4 Kopfrechnen Flashcards
Was gilt es beim Kopfrechnen zu beachten?
- Grundbaustein des Rechnens
- Vorausetzung für Rechenstrategien und heuristische Strategieren (schriftliches Rechnen und Zahlsätze 1+1 1x1)
- Kopfrechnen entlastet die Konzentration und das Gedächtnis bei komplexen Aufgaben (10er Übergang, Zerlegung, Verdoppeln)
- wichtig für außerschulische Situationen (Schätzen, Überschlagen)
- müssen erst konkrete Handlungen nachvollziehen dann Denkhandlungen!
- erst verstehen und dann üben! Automatisierung heißt Verstehen und nicht Auswendiglernen!
Welche Ziele und Anforderung im Kopfrechnen gibt es im 1. und 2. SJ?
- Zahlenraum bis 100
- strukturierte Anzahlen schnell erfassen (z.B. Am Zwanzigerfeld)
- auf Stufenzahlen ergänzen
- mit Zehnerzahlen rechnen
- vorwärts- und rückwärts in Schritten zählen (z.B. 2,4,6,…)
- verdoppeln und halbieren
- automatisierte Wiedergabe des kleinen 1+1 (und Umkehrungen sicher ableiten) VORHERIGES VERSTEHEN!!
Welche allgemeinen Bereiche und Ziele des Kopfrechnens gibt es?
- Erfassung von Anzahlen
- Zählen in Schritten
- Zahlzerlegung bis 10 auswendig
- verdoppeln und halbieren
- beherrschen 1+1 und 1x1
- analoge Übertragung auf größere Zahlenräume
- Zerlegung in Stellenwerte (536=500+30+6)
- Ergänzung auf Stufenzahlen (567+….=1000)
- rechnen einfache Aufgaben mit Zehner, Hunderter und Tausenderzahlen
Worin liegt der Unterschied zwischen der Abbildungs- und der Verknüpfungsauffassung in der Addition?
Bsp: 5 + 3 = 8
Abbildungsauffassung: (dynamischer Aspekt)
- 1. Summand als Zustand, der durch Operator in neuen Zustand gebracht wird, Addition erscheint als Vorgang, daher dynamischer Aspekt der Addition (Darstellung auf Linie mit +3 Bogen)
Verknüpfungsauffassung: (Verkettung von Operatoren)
- beide Summanden als aneinandergesetzte Pfeile, statischer Charakter, Verkettung von Operatoren
Nenne die Additionsgesetze und die Klassenstufe
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a+b=b+a
Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz): (a+b)+c=a+(b+c)
- beide ab 1. Klasse
Neutrales Element ist 0
Monotoniegesetz: Wenn zwischen zwei Zahlen a und b die Größer- oder Gleichheitsrelation besteht, dann gilt die Relation auch dann, wenn ich eine Zahl auf jeder Seite addiere. A=B -> A+C=B+C ; a<b> a+c<b></b></b>
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Vereinigen” (Addition).
- a+b=x Anja hat 4 Bonbons, Babs hat 4 Bonbons. Wie viele Bonbons haben sie zusammen? (Vereinigunsmenge unbekannt)
- a+x=b Anja und Babs haben zusammen 12 Bonbons. Anja hat 4 Bonbons. Wie viel Bonbons hat Babs? (Eine Teilmenge unbekannt)
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Ausgleichen” (Addition).
- Anja hat 4 Bonbons. Babs hat 8 Bonbons. Wie viel Bonbons muss Anja bekommen, um genau so viele Bonbons zu haben wie Babs?
A+x=b
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Hinzufügen” (Addition).
- Anja hat 4 Bonbons. Babs gibt ihr 8 Bonbons dazu. Wie viele Bonbons hat Anja danach? A+b=x (Ergebnis/ Ausgabe unbekannt)
- Anja hat 4 Bonbons. Babs gibt ihr jetzt einige Bonbons dazu. Danach hat Anja 12 Bonbons. Wie viel Bonbons gibt ihr Babs? A+x=b (Veränderung/ Operator unbekannt)
- Anja hat einige Bonbons. Babs gibt ihr 8 dazu. Danach hat Anja 12 Bonbons. Wie viel Bonbons hatte Anja ursprünglich? X+a=b
(Start/ Eingabe unbekannt)
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Vergleichen” (Addition).
