Halbschriftliches Rechnen Flashcards
1
Q
Rechnen
- Man unterscheidet zwischen:
A
- Kopfrechnen
- Halbschriftliches Rechnen / gestütztes Kopfrechnen
- Schriftliches Rechnen
2
Q
Kopfrechnen
A
- Eine Aufgabe wird ohne Hilfsnotationen oder Hilfsmittel einfach nur „im Kopf“ gerechnet.
- Notiert wird nichts oder nur die Aufgabe und das Ergebnis.
3
Q
Halbschriftliches Rechnen
A
oder gestütztes Kopfrechnen
- Zwischenschritte oder Zwischenergebnisse werden notiert.
- Gerechnet wird wieder nur „im Kopf“.
- Es handelt sich um ein durch Notizen gestütztes Kopfrechnen mit den individuellen Notationsformen der Lernenden.
4
Q
Schriftliches Rechnen
A
- Lösung einer Aufgabe nach fest vereinbarten Rechenverfahren in einer normierten Notationsform
5
Q
Ein Standardverfahren oder individuelle Wege? - Büttner
A
„Es gibt bei jeder Rechnungsart ein Verfahren, das immer zum Ziel führt, ganz unabhängig von der Beschaffenheit der Zahlen. Es wäre verkehrt, bei der ersten Einführung in eine neue Rechnungsart gleich die ersten Aufgaben auf möglichst verschiedene Weise lösen zu lassen.“
6
Q
Ein Standardverfahren oder individuelle Wege? - Kühnel
A
„Wir wollen kein Normalverfahren den Kindern aufnötigen. Nicht darauf kommt es an, dass das Kind einen bestimmten Weg gehen lernt (…), sondern dass es seinen Weg allein zu suchen und zu finden weiß.“
7
Q
Traditionelle Sichtweise bis in die 1990er Jahre
A
Kopfrechnen: Pflichtübung
Halbschriftliches Rechnen: Durchgangsstation
Schriftliche Algorithmen: Krönung
Taschenrechner: Schreckgespenst
8
Q
Aktuellere Sichtweise
A
Kopfrechnen: Grundbaustein
Halbschriftliches Rechnen: Zentrum
Schriftliche Algorithmen: Abrundung
Taschenrechner: Hilfsmittel
9
Q
Individuelle vs. idealtypische Strategien
A
- Die idealtypischen Strategien sind unterschiedlich komplex und bauen auf unterschiedlichem Vorwissen auf.
- Die Strategiewahl hängt vom Lernenden ab
- Die Strategiewahl hängt vom Lernenden und der Aufgabe ab
- Lernende konstruieren eigene Strategien
10
Q
Die Strategiewahl hängt vom Lernenden ab
A
- Basale Voraussetzungen: Arbeitsgedächtniskapazität
- Jeweiliges individuelles Vorwissen
11
Q
Die Strategiewahl hängt vom Lernenden und der Aufgabe ab
A
- Anwendbarkeit für eine Aufgabentypen muss erkannt werden
- Individuelle Strategiepräferenzen
12
Q
Lernende konstruieren eigene Strategien
A
- i.d.R. Kombinationen der idealtypischen Strategien
- Nicht alle Strategien sind korrekt
13
Q
Schrittweises Rechnen
A
- > geht immer
- Eine der beiden Zahlen wird (z.B. gemäß ihrer Dezimaldarstellung) zerlegt.
- Die Verrechnung erfolgt nacheinander.
14
Q
Schrittweises Rechnen - Multiplikation
A
- additive Zerlegung des eines Faktors (häufig naheliegender)
- multiplikative Zerlegung eines Faktors (Hinführung auf schriftl. Multiplikation)
15
Q
Schrittweises Rechnen - Division
A
- Geschickte Zerlegung des Dividenden: Siehe schriftliche Division
- Multiplikative Zerlegung des Divisors
16
Q
Stellenweises Rechnen - Subtraktion
-> Hauptproblem
A
„Negative Zwischenergebnisse“, wenn ein Übertrag nötig wäre.
17
Q
Stellenweises Rechnen - Subtraktion
-> Diskutierte Lösungsansätze
A
Beim „Stellenweise Rechnen“ keine Notation von Teilrechnungen,
sondern nur Notation der jeweiligen Zwischenergebnisse als Summanden bzw. Subtrahend
18
Q
Stellenweises Rechnen - Subtraktion
In Bayern
A
In den in Bayern zugelassenen Büchern ist das stellenweise Rechnen bei der Subtraktion (mit Übertrag) nicht empfohlen bzw. thematisiert
-> Keine empirisch gesicherten Anhaltspunkte über Auswirkungen der Ansätze!
