1. Rácsszerkezetek Flashcards
elemi rácsvektorok
Elemi rácsvektorok?
Periodikus szerkezeteknél létezik három olyan, nem egy síkba eső a1, a2, a3 vektor, amikkel való eltolásra a szerkezet invariáns (vektorok számszorosára is igaz), azaz a velük való eltolással a rács önmagába megy át.
elemi rácsvektorok
Hogyan legyenek felvéve? Bravais-rács?
A konvenció az, hogy a legkisebbek legyenek. Definiálható egy ponthalmaz, ami a Bravais-rács: ez a kristályrács általános fogalmához csoportosítási módszert ad.
R(n) = n1a1 + n2a2 + n3a3, ahol n1, n2 és n3 végigfut az egész számokon. Ezekkel az n-ekkel előállítható a rács minden pontja.
Nem csak ebben a ponthalmazban vannak atomok, fel lehet venni úgy is, hogy ne legyenek a pontokon atomok.
elemi rácsvektorok
Wigner-Seitz cella? Szerkesztés?
Speciális fajta primitív cella, ami csak egy rácspontot tartalmaz.
Szerkesztés: rácspont kijelölése, szomszédos rácspontokkal összekötni, összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontjai lesznek a zárt alakzat csúcsai.
primitív cella: olyan térfogat, ami a kristály legkisebb ismétlődő eleme
elemi rácsvektorok
Bravais-rácspont? Együtthatók?
Egy Wigner-Seitz cellán belüli pont, azaz a kristályrács pontjai.
r = x1a1 + x2a2 + x3a3
Az együtthatók értékei lehetnek: (1/2, 1/2(–), 0), amik < 1, hogy a rácson belül legyenek.
A mínuszt felülhúzással jelölik for some reason.
elemi rácsvektorok
Kristálytani irányok? Együtthatók?
ua1 + va2 + wa3
Az irány itt nem egységvektor. Az együtthatók a legkisebb definiálható relatív prímek.
elemi rácsvektorok
Reciprokrács-vektorok?
Olyan rács, ami egy direkt térbeli rács (pl. Bravais-rács) Fourier-trafójával kapható.
Felveszünk egy olyan merőleges bázist, amire: a(1,2,3) —» b(1,2,3), a(i)b(j) = 2πδ(ij)
b1 = 2π(a2 x a3)/det
b2 = 2π(a3 x a1)/det
b3 = 2π(a1 x a2)/det
ahol det a három a vektorból álló mátrix determinánsa, azaz a vektorok által kifeszített paralellepipedon térfogata.
elemi rácsvektorok
Brillouin-zóna?
Reciprokrács Wigner-Seitz cellája, azaz a reciprokrácsban ugyanez a szerkesztés.
Azért vannak a sima elemi cella meg a reciprokrács dolgai megkülönböztetve, mert az előbbiben méter, az utóbbiban 1/méter a mértékegység.
elemi rácsvektorok
Miller index?
Jelölésrendszer kristálytanban, amivel rácssíkokat és rácsirányokat lehet megadni. Reciprokrács térben a relatív prímek által kijelölt irányvektor:
G(hkl) = hb1 + kb2 + lb3
h, k, l: egész számok, irányok a reciprokrács térben, a legkisebb primitív prímek
elemi rácsvektorok
Sík egyenlete reciprokrács esetén? Tengelymetszetek?
Síkok távolsága?
Ha levetítek egy pontot, mindig ugyanazt kapom, azaz az r helyére egy rácspont krd.-áit be kell tudni írni. Így a G(hkl) irányvektorra merőleges síkok egyenlete, ha r = R(n), mivel csak azok a síkok érdekelnek, amik átmennek rácsponton:
rG(hkl) = const. = 2πm
A skalárszorzást elvégezve a kereszttagok kiesnek, mert a(i)b(j) = 0, ha i≠j:
hx1 + kx2 + lx3 = hn1 + kn2 + ln3 = m
A tengelymetszetek, mikor csak az egyik x nem nulla: m/h, m/k, m/l.
Ha h, k, l állandóak maradnak és m változik, más-más atomokon átmenő, párhuzamos síkok kapódnak. Ezek távolsága, ha az egyik pontot kitüntetem, hogy m-hez tartozik, a másik m+1-hez:
d = a1([(m+1)–m]/h)(G(hkl)/|G(hkl)|) = 2π/|G(hkl)|
elemi rácsvektorok
Köbös kristálynál a síkok távolsága?
Köbös kristálynál a rácsvektorok egyforma hosszúak és páronként merőlegesek.
d(hkl) = a/√(h^2+k^2+l^2)
ahol a a rácsállandó és a reciprokrács hossza: 2π/a.
elemi rácsvektorok
Kristály elforgatása?
insert ábra here
Kristályszerkezetek egy (+/–)φ szöggel való elforgatásra is lehetnek szimmetrikusak, azaz a (+/–)φ szöggel való elforgatás után is az elemi rácsvektorok rácspontba mutatnak. Két elemi rácsvektor összege is rácspontba kell hogy mutasson:
a(+) + a(–) = ma
a(+) + a(–) = (2cosφ, 0, 0)a
Csak olyan m-ek adhatók meg, amik m≤|+/–2|:
m = (2cosφ, 0, 0), így 2cosφ egész szám. Innen:
cosφ = 0,+/–1/2,+/–1 —» φ = 0,+/–2π/2,+/–2π/4,+/–2π/6 és csak ezek a lehetőségek vannak.
elemi rácsvektorok
Reciprokrács elemi cellájának térfogata?
det(ab) = (2π)^3
V(c)V(r) = (2π)^3
V(r) = (2π)^3/V(c)
speciális rácstípusok
2D kristályszerkezetben lehetséges Bravais-rácstípusok és Wigner-Seitz-celláik?
- a≠b, γ≠90 fok: eltolási szimmetria
- a≠b, γ=90 fok: 90 fokos elforgatási szimmetria
- b=2a2–a1 merőleges a1=a: egy négyzetes rács közepébe még egy négyzetesrács
- a=b, γ=90 fok: 90 fokos elforgatási szimmetria, azonos hosszú elemi rácsvektorok
- a=b, γ=120 fok: 120 fokos elforgatási szimmetria, azonos hosszú elemi rácsvektorok
speciális rácstípusok
3D kristálytípusok?
- köbös: a=b=c, α=β=γ=90 , P I F
- tetragonális, négyzetes: a=b≠c, α=β=γ , P I
- ortorombos, rombos: a≠b≠c, α=β=γ=90, P I F C
- hexagonális: a=b≠c, α=β=90, γ=120, P
- monoklin: a≠b≠c, α=γ=90≠β, P C
- triklin: a≠b≠c, α≠β≠γ, P
- romboéderes: a=b≠c, α=β=γ≠90, P
P: egyszerű, I: térben középpontos, F: felületen középpontos, C: oldallapon középpontos
speciális rácstípusok
Csúszóvonal?
Olyan szimmetria(tengely?), ha egy vonal mentén eltoljuk, majd tükrözzük a rácsot, akkor szimmetria adódik. 3D-ben csúszva tükrözés vagy csúszva forgatás (csavarvonal).
