Zufall und Wahrscheinlichkeit

Question 1

Zielperspektive

Answer 1

• Grundlegendes Verständnis zufälliger Prozesse
• Entmystifizierung stochastischer Fragestellungen
• Vorbeugung typischer Fehlvorstellungen
• Verständnis einfacher stochastischer Begriffe
• > Schulung eines „intuitiven“ Verständnisses für Wahrscheinlichkeit
• > Lernen einfacher Strategien zum Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten

• Förderung prozessbezogener Kompetenzen

Question 2

Zufallsexperimente

Answer 2

• Abläufe, deren Ausgang wir prinzipiell nicht vollständig vorhersagen können
• > Meist ist klar, welche Ergebnisse für denkbar sind

Question 3

Ereignis

Answer 3

• Kombination von Ergebnissen, die einen interessieren

Bei Eintreten die gleiche Folge haben

Question 4

Ergebnis

Answer 4

Genau ein möglicher Ausgang

Question 5

Elementarereignis

Answer 5

Wenn nur ein Ergebnis Interessiert

Question 6

Zufallsexperimente mit theoretisch unendlich vielen möglichen Ergebnissen

Answer 6

-> auch für den Einsatz in der Grundschule denkbar

Question 7

Wahrscheinlichkeiten

Answer 7

= ein Maß für die Sicherheit, mit der man mit dem Eintritt eines Ergebnisses oder Ereignisses rechnen kann

Question 8

Wahrscheinlichkeitsrechnung soll…

Answer 8

… vorhandene Unsicherheit kalkulierbar machen

• > es sollen Prognosen über den Ausgang zukünftiger Ereignisse gemacht werden
• > es soll bei eingetretenen Ereignissen beurteilt werden, wie gewöhnlich oder wie ungewöhnlich ihr Eintreten ist

Question 9

Subjektive Wahrscheinlichkeiten:

Answer 9

• Einschätzung der Wahrscheinlichkeit auf Basis von Intuition, persönlichen Erfahrungswerten und Überzeugungen, auch Expertenwissen
• Es werden Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse verglichen; sichere, wahrscheinliche und unmögliche Ereignisse werden unterschieden.

Question 10

Objektive Wahrscheinlichkeiten:

Answer 10

Man geht davon aus, dass es einen „objektiv richtigen“ Wert für die Wahrscheinlichkeit gibt.

• > Laplace-Wahrscheinlichkeiten
• > Frequentistische Wahrscheinlichkeiten

Question 11

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Answer 11

-> theoretische Überlegungen

• Manchmal legt die Struktur des Zufallsexperiments mit endlicher Ergebnismenge die Annahme nahe, dass die Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ergebnisse gleich groß ist.

                                       Anzahl der günstigen Ergebnisse Wahrscheinlichkeit (p) =————————————————
                                       Anzahl der möglichen Ergebnisse

• Damit hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nur von der Anzahl der dazugehörigen Ergebnisse ab.

Question 12

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten

Answer 12

Beobachtungen bei der wiederholten Durchführung des Experiments

Question 13

Axiome

Answer 13

Übereinkünfte

Question 14

Axiome für Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Answer 14

• Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses: 1
• Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
  = Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen möglichen Ergebnisse

Question 15

Beispiel: Wurf eines Würfels

Answer 15

• Alle möglichen Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit (p)

=> Wahrscheinlichkeit(„irgendeine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6“) = 1 (sicheres Ereignis)
= 6·p

• Also ist 6·p = 1 bzw. p = 1/6.

Question 16

Ob bei einem Experiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ist abhängig von

Answer 16

• Experiment

- der betrachteten Ergebnismenge

Question 17

Beispiel: Werfen zweier Würfel -> „Augensummen“ als Ergebnisse

Answer 17

-> kein Laplaceexperiment!

Question 18

Beispiel: Werfen zweier Würfel -> „einzelne Augenzahlen ohne Unterscheidung der Würfel“ als Ergebnisse

Answer 18

-> kein Laplaceexperiment!

Question 19

Beispiel: Werfen zweier Würfel -> Augenzahlen der beiden Würfel getrennt“ als Ergebnisse

Answer 19

-> Laplaceexperiment!

