Stellenwertsysteme Flashcards
1
Q
Ursprung
A
„Zahl“ kommt von „zählen“…
-> Zählen mit Hilfe von Zählobjekten:
• Kieselsteine / Zählsteine (calculus)
• Kerben in Kerbhölzern oder Tonkugeln
2
Q
Die erste wichtige Idee
A
-> Bündeln
z. B. 5-er-Bündelung:
- > Jeweils 5 Zählobjekte werden durch ein anderes Zählobjekt ersetzt
3
Q
Das römische Zahlsystem
-> Bündelungsprinzipien
A
Abwechselnd 5er- und 2er- Bündelungen
4
Q
Das römische Zahlsystem
1
A
I
5
Q
Das römische Zahlsystem
5
A
V
6
Q
Das römische Zahlsystem
10
A
X
7
Q
Das römische Zahlsystem
50
A
L
8
Q
Das römische Zahlsystem
100
A
C
9
Q
Das römische Zahlsystem
500
A
D
10
Q
Das römische Zahlsystem
1000
A
M
11
Q
Das römische Zahlsystem
-> Reihenschrift
A
- Die Zahlsymbole werden einfach hintereinander geschrieben…
- meist in absteigender Reihenfolge
12
Q
Das römische Zahlsystem
-> Subtraktionsregel
A
- Die Hauptzeichen C (100), X (10) und I (1) können vor ihren beiden nächstgrößeren Zahlzeichen stehen.
- Sie werden dann nicht addiert, sondern subtrahiert
13
Q
Nachteile des römischen Zahlsystems
A
• Die additive Zahldarstellung ist umständlich
• Sehr große Zahlen darzustellen ist sehr aufwändig, da die Menge der Bündelungseinheiten (= Zahlzeichen) begrenzt sind
• Das Rechnen in dieser Zahldarstellung, insbesondere das Multiplizieren und Dividieren, ist extrem umständlich
(-> Rechenmeister als angesehener Beruf im Mittelalter)
14
Q
Stufenschrift für Zahlen (zur Basis 10)
-> Ziel
A
Vermeidung der Wiederholung von Zahlsymbolen
15
Q
Stufenschrift für Zahlen
-> Basis
A
10
16
Q
Stufenschrift für Zahlen (zur Basis 10)
-> Symbole
A
- Für jede 10er-Stufe ein Zahlsymbol (Stufenzahlen): E, Z, H, T,….
- Je ein Zahlsymbol für jede Zahl von 1 bis 9 (Ziffern)
17
Q
Stufenschrift für Zahlen (zur Basis 10)
-> Darstellung
A
- Die jeweilige Anzahl der Bündel wird mit Hilfe der Ziffern dargestellt
- die Größe der Bündel mit den Stufenzahlen
- Die Reihenfolge der bezifferten Stufen ist beliebig
- Nicht vorkommende Stufen werden nicht notiert
18
Q
Das Dezimalsystem
-> neuer Grundgedanke
A
Wenn man bei der Stufenschrift immer darauf achtet, die Stufen in absteigender Reihenfolge zu notieren, dann kann man die Stufenbezeichnungen auch weglassen.
19
Q
Das Dezimalsystem
-> Problem!
A
1T 4H 3E = 143
=> Man benötigt eine weitere Ziffer, die angibt, dass eine bestimmte Stufe nicht vorkommt: Die Null
20
Q
Erste Grundidee: Bündelungsprinzip
A
- Anzahlen einer Menge werden durch wiederholte Bündelung zu gleichmächtigen Teilmengen zusammengefasst.
- Dabei werden immer Bündel gleicher Größe gebildet.
- im Dezimalsystem: Zehnerbündel
- > Zehn Einer zu einem Zehner
- > Zehn Zehner zu einem Hunderter
- > Zehn Hunderter zu einem Tausender,…
21
Q
Zweite Grundidee: Stellenwertprinzip
im Dezimalsystem
A
- Es gibt die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und die Ziffer 0.
- Die Position jeder Ziffer (Stelle) gibt an, zu welcher Stufe (Bündelungseinheit) sie gehört.
- Der Wert der Ziffer gibt an, wie oft die entsprechende Bündelungseinheit vorkommt.
22
Q
Zweite Grundidee: Stellenwertprinzip
im Vierersystem:
A
- Es gibt Ziffern 1, 2, 3 und die Ziffer 0.
- Die Position jeder Ziffer (Stelle) gibt an, zu welcher Stufe (Bündelungseinheit) sie gehört.
- Der Wert der Ziffer gibt an, wie oft die entsprechende Bündelungseinheit vorkommt.
23
Q
Das Dezimalsystem – Grundprinzipien
A
- Bündelungsprinzip
- Stellenwertprinzip
24
Q
Verschiedene Stellenwertsysteme
A
- Für jede Basiszahl (eine natürliche Zahl b>1) gibt es ein Stellenwertsystem zur Zahldarstellung.
- Dabei gelten folgende Konventionen:
- Es gibt b Ziffern (Zahlzeichen), mit den Werten 0, 1, …, b-1.
