Прямі й криві Flashcards
Параметричне рівняння прямої ПРП: через точку і напрямний вектор
Доведення формули ПРП через точку і вектор
Ключова ідея, з якої випливає ПРП
Ідея: сума векторів
радіус-вектора і напрямного вектора
ТЗ: ПРП через дві точки А(2,1) і В(-3,5) у 2 дії
Дія1: визначаємо напрямний вектор АВ
Дія2: беремо точку А і напрямний вектор АВ, підставляємо в базову формулу з t-параметром
ТЗ: дано р-ня прямої з кк, переписати його як ПРП
Дія1:кк дає нам координати напрямного вектора
Дія2: вільний член 4 (перетин з Оу) дає координати точки на прямій (0;4)
Дія3: складаємо рівняння (і спрощуємо)
Координати точки P на прямій l
ПРП власне складається з координат точки Р
Базова формула ПРП
ТЗ:чи належить точка прямій?
1) З іксового рівняння знаходимо значення t
2) Піставляємо значення t в ігрикове рівняння, треба отримати той самий ігрик
Маючи -6 ми повинні з д t отримати 5
ТЗ: перетворити ПРП у лінійне рівняння з кутовим коефіцієнтом
1) беремо іксове р-ня і виражаємо t через x
2) підставляємо формулу t в ігрикове рівняння
ТЗ: знайти координати точок перетину прямої з осями Ох і Оу
Просто підставляємо нулі в відповілні рівняння
ТЗ: знайти координати точки перетину між двома прямими a,b (вручну 5 дій)
1) Переназвати змінну прямої b на s
2) Прирівняти вирази в систему рівнянь
😙
3) З 1-го рівняння отримати s
4) Підставивши s у 2-ге, отримати t
😀
5) Підставити t в ПРП прямої a
Отримати координати перетину
ТЗ: чи зіткнуться два човни? (вручну)
Зіткнуться, якщо час однаковий:
1Прирівнюємо окремо ікси та ігрики
2. Отримуємо два значення t
Ідея задачі про човни, що можуть зіткнутися
Заводимо човни в одну точку «место встречі» і дивимося, чи вони потрапляють туди в один час.
Тобто прирівнюємо формули ікс-координат та ігрик-координат, після цього порівнюємо t-час
på samme sted til samme tid
ТЗ: про Давида з пращею: про що розповідає r(0)?
Про те, що камінь вилетів з пращі на висоті 2 метра
ТЗ про Давида з пращею: скільки секунд летітиме камінь?
Камінь упаде на землю, коли у-координата дорівнює нулю
Перекласти на математичну мову: через скільки секунд камінь упаде на землю?
При якому t у-координата дорівнює нулю? Рівняння y=0 > t
ТЗ: камінь «в польоті» перебував 2,8 секунд. Як далеко Давид зашвирнув камінь? (Без модуля, уздовж землі😉)
Знаходимо «одновимірну» точку а
Підставляємо t=2,8 «секунд в польоті» у формулу х-координати 10t («уздовж землі»)
10•2.8 =28 метрів
ТЗ: Давид з допомогою пращі швиряє камінь, і той летить по векторній функції. Яка команда будує графік?
Команда Kurve
Що таке векторна функція по суті?
Це крива
Як записується векторна функція?
Якщо векторна функція задана лінеарно, що вийде?
Пряма
Як задати координати векторної функції, щоб отримати криву?
Нелінеарно
Довжина вектора швидкості, тобто модуль🚴♀️ |v|- це
Миттєва швидкість banefarten
(в км/хв, на пр.)
ТЗ: вектор-функція, це що по суті?
радіус-вектор
Вектор миттєвої швидкості
fartsvektor v(t) щодо радіус-вектора - це
Похідна від радіус-вектора
r’(t)
вектор мит швидкості v(t) через одну секунду, запис
v(1)
миттєва швидкість через 1 секунду після кидання каменя дорівнює 10 м/с: запис
Модуль вектора швидкості
|v(1)|=10
Куди направлений вектор прискорення?
Перпендикулярно до землі (діє сила тяжіння)
Що таке a(t) вектор прискорення стосовно радіус-вектора?
друга похідна радіус-вектора
Відомо: вісь 0х - «уздовж землі». Якщо вектор швидкості рухається паралельно до землі, як записати його координати)
(х; 0)
Якщо підставити конкретне значення t в координати радіус-вектора, що отримуємо?
Координати конкретної точки в момент часу
ТЗ про Давида, в чому вести розрахунок?
В CAS калькуляторі
ТЗ про кораблі, що показує ця точкаперетину ?
Місце, де траєкторії кораблів перетинаються. Якщо вони прибудуть туди одночасно, то зіткнуться.
Команда, що показує час для кожного корабля окремо, коли вони можуть прибути в одну й ту ж точку.
система рівнянь
Løs({x,y}={x,y},{t,s})
Перетин двох кривих в CAS
Про що розповідає радіус-вектор від часу r(t)?
Про положення обʼєкта в момент часу t
ТЗ про Лиса: зобразити на графіку криву, команда
Kurve (uttrykk, uttrykk, t, start, slutt)
ТЗ про Лиса: bestem r(0), про що розповідає відповідь?
В годину 0 Лис був в точці (0,1): в 1км на північ від О
ТЗ: bestem |r(2)|, про що відповідь?