Question 20

Riemer-Quader

Answer 20

Quaderförmiger „Spielwürfel“

Question 21

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten - Berechnung

Answer 21

Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses wird durch die Anzahl der Durchführungen dividiert

Question 22

Frequentistische Wahrscheinlichkeiten - Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Answer 22

Mit wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines beobachteten Ereignisses

Question 23

Unklarheiten (Fragen)

Answer 23

• „Ist zwei mal hintereinander würfeln das Gleiche, wie zwei Würfel gleichzeitig werfen?“ -> Wann sind Experimente gleich?
• „Nach drei gewürfelten Sechsen kommt nicht noch ein viertes Mal die Sechs.“ -> Gesetz der großen Zahlen wird missverstanden
• „Wer beeinflusst den Würfel?“ -> Animistische Vorstellungen
• „Unmöglich oder unwahrscheinlich?“ -> Begriffswissen

Question 24

Unklarheiten -> Durch Zufallsexperimente / Aufgaben verdeutlichen

Answer 24

• Der Zufall produziert unregelmäßige Ergebnisse!

- Fachbegriffe!

Question 25

Lernaktivitäten zu Zufall und Wahrscheinlichkeit | -> Anhand verschiedener Zufallsexperimente werden…

Answer 25

* Prozesse als Zufallsprozesse identifiziert (oder eben als nichtzufällig) * Chancen (subjektiv) abgeschätzt und verglichen * Voraussagen über Häufigkeiten von Ereignissen gemacht * Begründungen für diese Voraussagen diskutiert * diese Voraussagen anhand von Versuchsserien überprüft

Question 26

Mögliche Zufallsexperimente

Answer 26

* Werfen regelmäßiger Körper * Drehen von Glücksrädern bzw. Kreiseln * Ziehen aus Urnen oder Socken * Schütteln der Schüttelbox * Werfen von Wendeplättchen * Entscheidungsspiele Aber auch ganz andere „zufällige“ Ereignisse: * Wie geht das Fußballspiel heute Abend aus? * Wird mittags die Sonne scheinen oder nicht?

Question 27

Begriffsklärung

Answer 27

* Begriffsverwendung im Alltag * Abgrenzung der Begriffe * Formulierung eigener Wahrscheinlichkeitsaussagen zu vorgegebenen Einstufungen * Einordnung auf der Wahrscheinlichkeitsskala

Question 28

unmöglich |————————————————| sicher | möglich (unwahrscheinlich/wahrscheinlich)

Answer 28

Wahrscheinlichkeitsskala

Question 29

Zugang über subjektive Wahrscheinlichkeiten

Answer 29

* z.B. ausgehend von bekannten Zufallsexperimenten (z.B.„Entscheidungsverfahren“) * diskutieren fairer und unfairer Entscheidungsverfahren * Zunächst erfolgt eine intuitive Einschätzung (bzw. Vergleich) der Wahrscheinlichkeiten * Bei den später gegebenen Begründungen werden die zugrunde liegenden Laplace-Experimente implizit diskutiert. * Bei der Betrachtung weiterer Zufallsexperimente werden Ergebnisse als möglich, wahrscheinlich bzw. unmöglich klassifiziert.

Question 30

Zugang über frequentistische Wahrscheinlichkeiten

Answer 30

* Zufallsexperimente (Laplaceexperimente und andere) werden bewusst mit häufiger Wiederholung durchgeführt. * Die beobachteten Häufigkeiten werden, z.B. als Strichliste oder als Kästchendiagramm, notiert. * Daraus werden Aussagen über die zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten abgeleitet. * Vorher können die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse abgeschätzt werden (Gleich oder verschieden?, Was ist wahrscheinlicher?, …). * Im Nachhinein können bei einfachen und übersichtlichen Experimenten auch genauere Betrachtungen über Laplace-Wahrscheinlichkeiten erfolgen.

Question 31

Zugang über Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Answer 31

* Ausgegangen wird von Experimenten, die eine Symmetrie aufweisen (z.B. Wurf eines regelmäßigen Körpers, Drehen von regelmäßigen Glücksrädern). * Die betrachteten Ergebnisse müssen so gewählt werden, dass sie die Symmetrie widerspiegeln. * Aufgrund der Symmetrie wird argumentiert, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein müssen. * Diese Behauptung wird nun anhand von wiederholten Experimenten überprüft. * Analog kann bei nicht-symmetrischen Situationen oft auf ungleiche Wahrscheinlichkeiten geschlossen werden (siehe z.B. Riemer-Quader).