1. Rácsszerkezetek Flashcards
elemi rácsvektorok
Elemi rácsvektorok?
Periodikus szerkezeteknél létezik három olyan, nem egy síkba eső a1, a2, a3 vektor, amikkel való eltolásra a szerkezet invariáns (vektorok számszorosára is igaz), azaz a velük való eltolással a rács önmagába megy át.
elemi rácsvektorok
Hogyan legyenek felvéve? Bravais-rács?
A konvenció az, hogy a legkisebbek legyenek. Definiálható egy ponthalmaz, ami a Bravais-rács: ez a kristályrács általános fogalmához csoportosítási módszert ad.
R(n) = n1a1 + n2a2 + n3a3, ahol n1, n2 és n3 végigfut az egész számokon. Ezekkel az n-ekkel előállítható a rács minden pontja.
Nem csak ebben a ponthalmazban vannak atomok, fel lehet venni úgy is, hogy ne legyenek a pontokon atomok.
elemi rácsvektorok
Wigner-Seitz cella? Szerkesztés?
Speciális fajta primitív cella, ami csak egy rácspontot tartalmaz.
Szerkesztés: rácspont kijelölése, szomszédos rácspontokkal összekötni, összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontjai lesznek a zárt alakzat csúcsai.
primitív cella: olyan térfogat, ami a kristály legkisebb ismétlődő eleme
elemi rácsvektorok
Bravais-rácspont? Együtthatók?
Egy Wigner-Seitz cellán belüli pont, azaz a kristályrács pontjai.
r = x1a1 + x2a2 + x3a3
Az együtthatók értékei lehetnek: (1/2, 1/2(–), 0), amik < 1, hogy a rácson belül legyenek.
A mínuszt felülhúzással jelölik for some reason.
elemi rácsvektorok
Kristálytani irányok? Együtthatók?
ua1 + va2 + wa3
Az irány itt nem egységvektor. Az együtthatók a legkisebb definiálható relatív prímek.
elemi rácsvektorok
Reciprokrács-vektorok?
Olyan rács, ami egy direkt térbeli rács (pl. Bravais-rács) Fourier-trafójával kapható.
Felveszünk egy olyan merőleges bázist, amire: a(1,2,3) —» b(1,2,3), a(i)b(j) = 2πδ(ij)
b1 = 2π(a2 x a3)/det
b2 = 2π(a3 x a1)/det
b3 = 2π(a1 x a2)/det
ahol det a három a vektorból álló mátrix determinánsa, azaz a vektorok által kifeszített paralellepipedon térfogata.
elemi rácsvektorok
Brillouin-zóna?
Reciprokrács Wigner-Seitz cellája, azaz a reciprokrácsban ugyanez a szerkesztés.
Azért vannak a sima elemi cella meg a reciprokrács dolgai megkülönböztetve, mert az előbbiben méter, az utóbbiban 1/méter a mértékegység.
elemi rácsvektorok
Miller index?
Jelölésrendszer kristálytanban, amivel rácssíkokat és rácsirányokat lehet megadni. Reciprokrács térben a relatív prímek által kijelölt irányvektor:
G(hkl) = hb1 + kb2 + lb3
h, k, l: egész számok, irányok a reciprokrács térben, a legkisebb primitív prímek
elemi rácsvektorok
Sík egyenlete reciprokrács esetén? Tengelymetszetek?
Síkok távolsága?
Ha levetítek egy pontot, mindig ugyanazt kapom, azaz az r helyére egy rácspont krd.-áit be kell tudni írni. Így a G(hkl) irányvektorra merőleges síkok egyenlete, ha r = R(n), mivel csak azok a síkok érdekelnek, amik átmennek rácsponton:
rG(hkl) = const. = 2πm
A skalárszorzást elvégezve a kereszttagok kiesnek, mert a(i)b(j) = 0, ha i≠j:
hx1 + kx2 + lx3 = hn1 + kn2 + ln3 = m
A tengelymetszetek, mikor csak az egyik x nem nulla: m/h, m/k, m/l.
Ha h, k, l állandóak maradnak és m változik, más-más atomokon átmenő, párhuzamos síkok kapódnak. Ezek távolsága, ha az egyik pontot kitüntetem, hogy m-hez tartozik, a másik m+1-hez:
d = a1([(m+1)–m]/h)(G(hkl)/|G(hkl)|) = 2π/|G(hkl)|
elemi rácsvektorok
Köbös kristálynál a síkok távolsága?
