11. A diffúzió mikroszkopikus elmélete

Question 1

diffúzió mikroszkopikus egyenlete

Mi a bolyongási probléma? Fehérzaj? Langevin-egyenlet?

Answer 1

Az átlagos helyzet az idő négyzetével lineárisan nő és adott értékhez tart: (1/N)Σ(i=1,N)r(i)^2/t —» D

Wiener-folyamat: dW = ξ(t)dt, ahol dW valamilyen mennyiség növekménye, ami az időtől egy olyan korrelációs taggal függ, aminek nincs korrelációja az idővel. Ez akkor lesz fehér zaj, ha <ξ(t)ξ(0)> = δ(t), azaz ha a ξ-k egymás utáni korrelációja független és ha < dW(t)^2 > = dt, azaz a növekmény négyzetének átlaga az eltelt idő.

A bolyongást leíró mozgásegyenlet a Langevin-egyenlet:
ma = –λv + σ’ξ
* első tag a Stokes-féle súrlódási törvényből jön
* második tag a fehér zaj számszorosa

Question 2

sztochasztikus differenciálegyenlet

Milyen egy sztochasztikus diff.egyenlet? Adott pillanatban hol a részecske?

Answer 2

Sztochasztikus diff.egyenlet esetén van egy véletlen tag az egyenletben: ∂x/∂t = b(x) + σξ. Ennek a növekménye: dx = b(x)dt + σξdt = b(x)dt + σdW
Tehát azt, hogy adott pillanatban hol a részecske nem lehet meghatározni pontosan, csak azt, hogy egy adott tartományban mekkora valószínűséggel lesz: p(x,t) valószínűségeloszlás.

Question 3

sztochasztikus differenciálegyenlet

Valószínűségeloszlás meghatározása? Fokker-Planck-egyenlet?

Answer 3

A valószínűség a részecskeszám-megmaradás által ugyanannyi lesz egyik pontban, mint a másikban: p(x, t+dt)Δx’ = p(x–dx,t)Δx. Mivel tudjuk, hogy Δx’ = [1+ (∂b(x)/∂x)dt]dx, ha ezt visszaírjuk az előzőbe és sorbafejtjük a jobb oldalt a dt-ben lineáris, a bal oldalt a dx-ben másodrendű tagig, akkor ki lehet hozni csak dt-s tagokat. Az első dx-re vonatkozó összefüggést visszaírva és áttérve várható értékre (< dW >=0 és < dW^2 > = dt, dt-ben lineáris tagokig) kijön egy hosszú egyenlet: insert levezetés. Leosztva dt-vel megkapódik a Fokker-Planck-egyenlet:
∂p/∂t = –∂(b(x)p)/∂x + (σ^2/2)(∂^2/∂x^2)p(x,t)

Question 4

sztochasztikus differenciálegyenlet

Diffúzió sztochasztikus egyenlete? Ennek a Fokker-Planck-egyenlete?

Answer 4

A Langevin-egyenletből a diffúzióra:
∂v/∂t = –(λ/m)v + (σ’/m)ξ
Innen a Fokker-Planck-egyenlet:
**∂p(v,t)/∂t = (∂/∂v)[(λ/m)vp(v,t) + (σ’^2/2m^2)∂p(v,t)/∂v]

Question 5

fluktuáció-disszipáció tétel

Fokker-Planck-egyenlet megoldása diffúzióra? Fluktuáció-disszipáció-tétel?

Answer 5

Amikor a Fokker-Planck-egyenlet már nem függ az időtől, ∂p/∂t-nek, azaz itt a zárójelben lévő tagoknak el kell tűnnie (p(∞) = 0). Így a stacionárius megoldás:
(λ/m)vp(∞)(v) + (σ’^2/2m^2)∂p(∞)(v)/∂v = 0
∂p(∞)(v)/∂v = (–2mλ/σ’^2)vp(∞)(v)

Ennek a megoldása: p(∞)(v) = p0exp((-mλ/σ’^2)v^2)
Összehasonlításképp a Boltzmann-féle sebességeloszlás: p(∞)(v) = p0exp((-m/2k(B)T)v^2)
Ha fizikai dologra vizsgáljuk a random mozgást, akkor a kettőnek meg kell egyeznie, tehát σ’ egy jól meghatározott szám. Ez a fluktuáció-disszipáció-tétel:
σ’^2 = 2λk(B)T = 12πηrk(B)T