- Der Wert jeder Ziffer gibt an, wie oft eine bestimmte Bündelungseinheit in der Zahl vorkommt.
- Die Position jeder Ziffer gibt an, welche Bündelungseinheit sie angibt (Stellenwertprinzip), prinzip von der kleinsten ganz rechts hin zu größeren.
- > Stellenwert
- Die Größe der Bündelungseinheiten ergibt sich als Potenzen der Basiszahl, von rechts nach links.
1=b0 , b=b1 , b2 , b3 , b4 ,…
Diese Zahlen nennt man auch Stufenzahlen des Stellenwertsystems.
-> Bündelungsprinzip
25
Stellenwertsysteme - Zehnersystem
-> Dezimalsystem
zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Die Stufenzahlen sind 1, 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, …
26
Stellenwertsysteme - Vierersystem
b=4
vier Ziffern: 0, 1, 2, 3.
Die Stufenzahlen sind 4^0 =1, 4^1 =4, 4^2 =16, 4^3 =64, …
27
Stellwertsysteme - Zweiersystem
-> Dualsystem
Ziffern: 0 und 1
Die Stufenzahlen sind 1, 2, 4, 8, 16, …
28
Stellenwertsysteme - Sechzehnersystem
-> Hexadezimalsystem
16 Ziffern: 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F mit den Werten 0 bis 15.
Die Stufenzahlen sind 1, 16, 16 2 = 256, 16 3 = 4096, …
29
Vorteile von Stellenwertsystemen
* begrenzten Anzahl von Ziffern => große Zahlen können übersichtlicher dargestellt werden
* Jedes Zahlzeichen (Ziffer) liefert zwei Informationen (Stellenwert und Ziffernwert) -> Ermöglicht effiziente Zahldarstellung
* Die Bündelungseinheiten werden regelmäßig gebildet => wenige Regeln zum Umgang mit den Zahlen
* effiziente Rechenverfahren und –strategien möglich
* Ordnen auch größerer Zahlen ist vergleichsweise einfach
* leicht erweiterbar (z.B. Dezimalbrüche, Potenzschreibweise)
30
Nachteile von Stellenwertsystemen
* Es ist eine eigene Ziffer 0 nötig für Bündelungseinheiten, die in der beschriebenen Zahl nicht vorkommen
* Das System ist in vielerlei Hinsicht „abstrakt“, z.B. da dieselbe Ziffer (ohne spezielle Kennzeichnung) für verschiedene Werte stehen kann
* Es werden nicht alle Informationen notiert (Stufenbezeichnung folgt aus der Position)
* Auch Stellenwertsysteme können unübersichtlich sein (Dreiergliederung hilft)
31
Warum die Basis 10 als Standard?
| -Häufig genannte Erklärung
-> Weil der Mensch zehn Finger hat, die ein natürliches Hilfsmittel beim Zählen sind
32
Warum gerade die Basis 10 als Standard?
| - Vorteile
Je größer die Basis,
…desto mehr Ziffern muss man sich merken,
…aber desto kürzer werden auch die Zahlwörter.
Je kleiner die Basis,
…desto weniger Ziffern muss man sich merken,
…aber desto länger werden auch die Zahlwörter.
-> Dezimalsystem scheint ein guter Kompromiss zu sein zwischen der Anzahl der Ziffern und der Länge der entstehenden Zahlwörter
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Umrechnung aus anderen Stellenwertsystemen ins Dezimalsystem
Summe der Produkte aus Ziffer einer Stelle und zugehöriger Stufenzahl / Bündelungseinheit
34
Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme
- komplizierter als umgekehrt
- im Wesentlichen zwei Methoden:
- > Wiederholte Division mit Rest
- > Suchen der größten Potenz
35
Wiederholte Division mit Rest
| -Welche Darstellung hat die Zahl 23 im 3er-System?
• Wenn ich lauter Dreierbündel bilde:
-> Wie viele Einer bleiben übrig?
-> Man bekommt 7 Dreierbündel und es bleiben 2 Einer.
23 : 3 = 7 Rest 2
• Wenn ich die 7 Dreierbündel weiter bündle:
-> Wie viele „3mal3“-Bündel kann ich daraus machen?
-> Wie viele Dreierbündel bleiben übrig?
-> Man bekommt 2 „3mal3“-Bündel und es bleibt 1 Dreierbündel.
7 : 3 = 2 Rest 1
• Die 2 „3mal3“-Bündel lassen sich nicht weiter bündeln.
(212)3
36
Suchen der größten Potenz
| -> Welche Darstellung hat die Zahl 23 im 3er-System?
• Wie heißen die Potenzen von 3?
• Welches ist die größte Potenz, die noch in die Ausgangszahl 23 passt?
• Wie oft passt die größtmögliche Potenz 9 in die 23?
-> 9 passt 2mal in die 23, es bleiben 5 übrig
• Wie oft passt die nächstkleinere Potenz von 3 in die 5?
• Wie oft passt die nächstkleinere Potenz von 3 in die 2?
Also 23 = (212)3
37
Division mit Rest
- Beginn bei der kleinsten Bündelungseinheit, also bei den Einern - vgl. Bündeln
38
Suchen der größten Potenz
- Beginn mit der größten Bündelungseinheit
| - Nachteil hier: Es müssen erst alle Potenzen der Basis ausgerechnet werden.