- Babs hat 8 Bonbons. Anja hat 4 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Babs mehr als Anja? A+x=b (Unterschied unbekannt)
- Anja hat 4 Bonbons. Babs hat 4 Bonbons mehr als Anja. Wie viele hat Babs? A+b=x (Vergleichsgröße unbekannt)
- Babs hat 8 Bonbons. Sie hat 4 Bonbons mehr als Anja. Wie viele Bonbons hat Anja? A+x=b (andere Vergleichsgröße unbekannt)
Auf welche Zählstrategien greifen Schulanfänger bei der Addition zurück? Worin liegt die Problematik dabei?
- Schulanfänger addieren zählend durch vollständiges Auszählen und durch Weiterzählen (vom ersten Summanden aus/ vom größeren Summanden aus/ vom größeren Summanden in größeren Schritten aus)
Probleme: fehleranfällig, aufwändig, kein Bedürfnis des Einprägens, lassen wenig Zusammenhänge zwischen den Aufgaben erkennen, Größenvorstellungen bleiben aus - daher: Anfangs ok, ab spätestens Anfang der zweiten Klasse sollte das zählende Rechnen nicht mehr erfolgen.
- später: heuristische Strategien und eingeprägte Gleichungen
- typische Fehler beim Weiterzählen: Eins-Abweichung nach unten
Welche heuristischen Strategien gibt es in der Addition?
- Reduktion der 1+1 Aufgaben durch Tauschaufgaben (4+2=2+4)
- Analogieaufgaben (5+2, 15+2)
- Verdopplungsaufgabe (4+4=8, 6+6=12)
- Fastverdopplungsaufgaben (4+5)
- Nachbaraufgaben (6+4+1=5+5+1=10+1=11)
- Schrittweises Rechnen (6+8=6+4+4=14)
- Gegensinniges Verändern ( tlw. Auch gleichsinnig genannt) (6+8=7+7=14)
Wie viele Aufgaben umfassen die Grundaufgaben der Addition?
- das kleine Einspluseins (bis max. 10+10)
- 121 Aufgaben
- inklusive Subtraktion als Umkehraufgaben
- Beherrschung Ende Klasse 1
- > Subtraktion als Umkehrung, daher eingeprägte Gleichungen auch in der Subtraktion
Subtraktion:
Welche Aufgabentypen gibt es?
- Abziehen oder Wegnehmen (A hat 8 Bonbons. Sie gibt D 5 Bonbons. Wie viele bleiben A noch?)
- Vergleichen (A hat 8 Bonbons. D hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons hat A mehr?)
- Ergänzen (D hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons muss D bekommen um insgesamt 8 zu haben?)
- Vereinigen (A hat 8 Bonbons. 5 sind Karamell, der Rest saure. Wie viele saure Bonbons hat sie?)
Welche heuristischen Strategien gibt es in der Subtraktion?
Analogieaufgaben 7-3, 17-3 Nachbaraufgaben 17-8 lösen über 18-8 Halbierungs- bzw. Fasthalbierungsaufgaben 12-6, 11-6 oder 12-5 Schrittweises Rechnen 14-6=14-4-2 Umkehraufgaben 17-9=x, 9+x=17
Überblick über Addition und Subtraktion: Rechnen und Rechenstrategien
Zählstrategien -> Zählen
Heuristische Strategien -> Rechnen
Eingeprägte Gleichungen -> Wissen
Konsequenzen für den Unterricht (Addition und Subtraktion)
Gibt es leichte oder schwierige Aufgaben?
- zeitnahe Behandlung von A und S
- Behandlung des gesamten Zahlenraums
- Tägliche Rechengeschichten (Simulation: Rollenspiel, Material, Protokoll, Gleichung; Bildergeschichten; Variation der gesuchten Größe; operative Veränderungen)
- handelbare Situationen leichter
- Grundaufgaben mit gesuchtem Ergebnis leichter als mit gesuchter Veränderung
- Addition nicht leichter als Subtraktion
Wie kann das kleine 1+1 produktiv geübt werden?
