2. Röntgendiffrakció, kinetikus szórási elmélet Flashcards
Maxwell-egyenletek
Maxwell-egyenletek anyagi jellemzők szerint? Miért kellenek?
Anyagra jellemző tulajdonságokat tartalmaz:
divE = ρ/ε0 = –(1/ε0)divP: P az anyag válasza, mikor elektromos térbe tevődik
rotB – ε0μ0(∂E/∂t) = μ0(rotM+∂P/∂t) = μ0j0: j0 a rendszer válaszaként megjelenő áram
Nincs bennük anyagi tulajdonság:
divB = 0
rotE = –∂B/∂t: megmondja, az áram milyen mágneses teret hoz létre
Azt akarjuk modellezni, hogy a fény hogyan szóródik kristályszerkezeten.
Az anyagra jellemző tulajdonságokat tartalmazó egyenletek kijönnek, ha a Maxwell 2-be és 4-be behelyettesítem, hogy D = εE+P és H = B/μ–M és úgy veszem, hogy j = 0 és ρ = 0.
potenciálok
Vektor- és skalárpotenciál bevezetése? Lorentz-mérték? Innen az inhomogén hullámegyenletek a potenciálra?
Az anyagra jellemző tulajdonságokat tartalmazó egyenleteket akarjuk eltüntetni. Ehhez a potenciálok:
B = rotA —» E = –gradφ – ∂A/∂t
Ezek nem egyértelműek (pl. skalármező gradiense hozzáadható A-hoz), ezért kell valami kritérium, ami itt a Lorenz-mérték: divA + ε0μ0(∂φ/∂t) = 0
Az előzőeket visszahelyettesítve a Maxwellekbe megkapódnak az inhomogén hullámegyenletek:
ΔA – ε0μ0(∂^2/∂t^2)A= –μ0j0
Δφ – ε0μ0(∂^2/∂t^2)φ= (1/ε0)divP
Az egyik egyenletben csak A, a másikban csak φ marad így, ezért kényelmes a Lorenz-mérték.
potenciálok
Hertz-potenciálok? Feltevés? Visszahelyettesítve? Mit akarunk innen meghatározni?
Két új potenciál bevezetése az A-ra és φ-re kapott hullámegyenletek egyszerűsítésére:
A = μ0(∂Π(e)/∂t + rotΠ(m))
φ = –(1/ε0)divΠ(e)
Azt az esetet vizsgáljuk, amikor nincs mágnesezettség: M = 0 —» Π(m) = 0
Visszahelyettesítve ezeket bármelyik hullámegyenletbe, ugyanaz az egyenlet kapódik:
ΔΠ(e) – (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Π(e) = –P(E)
E = (1/ε0)graddivΠ(e) – μ0(∂^2/∂t^2)Π(e)
Innen a P(E) ismeretében meghatározhatók a Hertz-vektorok, szóval erre kellene mondani valamit.
röntgen-elektron kcsh.
P(E) összefüggés részletesebb meghatározása? Elektron mozgásegyenlete? Partikuláris megoldás?
A P(E) összefüggés részletesebb meghatározásához kell, mert a fény elektronokon szóródik. Egy atomhoz kötött elektron, amit beteszünk külső periodikusan változó elektromos térbe: olyan lesz, mintha rugóra lenne kötve és csillapított rezgést végezne és az egyensúlyi helyzetből való kitérítést vizsgáljuk.
m(d^2/dt^2)r = –ω0^2mr – λ(d/dt)r –eE0exp(iωt)
* – λ(d/dt)r: sebességgel arányos csillapítási tényező, az elektron-elektron kcsh.- miatt, ha egy elektron meg van rezgetve (kimozdul), akkor átad energiát a többinek
* E0: komplex amplitúdó
Partikuláris megoldás: van exp(iωt) alakja
r = –eE0exp(iωt)/[m(ω0^2–ω^2)+iλω]
röntgen-elektron kcsh.
Ha az elektron ki van mozdítva? Polarizáció? Szuszceptibilitás?
Lesz dipólmomentum:
p = qd, ahol q=–e és d = r
p = –er = e^2E0exp(iωt)/[m(ω0^2–ω^2)+iλω]
Innen a polarizáció:
PdV = ρ(r)e^2EdV/[m(ω0^2–ω^2)+iλω],
azaz E és P arányosak egymással és az arányossági tényező a szuszceptibilitás.
