3 Zahlbegriff Flashcards
Welche Zahlaspekte gibt es?
- Kardinalzahlaspekt: Anzahl, wie viele?
- Ordinalzahlaspekt: Rangplatz, der wievielte?
- Maßzahlaspekt: Einheit, wie teuer/lang/schwer?
- Operatoraspekt: Vielfachkeit, wie oft?
- Rechenzahlaspekt: Rechnen mit Rechengesetzen
- Codierungsaspekt: Bennenung
Welche Zahlbereiche gibt es?
- Natürliche Zahlen N={0,1,2,3,…}
- Ganze Zahlen Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,…}
- Rationale Zahlen Q={…-1/3,…,-1/2,…,0,…,1/4,…,2/3,…,2/1,…}, Q+ nur die positiven, d.h. Konkrete Objekte
- Reelle Zahlen R= auch Wurzeln und periodische Zahlen
- Komplexe Zahlen C
WICHTIG: komplexere Zahlbereiche umfassen auch immer die vorrigen, also Rationale Zahlen enthalten z.B. Auch Ganze und Natürliche Zahlen!
Welche Zahlbereiche sind in der Grundschule relevant?
- Natürliche Zahlen, Geldbeträge werden in Euro und Cent aufgeteilt
- auch Uhrzeit, Tage, Wochen etc. werden eingeführt
PEANO-Axiome legen die Eigenschaften der NATÜRLICHEN Zahlen beschreibend fest. Nenne sie.
P1: “0” ist der Zählanfangt und einer natürliche Zahl. Umstritten, daher gilt: N ={1,2,3,…} ; N0 ={0,1,2,3,…}
P2: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine natürliche Zahl, die deren Nachfolger ist.
P3: “0” ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
P4: Jede natürliche Zahl n ist ein Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
P5: Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n’, so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen.
Was erfordern Zahlbereichserweiterungen? (85)
- Wandel der Zahlvorstellungen
- Wandel der Vorstellungen zu Rechenoperationen
- Wandel der Vorstellungen zu Zahldarstellungen
Grundvorstellungen beschreiben Beziehungen zwischen Mathematik, Individuum und Realität. Sie unterstützen…
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- die Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sach- oder Handlungszusammenhänge bzw. Handlungsvorstellungen.
- den Aufbau entsprechender (visueller) Repräsentationen bzw. ‘Verinnerlichungen’, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen.
- die Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die WIrklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellierungen des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur.
Was besagt das E-I-S - Prinzip?
Enaktiv: Erfassung von Sachverhalten durch eigene Handlungen (Einsatz von Materialien)
Ikonisch: Erfassung von Sachverhalten durch Bilder und Grafiken (Schulbuch, bildhaft)
Symbolisch: Erfassung von Sachverhalten durch verbale Mitteilungen oder im Zeichensystem (rein formal, symbolisch)
Rechengesetze folgen dem Permanenzprinzip. Das heißt, dass bekannte Regeln beibehalten werden.
Welche gibt es?
- Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
- Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)
- Neutrales Element (bei Addition 0 und bei Multiplikation 1)
- Inverses Element (gegenteiliges Element um neutrales Element zu erhalten)
- Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) ax(b+c)=axb+axc es ist egal ob erst addiert oder multipliziert wird
Zahlbereichserweiterung:
In welchen Klassenstufen werden welche Zahlenräume erfasst?
- SJ: 0-20
- SJ: bis 100
- SJ: bis 1000
- SJ: bis/über 1 000 000
Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 20
- Simultanerfassung und Zählfähigkeit
- versch. Abstraktionsebenen (konkret, bildhaft, symbolisch)
- Orientierung im Zahlenraum (Ordinalzahl, Größenvergleiche, Zahlreihen, Anordnungen)
- Gleichwertigkeit (Terme) und Zahlzerlegung
Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 100
- Strukturierungen und Bündelungen
- Stellenwertschreibweise (HZE)
- Abstraktionsebenen
- Orientierung
- Gleichwertigkeit (Terme) und Zahlzerlegung (additiv UND multiplikativ)
Traditionell werden die Zahlenräume gestuft gelernt. Wie sieht diese Stufung (bis 20) im Detail aus?
1 - 5 oder 6 (Würfelaugen) 0 6 - 10 0 - 10 11 - 20 0 - 20
Wie sieht die ganzheitliche Erschließung des Zahlenraums bis 20 aus?
- spielerische Orientierung:
. Mengen, Anzahlen, Zahlenreihe, Einführungsspiel, Zahlzerlegung, Geldbeträge - Vertiefung, didaktisches Material:
. Zahlen in Umwelt, Wendekarten, 20erreihe, Zahlzerlegung, Geldbeträge, Ordnungszahlen
Was eignet sich gut zur Erschließung der Zahlenräume?
- verschiedene Darstellungsformen (konkret durch Mengen, bildlich durch Darstellung, symbolisch durch Zahlzeichen und-wörter)
- Kindern müssen die Deutung und Verbindung der Repräsentationsformen selbst konstruieren
- ausgeprägte Zahlvorstellung erleichtert Umgang und Rechnen
- Wechsel der Repräsentationsformen um Strukturen zu verdeutlichen
Welche Tipps gibt es für die Umsetzung der Erschließung der Zahlenräume im Unterricht?
- systematische und verständnisbasierte Erarbeitung
- Schätzen und Zählen
- Gefühl für größere Anzahlen entwickeln
- Nachdenken über genaue Anzahlestimmung (Strukturen)
- Bündeln
— bei größeren Zahlen wird die Vermittlung der Größenvorstellung schwieriger, weil Hunderter oder Tausender schwer analog übertragen werden können - Bedeutung des Stellenwertverständnisses!!