Коли пробила година t=2 🕰️, Лис за 14 км від origo зустрівся з Принцем
ТЗ: як далеко від старту опинився Лис, «вектор по повітрю»? 2 дії (дуже просто)
проводиш вектор
1) Знаходиш координати точок при крайніх іксах
2) створюєш вектор віднявши від другої точки першу
Відповідь: тут ікс координата вектора, що утворився, дає відстань «по повітрю»
ТЗ: Лис пройшов точку С (навіть двічі), які її координати? Графічний метод
Можна просто подивитися на графіку
Про що розповідає вектор швидкості, що є паралельним до землі?
ν(t) || (x, 0)
r’(t)=0
Про найвищу точку польоту
Як далеко (на якій відстані) від старту опинився Лис?
математичний запис
Яка довжина вектора, утвореного двома точками |vektor(start, finish)|
Дано перпендикулярні прямі m,l
**kkι = 1/2**
Знайти kkm
-2
ПРП горизонтальної прямої
ПРП вертикальної прямої
ТЗ: дано пряму з параметрами, точку Р і відстань. Знайти координати точок обабіч Р. Три дії
1 Складаємо рівняння ( по формулі відстані між двома точками)
2 Квадратне рівняння дає два t
3 Підставляємо t в ПРП
Отримуємо координати двох точок
ТЗ: дано пряму з параметрами, точку Р і відстань. Знайти координати точок обабіч Р.
Головна формула для розвʼязку?
Формула відстань між двома точками
ТЗ про пряму, точку і відстань. Рішення з підручника
1 Вручну утворити вектор 😀
Μed CAS
2 Прирівняти його до заданої відстані
!Не забути про модуль!
|vektor(4+2t, 2+t)|=4
løs
3 Підставити t в ПРП
ТЗ: зобразити вектор швидкості при x=2
ТЗ: є векторна функція, знайти прискорення і швидкість при Х=2
Корінь з 5м/с і 1 м/с2
ТЗ: в якій точці x(t)-? вектор швидкості ортогональний до вектора прискорення? Команда в cas
Скалярний добуток векторів дорівнює нулю.
Отже, рівняння з відповідною командою + Løs
TЗ: знайти кутовий коефіцієнт прямої m, що є перпендикулярною (normale) до прямої n , y=1/2 x -1
Умова: якщо прямі перпендикулярні, то добуток їхніх кк дорівнює-1.
Складаємо р-ня: 1/2 * х=-1.
В: -2
ТЗ: знайти кут між вектором швидкості і віссю Х, в точці t=1
це дуже просто!
1 v(1) = (2, 3)
2 Записуємо вісь х як вектор е= (1, 0)
3 команда vinkel /•
NB: vinkel працює якщо залогінений😋
ТЗ: знайти кут між векторами чи між вектором і віссю з допомогою команди vinkel: особливість шодо екаунта
Не працює, якщо не залогінитися на сайті
ТЗ : знайти кут між вектором і віссю з допомогою команди vinkel (вектор, вектор). Як тут записати вісь?
Як одиничний фундаментальний вектор (1, 0) або (0,1)
ТЗ: знайти швидкость і прискорення в точці (t=2)
1 Задаємо r(t), знаходимо v(t) і a(t)
2 Беремо модуль v(2) i a(2)
12,6 м/с
12,1м/с2
ТЗ Чи зустрінуться лижниця Нанна і лижник Ганс вдруге? (О 1 годині вже була зустріч)
- Прирівнюємо їхні ікси та ігрики, окремо.
- Чи отримали однаковий час t?
ТЗ на знаходження кута між векторами швидкості Nanna і Hans через 1 год
1 Задаємо VN i VHans
2 Знаходимо VN(1) та
VHans(1)
2 Команда «Vinkel (координати VN, координати vHans) /•розділити на градус»
3 Løs
ТЗ : через скільки годин лижники набудуть однакового вектора швидкості?
Рівняння з умовою колінеарності: при якому t вектор VNanna дорівє вектору VHans з якимось kk?
В: через дві години
ТЗ про лижників, через скільки годин зустрінуться?
Команда Løs(прирівняти вирази, t)
ТЗ “vis at uttrykker kan skrives som …”
Команда на тотожність ==
True False
ТЗ про кораблі: коли відстань між ними стане найменшою і ск вона становитиме? А як знайти цю відстань?
1 Знаходимо відстань d(t) між кораблями
2 отримуємо параболу: вершина - це точка min: найменша можлива відстань
3 ікси - це час, ігрики - км
ТЗ про те, коли куля досягне якоїсь висоти, або впаде на землю ( тобто у=0 чи у=-100): дві стратегії розвязку, опиши графічний
малюєш графік
Задаєш лінію у= -100 і на самому графіку дивишся точку перетину
ТЗ: де й коли куля впаде на землю чи досягне якоїсь висоти, дві стратегії розвязку: CAS (розрахунок)
висота дорівнює щось
1 у-координата = -100 løs
отримуємо t=a, тобто «коли»
2 f(a) дає «де»
ТЗ про « hvor» «де»: яка очікується відповідь?
Відповідь x=а
+ часто f(x), тобто
координати точки [x,y]
Чи можна записати рівняння скалярний добуток векторів дорівнює нулю в CAS буквально v a= 0 без команди
Так.
ТЗ на знайти: коли (t-?) вектор швидкості і вектор прискорення є ортогональними?
1 Складаємо р-ня скалярний добуток векторів дорівнює нулю v(t)*а(t)=0
2 Løs, отримуємо час t
Як в геогебрі знайти точки екстремуму?
Просто подивитися на графік, програма сама їх зображає
Питання про «як далеко» - це про що?
Про довжину вектора
|dv|
ТЗ про кораблі: дано їхні функції. Як знайти відстань між ними?
Формула відстані між двома точками
ТЗ про кораблі: дано їхні вектор-функції. Чим є відстань між ними?
теж функцією
тут параболою
