7 Teilbarkeit

Question 1

Wie lautet die Definition für Primzahlen?

Answer 1

Zahlen, dir man nur durch 1 und durch die Zahl selbst teilen kann, heißen Primzahlen. Die Zahl 1 ist keine Primzahl.

Eine natürliche Zahl >1, die nur triviale Teiler besitzt
-,,- ,die keine echten Teiler besitzt

Question 2

Was besagt der Satz vom kleinsten Primteiler?

Answer 2

Die kleinste von der Zahl 1 verschiedene Teiler einer natürlichen Zahl ist stets eine Primzahl.

Question 3

Was besagt der Satz von Euklid?

Answer 3

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Question 4

Welcher Satz ergibt sih aus der Erkenntnis, dass 3=2hoch2 -1hoch2
5=3hoch2 - 2hoch2
7=4hoch2-3hoch2

Answer 4

Jede ungerade Zahl lässt sich eindeutig als Differenz zweier natürlicher (benachbarter) Quadratzahlen darstellen.

Question 5

Nenne die Primzahlen

Answer 5

2,3,5,7,
11,13,17,19,
23,29,
31,37,
41,43,47,
53,59,
61,67,
71,73,79,
83,89,
97,
101,103,107,109,
113,
127,
131,139,
149,
151,157,
163,167,
173,179,
....

Question 6

Welchen Algorithmus gibt es zur Erarbeitung aller Primzahlen bis 100?

Answer 6

Das Sieb des Eratosthenes

• 1 ist keine Primzahl
• 2 ist die erste Primzahl, streiche deren Vielfache
• 3 ist nächste Primzahl, streiche deren Vielfache
• kreise nächste nicht durchgestrichene Zahl ein und streiche deren Vielfache
• arbeite so weiter

Question 7

Was besagt der Satz von der Exisenz einer Primfaktorzerlegung?

Answer 7

Jede natürliche Zahl n>1 besitzt eine PFZ

Question 8

Was besagt der Satz von der Eindeutigkeit einer PFZ - Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie?

Answer 8

Jede natürliche Zahl n>1 besitzt (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) genau eine Primfaktorzerlegung.

Question 9

Wie sieht die normierte Primfaktorzerlegung aus?

Answer 9

• Anordnung der Größe nah
• Zusammenfassung gleicher Primzahlen (hoch)
• hoch eins muss nicht geschrieben werden

Question 10

Wie kann der ggT berechnet werden?

Answer 10

• Aufschreiben beider Teilermengen und vergleichen, dabei keine Auslassungen
• euklidischer Algorithmus (größere Zahl = nx kleinere Zahl + Rest, kleinere Zahl = nx Rest + Rest 1 , Rest = nx Rest 1 + Rest 2) bis +0 (0 hinschreiben!!)
• Venn Diagramm
• PFZ ((Multiplikation der) gemeinsamen Primfaktoren, inklusive gemeinsamer Potenz)

Question 11

Wann ist eine Lineare diophantische Gleichung lösbar?

Answer 11

LdG c=ax+by ist lösbar, wenn der ggT (a,b) I c

Question 12

Wie kann das kgV ermittelt werden?

Answer 12

• mit PFZ (Multiplikation der Primfaktoren, in der höchsten Potenz, bei 2hoch7 und 2hoch9, wir 2hoch9 genommen)
• Vergleich von Vielfachenmengen

Question 13

Wie kann der ggT bzw das kgB berechnet werden, falls eine Größe bereits bekannt ist?
Satz vom Zusammenhang von ggT und kgV

Answer 13

Formel: axb=kgV x ggT

• ggT = (axb) : kgV
• kgV = (axa) : ggT

Erleichtert die Bestimmung des kgV bei großen Zahlen!