3 Zahlbegriff Flashcards
Welche Zahlaspekte gibt es?
- Kardinalzahlaspekt: Anzahl, wie viele?
- Ordinalzahlaspekt: Rangplatz, der wievielte?
- Maßzahlaspekt: Einheit, wie teuer/lang/schwer?
- Operatoraspekt: Vielfachkeit, wie oft?
- Rechenzahlaspekt: Rechnen mit Rechengesetzen
- Codierungsaspekt: Bennenung
Welche Zahlbereiche gibt es?
- Natürliche Zahlen N={0,1,2,3,…}
- Ganze Zahlen Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,…}
- Rationale Zahlen Q={…-1/3,…,-1/2,…,0,…,1/4,…,2/3,…,2/1,…}, Q+ nur die positiven, d.h. Konkrete Objekte
- Reelle Zahlen R= auch Wurzeln und periodische Zahlen
- Komplexe Zahlen C
WICHTIG: komplexere Zahlbereiche umfassen auch immer die vorrigen, also Rationale Zahlen enthalten z.B. Auch Ganze und Natürliche Zahlen!
Welche Zahlbereiche sind in der Grundschule relevant?
- Natürliche Zahlen, Geldbeträge werden in Euro und Cent aufgeteilt
- auch Uhrzeit, Tage, Wochen etc. werden eingeführt
PEANO-Axiome legen die Eigenschaften der NATÜRLICHEN Zahlen beschreibend fest. Nenne sie.
P1: “0” ist der Zählanfangt und einer natürliche Zahl. Umstritten, daher gilt: N ={1,2,3,…} ; N0 ={0,1,2,3,…}
P2: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine natürliche Zahl, die deren Nachfolger ist.
P3: “0” ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
P4: Jede natürliche Zahl n ist ein Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
P5: Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n’, so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen.
Was erfordern Zahlbereichserweiterungen? (85)
- Wandel der Zahlvorstellungen
- Wandel der Vorstellungen zu Rechenoperationen
- Wandel der Vorstellungen zu Zahldarstellungen
Grundvorstellungen beschreiben Beziehungen zwischen Mathematik, Individuum und Realität. Sie unterstützen…
.
.
.
- die Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sach- oder Handlungszusammenhänge bzw. Handlungsvorstellungen.
- den Aufbau entsprechender (visueller) Repräsentationen bzw. ‘Verinnerlichungen’, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen.
- die Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die WIrklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellierungen des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur.
Was besagt das E-I-S - Prinzip?
Enaktiv: Erfassung von Sachverhalten durch eigene Handlungen (Einsatz von Materialien)
Ikonisch: Erfassung von Sachverhalten durch Bilder und Grafiken (Schulbuch, bildhaft)
Symbolisch: Erfassung von Sachverhalten durch verbale Mitteilungen oder im Zeichensystem (rein formal, symbolisch)
Rechengesetze folgen dem Permanenzprinzip. Das heißt, dass bekannte Regeln beibehalten werden.
Welche gibt es?
- Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
- Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)
- Neutrales Element (bei Addition 0 und bei Multiplikation 1)
- Inverses Element (gegenteiliges Element um neutrales Element zu erhalten)
- Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) ax(b+c)=axb+axc es ist egal ob erst addiert oder multipliziert wird
Zahlbereichserweiterung:
In welchen Klassenstufen werden welche Zahlenräume erfasst?
- SJ: 0-20
- SJ: bis 100
- SJ: bis 1000
- SJ: bis/über 1 000 000
Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 20
- Simultanerfassung und Zählfähigkeit
- versch. Abstraktionsebenen (konkret, bildhaft, symbolisch)
- Orientierung im Zahlenraum (Ordinalzahl, Größenvergleiche, Zahlreihen, Anordnungen)
- Gleichwertigkeit (Terme) und Zahlzerlegung
Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 100
- Strukturierungen und Bündelungen
- Stellenwertschreibweise (HZE)
- Abstraktionsebenen
- Orientierung
- Gleichwertigkeit (Terme) und Zahlzerlegung (additiv UND multiplikativ)
Traditionell werden die Zahlenräume gestuft gelernt. Wie sieht diese Stufung (bis 20) im Detail aus?
1 - 5 oder 6 (Würfelaugen) 0 6 - 10 0 - 10 11 - 20 0 - 20
Wie sieht die ganzheitliche Erschließung des Zahlenraums bis 20 aus?
- spielerische Orientierung:
. Mengen, Anzahlen, Zahlenreihe, Einführungsspiel, Zahlzerlegung, Geldbeträge - Vertiefung, didaktisches Material:
. Zahlen in Umwelt, Wendekarten, 20erreihe, Zahlzerlegung, Geldbeträge, Ordnungszahlen
Was eignet sich gut zur Erschließung der Zahlenräume?
- verschiedene Darstellungsformen (konkret durch Mengen, bildlich durch Darstellung, symbolisch durch Zahlzeichen und-wörter)
- Kindern müssen die Deutung und Verbindung der Repräsentationsformen selbst konstruieren
- ausgeprägte Zahlvorstellung erleichtert Umgang und Rechnen
- Wechsel der Repräsentationsformen um Strukturen zu verdeutlichen
Welche Tipps gibt es für die Umsetzung der Erschließung der Zahlenräume im Unterricht?
- systematische und verständnisbasierte Erarbeitung
- Schätzen und Zählen
- Gefühl für größere Anzahlen entwickeln
- Nachdenken über genaue Anzahlestimmung (Strukturen)
- Bündeln
— bei größeren Zahlen wird die Vermittlung der Größenvorstellung schwieriger, weil Hunderter oder Tausender schwer analog übertragen werden können - Bedeutung des Stellenwertverständnisses!!