Köbös kristálynál a rácsvektorok egyforma hosszúak és páronként merőlegesek.
d(hkl) = a/√(h^2+k^2+l^2)
ahol a a rácsállandó és a reciprokrács hossza: 2π/a.
elemi rácsvektorok
Kristály elforgatása?
insert ábra here
Kristályszerkezetek egy (+/–)φ szöggel való elforgatásra is lehetnek szimmetrikusak, azaz a (+/–)φ szöggel való elforgatás után is az elemi rácsvektorok rácspontba mutatnak. Két elemi rácsvektor összege is rácspontba kell hogy mutasson:
a(+) + a(–) = ma
a(+) + a(–) = (2cosφ, 0, 0)a
Csak olyan m-ek adhatók meg, amik m≤|+/–2|:
m = (2cosφ, 0, 0), így 2cosφ egész szám. Innen:
cosφ = 0,+/–1/2,+/–1 —» φ = 0,+/–2π/2,+/–2π/4,+/–2π/6 és csak ezek a lehetőségek vannak.
elemi rácsvektorok
Reciprokrács elemi cellájának térfogata?
det(ab) = (2π)^3
V(c)V(r) = (2π)^3
V(r) = (2π)^3/V(c)
speciális rácstípusok
2D kristályszerkezetben lehetséges Bravais-rácstípusok és Wigner-Seitz-celláik?
- a≠b, γ≠90 fok: eltolási szimmetria
- a≠b, γ=90 fok: 90 fokos elforgatási szimmetria
- b=2a2–a1 merőleges a1=a: egy négyzetes rács közepébe még egy négyzetesrács
- a=b, γ=90 fok: 90 fokos elforgatási szimmetria, azonos hosszú elemi rácsvektorok
- a=b, γ=120 fok: 120 fokos elforgatási szimmetria, azonos hosszú elemi rácsvektorok
speciális rácstípusok
3D kristálytípusok?
- köbös: a=b=c, α=β=γ=90 , P I F
- tetragonális, négyzetes: a=b≠c, α=β=γ , P I
- ortorombos, rombos: a≠b≠c, α=β=γ=90, P I F C
- hexagonális: a=b≠c, α=β=90, γ=120, P
- monoklin: a≠b≠c, α=γ=90≠β, P C
- triklin: a≠b≠c, α≠β≠γ, P
- romboéderes: a=b≠c, α=β=γ≠90, P
P: egyszerű, I: térben középpontos, F: felületen középpontos, C: oldallapon középpontos
speciális rácstípusok
Csúszóvonal?
Olyan szimmetria(tengely?), ha egy vonal mentén eltoljuk, majd tükrözzük a rácsot, akkor szimmetria adódik. 3D-ben csúszva tükrözés vagy csúszva forgatás (csavarvonal).
specális rácstípusok
Tércentált köbös?
BBC – body central cubic
Elemi rácsvektorok: kocka középpontjából kifele mutató vektorok:
a1 = 1/2(1,1,-1)
a2 = 1/2(1,-1,1)
a3 = 1/2(-1,1,1)
Példák: Cr, Fe, Mo, Nb
speciális rácstípusok
Lapcentrált köbös?
FCC – face centered cubic
Elemi rácsvektorok: lapközepekre mutató vektorok a kocka egyik csúcsából:
a1 = 1/2(1,1,0)
a2 = 1/2(1,0,1)
a3 = 1/2(0,1,1)
Példák: Cr, Fe, Mo, Ni
szoros illesztés
Szoros pakolás?
Ha olyan a rács, ahol a szomszédos rácspontok köré írt körök páronként érintik egymást, a területük maximális és hatszögű a rácsszerkezet. Térben ilyen rétegek vannak egymásra téve: kettő ugyanolyan réteg között egy másik (a felsőt eltolva a középső kapódik).
szoros illesztés
HCP (hexagonal close packed)? Rétegződési hiba?
Négy szám a rács leírására: hatszög közepén három irány kiválasztása, negyedik irány a rájuk merőleges. A négy vektor lineárkombinációjával bármelyik rácspont előállítható. Nem független felbontás, szóval az első három vektor összege -1 kell, hogy legyen.
Tipikus hiba a HCP (hexagonal close packed) rácsokban. Az egyik sík nem jó, például hiányzik.
szoros illesztés
FCC szoros pakolás?
Ha az FCC három lapközéppontját, amibe az elemi rácsvektorok mutatnak, elmetsszük egy síkkal, akkor egy szoros hatszöges pakolásnak az egyik rétege kapódik. A többi atomot ezzel párhuzamos síkokkal elmetszve megkapódik a többi réteg.
szoros illesztés
Gyémánt szerkezet?
FCC eltolása negyed testátlóval. Minden atom egyenlő távolságra helyezkedik el és a szomszédokkal erős kovalens kötés van.
szoros illesztés
Kvázikristály?
Olyan szerkezet, ami sérteni látszik a forgatási szimmetria szabályát. Előállítani úgy lehet, hogy húzunk a rács egyik sarkából egy irracionális meredekségű egyenest, ami az irracionálissága miatt nem fog átmenni más atomokon. Húzunk egy vele párhuzamos egyenest és a sávban lesznek atomok. Az eredeti egyenessel összekötjük őket és két disztinkt távolság alakul ki az atomok között, A és B. Ezeknek a sorozata is irracionális lesz, tehát soha nem lesz benne ismétlődés, de jól meghatározott.