- Fördern flexiblen Denkens durch Herstellen, Erkennen und Anwenden vielfältiger Beziehungen
- durch variieren der Aufgabenrichtung und der nahe liegenen Strategien, Anlässe zum Reflektieren
- Geeignete Mittel: Spiele, intelligente Aufgabenformate (Zahlenmauern), systematisches Variieren von Daten, Rechenkonferenzen und Nimm Stellung Aufgaben
Operatives Üben (Addition und Subtraktion)
- Variieren von Daten 17-9, 16-9
Dann 17-9, 17-8
Ziel: Entdecken von Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen
- Automatisieren durch operatives Üben
Wie sind die Vorkenntnisse zu Beginn des zweiten Schuljahres und welche informellen Strategien wenden die Kinder an? (Multiplikation)
- Vorkenntnisse enorm, multiplikative Situationen können gelöst werden
- informelle Strategien: direktes Modellieren mit Material und Auszählen, rhytmisches Zählen, Benutzung von Zahlenfolgen, wiederholtes Addieren, multiplikatives Rechnen mit bekannten Aufgaben
Welche Grundvorstellungen gibt es in der Multiplikation? (Aspekte und weitere Kontexte)
- zeitlich-sukzessiver Aspekt: dynamische Komponente, Gesamtmenge entsteht Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung, z.B. anhand von Handlungen
- räumlich-simultaner Aspekt: statische Komponente, Vereinigungsmenge liegt vor, keine Handlung wird durchgeführt
- Kartesisches Produkt (ungeeignet): kombinatorischer Aspekt, Bestimmung aller möglichen Kombinationen (Kreuzprodukt)
- Multiplikativer Vergleich (Katja dreimal so viel Geld wie Rita ausgegeben)
- Multiplikatives Ändern (bei Gewinn wird der Einsatz verdoppelt)
- Proportionalität (Eine Klospülung verbraucht 9l Wasser. Wie viel verbrauchen 5 Klospülungen?)
- Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren (im ersten Jahr verdreifacht Kind sein Gewicht, im zweiten Jahr verdoppelt es dieses)
- Formelhafte Multiplikation von Größen (Pool ist 3m breit und 5m lang. Welchen Flächeninhalt hat er?)
Über welchen Zugang lernen die SuS die Multiplikation am besten?
- am besten räumlich-simultane und zeitlich-sukzessive Situationen
- multiplikativer Vergleich ist mittelschwer
- kombinatorische Fragestellungen sind schwierig (Nachteile: Arbeitsmittel eingeschränkt verfügbar, Vorerfahrungen gering, enger Anwendungsbezug, keine direkte Anknüpfung an Umgangssprache, Zusammenhang zur Division als Umkehroperation schwer herstellbar)
- außerdem beeinflusst das Verständnis der SuS den Zugang
- Formalisierungsgrad (Situation mathematisch ausdrücken)
- Bekanntheitsgrad (Vertrautheit der Fragen?)
- Ausführungsgrad (nötige Schritte bis zur Lösung)
Welche Rechengesetze gibt es in der Multiplikation und welche Bedeutung haben sie?
- Kommutativgesetz axb=bxa (Vertauschungsgesetz)
Bedeutung: Rückführen auf bekannte Aufgaben, Reduktion des 1x1 - Assoziativgesetz ax(bxc)=(axb)xc (Verbindungsgesetz)
Strukturen erkennen, Verdopplung nutzen 6x8=(6x4)x2 - Distributivgesetz (a+b)xc=axc+bxc (Verteilungsgesetz)
Zerlegen schwieriger Aufgaben in Teilaufgaben 8x7=8x5+8x2
Warum ist die sichere Beherrschung des kleinen 1x1 notwendig?
- Aufbau von Größenvorstellungen
- Überschlagsrechnungen zum Kontrollieren
- Entlasten des Denkens durch Automatismen
Wie erfolgt die Erarbeitung des kleinen 1x1?
Ganzheitlich:
- am Hunderterfeld (ohne Einmaleinsreihen)
- Zusammenhänge zwischen Multiplikationsaufgaben erarbeiten
Schrittweise:
- Fundierung der Operationen an Situationen
- Erarbeiten der Einmaleinsreihen, einprägen
Vorschlag: Kombination der Wege
Welche Rechenstrategien gibt es in der Multiplikation?