Innen a szuszceptibilitás (függ a helytől és a frekvenciától):
χ = (ρ(r)/ε0)(e^2/[m(ω0^2–ω^2)+iλω])
ahol ρ(r) az elektronsűrűség. Röntgenre: ω0 «_space;ω,λ kicsi, tehát:
χ = (ρ(r)/ε0)(e^2/mω^2) = βρ(r)
polarizáció: egységnyi térfogatban lévő dipólmomentum
szórás
A szusz. ismeretében a diff.egyenlet? Megoldás? Perturbációszámítás?
A P = χE = βρ(r)E összefüggés visszahelyettesíthető a ΔΠ(e) – (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Π(e) = –P(E) egyenletbe:
ΔΠ(e) – (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Π(e) = –βρ(r)E = –βρ(r)[(1/ε0)graddivΠ(e) – μ0(∂^2/∂t^2)Π(e)]
Ennek a megoldása a periodikus gerjesztés miatt: Π(t) = Π(α)exp(iωt). Ezt visszahelyettesítve az eredeti diffegyenletbe és idő szerint lederiválva, ahol kell:
ΔΠ(e) + (k^2)Π(e) = –βρ(r)[(1/ε0)graddivΠ(e) – μ0(ω^2)Π(e)]
Ezt viszont nem lehet megoldani, tehát végtelen összeget keresünk (a.k.a. perturbációszámítás), ρ szerint sorbefejtünk:
Π(e) = Π(0) + Π(1) + …, ahol az index azt jelöli, hogy ρ milyen faktorral van az adott tagban.
* nulladik tag: ΔΠ(0) + (k^2)Π(0) = 0, csak a síkhullám megoldások érdekelnek, ezért Π(0) = A0exp(ikr), szóval akkor is van bejövő hullám, ha nincs anyag
* vezető tag: ΔΠ(1) + (k^2)Π(1) = –βρ(r)[(1/ε0)graddivΠ(0) – μ0(ω^2)Π(0)]
vezető rendben vizsgálódás = kinetikus szóráselmélet
szórás
Inhomogén Helmholtz-egyenlet? Green-fv.-es megoldás?
Átrendezve a vezető rendbeli diff.egyenlet jobb oldalát (a Π(0) helyére való behelyettesítés után), kapódik, hogy:
ΔΠ(1) + (k^2)Π(1) = –ρ(r)Z(k)exp(ikr)
ahol Z(k) azt jelöli, hogy milyen irányban, mivel világítottam meg a dolgot.
A megoldáshoz keressük az ide tartozó Green-fv.-t:
ΔG + (k^2)G = δ(r) —» (1/r)(∂^2/∂r^2)(rG) + (k^2)G = δ(r)
A megoldás gömbhullám: exp(ikr)/4πr
szórás
Huygens-Fresnel-elv? Fraunhofer-elrendezés? Szórási amplitúdó?
A Helmholtz-egyenlet teljes megoldása különböző helyekről, különböző amplitúdókkal kiinduló gömbhullámok szuperpozíciója, amihez a Green-fv.-t konvolválni kell a gerjesztő fv.-nyel:
Δψ + (k^2)ψ= –ρ(r)ψ0(k)exp(ikr)
Így a teljes megoldás a Huygens-Fresnel-elv:
ψ = –∫ρ(r’)exp(ikr’)ψ0[exp(i|k||r–r’|)/(4π|r–r’|)]dV’
Fraunhofer-elrendezésben pici a minta és messze van a forrás és az ernyő, ezért r»_space; r’: |r–r’| ≈ |r| + (r/|r|)r’ = |r| + r’n. Bevezetve a k(o) = n|k(i)| jelölést:
ψ = –∫ρ(r’)exp(i(k(i)–k(o))r’)dV’ψ0[exp(i|k||r|)/(4πr)]
Ebből, ha k(i)–k(o) = κ, a szórási amplitúdó:
A(κ) = –∫ρ(r)exp(iκr)dV
A szórási amplitúdó tehát a ρ(r) elektronsűrűség Fourier-trafója.
A végső eredmény, ami érdekel, az síkhullámok szuperpozíciója.
szórt intenzitás
Miért vezessük be az intenzitást? Mivel arányos?
Az A(κ) szórási amplitúdó nem mérhető, mivel nagyon gyorsan oszcillál, de az egységnyi felületre eső energiaátlag (Poynting-vektor: S = E x H) mérhető.
EM hullámban H~E, így I = |S| ~ |E|^2 ~ A(κ)A(konj.)(κ). Tehát: I(κ) ~ |A(κ)|^2
A kristályokban lehet következtetni az atomok elhelyezkedésére az intenzitásból.