Welche möglichen Schreibweisen für Zahlen gibt es?
Schreibweise mit Zehnern und Einern 4Z5E Summenschreibweise 40 + 5 Zahlwortschreibweise fünfundvierzig Stellentafel (Tabelle mit ZE) Ziffernschreibweise 45 Punkt-Strich-Schreibweise (Strich für Zehner, Punkte für Einer
Welche Problematik weist das deutsch Zahlsystem auf?
(Zahlendiktat)
Fünfundzwanzig = 52 ??? Verwirrung
Um die Vermittlung von größeren Größenvorstellungen (Hunderter, Tausender) zu erleichtern, sollte man auf SACHSITUATIONEN zurückgreifen, da die analoge Darstellung schwierig wird. Nenne Beispiele für Sachsituationen.
- Wie viele Buntstifte haben alle Kinder der Schule?
- Wie viele Minuten hast du an einem Tag Unterricht?
- Ein Stapel mit 500 Blättern ist ca. 5 cm hoch. Wie hoch ist ein Stapel mit 1000 (oder mehr) Blättern?
Welche Bedeutung hat die Zahlzerlegung?
4 =2+2 =1+1+1+1 =2+1 =....
- zentrale Bedeutung für das kardinale Zahlverständnis
- Vorbereitung auf Addition und Subtraktion sowie Rechenstrategien
- Zerlegen erfolgt durch KONKRETE Handlungen (Bilder, Symbole)
“Kein Zahlenraum ohne Stellenwertdenken!” - Gaidoschik
- lange geschichtliche Entwicklung des Stellenwertsystems
- ökonomisch, übersichtlicht und abstrakt
- hat röm. Zahlschrift abgelöst
Wie werden die Fähigkeiten im Bereich Zahlbereichnungen, Zahlvorstellungen, Zahlbeziehungen und Zahlverknüpfungen ausgebaut?
- Zahlbezeichnungen
oooo (Repräsentant) - vier (Name)
4 (Symbol) - vier (Wort)
Dreirad (Wort) - drei (Wort) - Zahlvorstellungen
Name - Repräsentant, Darstellung - Zahlbeziehungen
Ordnen nach Größe, Vorgänger u Nachfolger, Unterschied (insb. um Zehnerpotenzen) - Zahlverknüpfungen
Vier Grundrechenarten, Rechengesetze anwenden
Eigene Zählstrategien (Bsp. Sofa Eierkartons, Kugelpyramide)
Welchen Sinn hat das?
- Alltagsbezug zu Addition, Multiplikation, Vorstellung, Schätzen, Überschlagen
- Aufgabe des MaU: räuml. Vorstellungsvermögen und visuelle Wahrnehmung ausbilden
- es gibt nicht EINEN Lösungsweg, Kinder sollen ihren eigenen finden
Der Erwerb der Zahlwortreihe lässt sich mittels fünf verschiedener Zählprinzipien beschreiben:
(1) Eindeutigkeitsprinzip: Zuordnung Anzahl zu Zahlwort
(2) Prinzip der stabilen Ordnung: feste Reihenfolge und keine Auslassung der Zahlworte
(3) Kardinalzahlprinzip: zuletzt genannte Zahl (im Abzählprozess) gibt die Anzahl der Elemente der abgezählten Menge an
(4) Abstraktionsprinzip: (1)-(3) lassen sich auf beliebige Menge anwenden, Art der Objekte ist egal
(5) Prinzip von der Irrelevanz der Anordnung: Anordnung der zu zählenden Objekte ist für Zählergebnis irrelevant
Grundvorstellungen sollten …
… den mathematischen Kern des Konzepts erfassen
… in der Lebenswelt verankert sein
… “allgemeinverbindlich” sein.
Sie sind normativ und deskriptiv.
Warum sind Grundvorstellungen Hürden? Welche Konsequenzen gibt es daraus?
- bedeuten Wandel und daher Hürdern im Lernprozess und Fehlerquellen
- Konsequenz: Ausbilden tragfähiger GV zu den “neuen” Zahlen, damit sie zu eigenständigen Denkobjekten werden.
Was sind Grundvorstellungen und wozu brauchen wir sie?
Was ist das?
- Bezug Mensch, Individuum, Mathematik
- Verständnis der SuS von der Mathematik
- Basis, auf der Mathematiklernen aufgebaut wird
Wozu brauchen wir sie?
- Erfragen der Vorstellungen und des Vorwissens
- Notwendigkeit zur Kommunikation
- Begriffen einen Sinn geben
Mathematischer Begriff wird nicht nur durch eine, sondern eher durch mehrere Grundvorstellungen erfasst. Wie verläuft die Entwicklung von GV?
- Primäre GV (konkrete Handlungsvorstellungen) werden zunehmend ersetzt durch sekundäre GV (mit Hilfe mathematischer Darstellungsmöglichkeiten)
Welche Probleme ergeben sich aus Grundvorstellungen?
- Begriffe werden von SuS oft anders gedeutet
- Dissonanzen: Begriffe und Verfahren werden als unlogisch empfunden
- Ausweg: inhaltsleere Zeichen, auswendig gelernte Regel
- MaU als sinnlos empfunden
-> GV sind nicht stabil oder für allemal gültige Werkzeuge
Daher muss Netzwerk ausgebildet werden: Erweiterung von alten Vorstellungen, Zugewinn von neuen Vorstellungen
Welche 4 Dimensionen umfassen Grundvorstellungen?
- Handlung (Rechengeschichte mit Handlungen unterstützen)
- Sprache (Rechengeschichte erzählen)
- Bild (zeichnen)
- Symbol (Term/Gleichung)