- Nachbaraufgaben
- Tauschaufgaben
- Verdopplung/ Halbierung eines Faktors
- Zerlegung eines Faktors
(Das große Einmaleins wird daher nicht auswendiggelernt)
Was sind in der Multiplikation Kernaufgaben und wie werden sie eingeführt?
1xn
2xn
10xn
5xn
Die anderen Einmaleinsreihen werden anhand der Kernaufgaben gelöst (Distributivgesetz und Verdoppeln) 4xn=2xn+2xn 8xn=4xn+4xn 3xn=1xn+2xn 6xn=3xn+3xn 9xn=6xn+3xn 7xn=5xn+2xn
Welche Aufgaben werden in der Multiplikation als Stützpunktaufgaben bezeichnet?
Die Kernaufgaben (1x,2x,10x,5x) und nxn Aufgaben (1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5,…, 10x10)
Stützpunktaufgaben nutzen Zusammenhänge zwischen den Reihen.
Diese werden auch als Königsaufgaben bezeichnet.
Welche Funktion erfüllen Kern-, Stützpunkt- und Königsaufgaben?
… dienen der Erarbeitung der Reihen
… auf den Kernaufgaben wird die Erarbeitung der einzelnen Einmalseinzeihen aufgebaut.
… je mehr Reihen bekannt sind, umso mehr Fakten (Stützpunktaufgaben) werden gewusst und können genutzt werden.
Was sind typische Fehler in der Multiplikation?
- Fehler mit 0 und 1 (7x0=7 oder 1x1=2), Verständnis der Multiplikation nicht abgegrenzt von der Addition
- Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien (Verzählen in der Reihe 6x3=15)
- Perseverationsfehler (9x5=49 oder 9x9=99) Zahl setzt sich durch obwohl korrekt gerechnet wurde, Nachwirkung einer Zahl
- Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien (9x4=31)
Wie sind die Vorkenntnisse und das Grundverständnis bei der Division?
Vorkenntnisse:
- ähneln Multiplikation
- Untersuchung bei Zweitklässlern: kontextgebunden hohe Lösungswahrscheinlichkeit für einfache Verteilaufgaben, große Streuung in den Rechenstrategien, ohne Material möglich)
Grundverständnis:
- enger Zusammenhang mit Multiplikation, trotzdem keine zeitgleiche Erarbeitung
- empfohlen: gutes Multiplikationsverständnis, Sichher im Hunderterraum
- erstes Ziel: tragfähige inhaltliche Vorstellung
Welche Grundvorstellungen gibt es in der Division?
Beispiel: Kartenspiel mit 32 Karten
AUFTEILEN (wie viele Teilmengen)
- Menge M wird in gleichmächtige Teilmengen zerlegt
- gesucht ist Anzahl der Teilmengen
Pro Kind 4 Karten -> wie viele Kinder können mitspielen?
VERTEILEN (wie viele Elemente pro Teilmenge)
- Menge M wird in gleichmächtige Teilmengen zerlegt
- gesucht ist die Anzahl der Elemente je Teilmenge
4 Kinder -> wie viele Karten bekommt jedes?
- Vorstellungen unterscheiden sich stark und wurden historisch als Rechenoperationen unterschieden
Wie wird das Einsdurcheins der Division erarbeitet?
Welche Rolle spielt die Null in der Division?
Erarbeitung:
- kein Auswendiglernen
- Erwerb und Festigung durch Rückgriff auf GV und Multiplikation
Die Rolle der Null (Aufgaben mit 0 verursachen Fehler)
0:5=0, denn 0x5=0
5:0 nicht definiert, geht nicht, denn nx0 ist nicht 5
0:0 nicht eindeutig definiert, denn für alle natürlichen Zahlen gilt nx0=0
Es darf nicht durch 0 geteilt werden!
Welche typischen Fehler gibt es in der Division?
- Nullfehler (0:0 ist niht 1, 5:0 ist nicht 0 und nicht 5)
- Fehler bei Endnullen (1000:200=500)
- Fehler bei der Anwendung informeller Strategien (15:3=6, 20:5=3)
- Fehler bei der Anwendung heuristischer Strategien (96:16=10)
- Perseverationsfehler (77:7=17 45:9=9) tritt nach korrekter Rechnung auf