39
Bedeutung des Dezimalsystems im Unterricht
* Das Stellenwertsystem ist die Methode der Zahldarstellung in unserer Kultur
* Unser Zahlbegriff ist eng mit dem dekadischen Stellenwertsystem verknüpft
* Entsprechend spielt es im Mathematikunterricht (nicht nur der Grundschule!) eine große Rolle
40
Dezimalsystem im Unterricht
| -> große Rolle bei
- Begreifen des Zahlenraums
- Erweiterung des Zahlenraums
- Rechenstrategien bzw. –verfahren
41
Dekadische Analogien
3+4=7
13 + 4 = 17
30 + 40 = 70
42
Halbschriftliches Rechnen
(v.a. schritt- oder stellenweise Rechnen): z.B. 123 + 328 als
123 + 300 =
423 + 20 =
443 + 8 =
43
Schriftliches Rechnen
Hier werden die einzelnen Stellenwerte getrennt voneinander betrachtet
44
Erweiterungen des Dezimalsystems - In der Grundschule
... wird die Stellenwerttafel nach links hin immer weiter erweitert:
Hunderter, Tausender, Zehntausender,…
45
Erweiterungen des Dezimalsystems - Sekundarstufe I:
- Dezimalbrüche -> Erweiterung der Stellenwerttafel nach rechts (In der Grundschule auch bereits im Kontext von Größenangaben)
- Potenzschreibweise für sehr große und sehr kleine Zahlen
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Zentrale Lernziele
• Verständnis von Bündelungs- und Stellenwertprinzip
z. B.
- Zahlen unterschiedlich darstellen, Darstellungen interpretieren
- Nutzung bei Zahlvergleich und beim Rechnen,…
- …auch mit Hilfe von Arbeitsmitteln.
• Es muss klar werden, dass bei jeder Ziffer im Zahlwort sowohl
- …der Ziffernwert (Anzahl der Bündel) als auch
- …der Stellenwert (Größe bzw. Mächtigkeit der Bündel)
…von Bedeutung sind.
47
Abstraktionsleistungen beim Dezimalsystem
- Darstellungen von Zahlen im Dezimalsystem
- > Die Zahl 227 kann dargestellt werden als:
- Summenschreibweise: 200 + 20 + 7
- Stufenschrift: 2H 2Z 7E
- Zahlwort: zweihundertsiebenundzwanzig
=> Bündelungsprinzip
- Ziffernschreibweise: 227
=> Stellenwertprinzip
48
Dezimalsystem – Eigenheiten der deutschen Sprache
Umgekehrte Sprechweise bei Zehnern und Einern -> Inversion
49
Dezimalsystem – Eigenheiten der deutschen Sprache - Mögliche Folgen
- Unsicherheiten beim Schreiben der Zahlen
- Kinder mit Migrationshintergrund kennen diese Inversion oft nicht aus ihrer Herkunftssprache
=> Unterschied zwischen Sprech- und Schreibweise thematisieren!
50
Kriterien für Arbeitsmittel
* Sind wesentliche Eigenschaften von Zahlen oder Operationen im Arbeitsmittel klar erkennbar umgesetzt?
* Dient das Material dem Aufbau des Verständnisses für das Zahlsystem, die Zahlen (deren Mengenerfassung)?
* Lassen sich Zahlen schnell finden und darstellen?
* Gibt das Material einen guten Überblick für den Zahlenraum?
* Lassen sich Operationen handelnd nachvollziehen?
* Unterstützt das Material die Ablösung vom zählenden Rechnen?
* Eignet sich das Material dazu, vielfältige Lösungswege bei Addition und Subtraktion zu entdecken/darzustellen?
* Eignet sich das Material für ikonische Darstellungen?
* Kann das Material in höheren Jahrgangsstufen erweitert werden?
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Kardinale Arbeitsmittel – Fokus Bündelungsprinzip
| …zum Aufbau erster Mengenvorstellungen:
• Hunderterfeld
- Fortführung des Zwanzigerfeldes, vier 5x5-Felder
- Zahldarstellung mit Hilfe von Abdeckwinkeln
• Rechenrahmen
- Fortführung des Zwanzigerrahmens, vier 5x5-Felder
- Zahldarstellung durch Verschieben
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Kardinale Arbeitsmittel – Fokus Bündelungsprinzip
| …zum gezielten Bearbeiten des Bündelungsprinzips
• Zehnersystemblöcke (nach Dienes)
- …zur systematischen Arbeit mit Zehnerbündelungen
• Unstrukturiertes Material zum Bündeln
- …für erste Erfahrungen zum Bündeln
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Stellenwert-Arbeitsmittel – Fokus Stellenwertprinzip
• Stellenwerttafel
- Rolle der Position jeder Ziffer, jedes Elements
- Hinführung zur Ziffernschreibweise
• Zahlenkartensatz
- Einblick in die Beziehung zwischen Ziffernwert und Stellenwert
- Summenschreibweise der Zahl
