianz und Kovarianz stetiger Zufallsvariablen (2)
- X reelle ZV mit Dichte f. Dann ist die Varianz von X
Var [X] = ∫±∞ (x - E[X])^2 f(x) dx - X, Y reelle ZV mit gemeinsamer Dichte fXY
Cov[X,Y] = ∫±∞ (x - E[X])(y - E[Y]) f(x,y) dxdy
(L) Eigenschaften der Kovarianz
𝑋, 𝑌, 𝑋1, 𝑋2 Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten. Dann gilt
(i) Cov[𝑋,𝑌] = Cov[𝑌,𝑋],
(ii) Cov[𝑋,𝑎] = 0 für alle 𝑎∈R,
(iii) Cov[𝑎1𝑋1 + 𝑎2𝑋2, 𝑌 ] = 𝑎1 Cov[𝑋1, 𝑌 ] + 𝑎2 Cov[𝑋2, 𝑌 ] für alle a1,a2∈R.
(L) Erwartungswert transformierter Zufallsvariablen (stetig)
𝑋 stetige Zufallsvariable mit Dichte 𝑓 , P(𝑋 ∈ 𝑆) = 1 für ein 𝑆 ⊂ R und h : 𝑆 → R messbar. Dann gilt für den Erwartungswert von h (𝑋) (sofern wohldefiniert)
E[h(X)] = ∫-∞+∞ h(x) f(x) dx.
(L) Erwartungswert transformierter Zufallsvariablen (diskret)
𝑋 diskrete Zufallsvariable mit P(𝑋 ∈ 𝑆) = 1 und h : 𝑆 → R. Dann ist h(𝑋) eine diskrete Zufallsvariable und für den Erwartungswert gilt (sofern wohldefiniert)
E[h(X)] = ∑𝑎∈𝑆 h(a) P(X=a).