19
Q
Stellenweises Rechnen– Multiplikation
A
- Beide Faktoren werden zerlegt.
- Aufgrund der wiederholten Anwendung des Distributivgesetzes erhält man viele Teilprodukte
20
Q
Stellenweise Rechnen– Multiplikation: Malkreuz
A
- Notation im Malkreuz, um kein Teilprodukt zu vergessen
- > Probe: Endprodukt auf zwei Wegen berechnen
21
Q
Stellenweise Rechnen – Multiplikation: Vierhunderterfeld
A
Das Vierhunderterfeld eignet sich als Arbeitsmittel, um Strategien der stellenweisen Multiplikation zu bearbeiten:
- Beschränkung auf Faktoren bis 20
- Strategien auch in größere Zahlräume übertragbar.
22
Q
Stellenweises Rechnen
A
- Mögliches Zeichen für Probleme mit der Dezimaldarstellung
- Kognitiv sehr aufwändig
=> langfristig keine anschlussfähige Strategie
=> Ggf. mindestens „Schrittweise“ als Ersatzstrategie aufbauen
23
Q
Stellenweises Rechnen
- Mögliches Zeichen für Probleme mit der Dezimaldarstellung
A
- Häufige „Ausweichstrategie“ -> an den Ursachen arbeiten!
- Dann aber relativ fehleranfällig (z.B. falsche Überträge, vergessene Zwischenergebnisse)
24
Q
Stellenweises Rechnen - Kognitiv sehr aufwändig
A
- Viele Zwischenergebnisse fallen gleichzeitig an: Besonders bei mehrstelligen Multiplikationen
- Kaum nutzbar als Kopfrechenstrategie
25
Vergleichsaufgabe
- > Geschickt – wenn‘s geht
- Eine einfachere Aufgabe wird gesucht, die dasselbe Ergebnis hat
- bietet sich nur bei wenigen Aufgaben an, führt dann aber schnell zum Ziel
- Ein guter Zahlenblick ist dazu notwendig
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Vergleichsaufgabe - Grundlage
Operative Zusammenhänge:
- Gegensinniges Verändern:
Bei Addition und Multiplikation
Gesetz von der Konstanz der Summe/des Produkts
- Gleichsinniges Verändern:
Bei Subtraktion und Division
Gesetz von der Konstanz der Differenz/des Quotienten
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Hilfsaufgabe
- Es wird eine einfachere Aufgabe gesucht, die ein anderes Ergebnis hat.
- > Die Abweichung wird nachträglich korrigiert.
28
Hilfsaufgabe - Addition und Subtraktion
„Runden“ einer der beiden Zahlen
29
Hilfsaufgabe - Multiplikation und Division
- Multiplikatives Korrigieren
| - „Runden“ einer der beiden Zahlen (Additives Korrigieren)
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Ergänzen
-> Anstelle die Aufgabe zu lösen wird die fehlende Zahl in der Umkehraufgabe bestimmt
* Statt Subtraktion wird die Addition verwendet.
* Hilfreich, wenn beide Zahlen eng beieinander liegen
* und der Subtrahend nur wenig kleiner als volle Zehner- oder Hunderterzahl ist.
* Wird nur selten von Kindern angewendet Zahlenblick!
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Wie werden Strategien halbschriftlichen Rechnens genutzt?
| - Vorteil
• Größter Vorteil halbschriftlichen Rechnens:
- Möglichkeit, adaptiv die geeignetste Strategie zu wählen:
- > Merkmale des Lernenden
- >Merkmale der Aufgabe
- > Merkmale der Situation
Aber:
• Empirische Studien haben wiederholt beobachtet, dass
Lernende oft unabhängig von der Aufgabe eine einzelne Strategie nutzen.
• Interventionsstudien zeigen, dass Kinder durchaus in der Lage sind, auch mehrere Strategien zu erlernen.
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Eigene Strategien im Unterricht
* Prinzipiell sind Kinder in der Lage, eigene Strategien je nach Aufgabe zu wählen
* Interindividuelle Unterschiede
* Halbschriftliches Rechnen bietet die Chance, den Kindern die Möglichkeit zu selbstständigem Entdecken zu geben
! Wichtig: Es gibt nicht nur einen einzigen erlaubten Standardweg!
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Eigene Strategien im Unterricht - Interindividuelle Unterschiede
- Einige Kinder können das, auch ohne darin unterrichtet zu werden
- Viele Kinder können das lernen, bei entsprechender Unterstützung
- Bei einigen Kindern ist es zunächst zentrales Ziel, überhaupt eine anschlussfähige Rechenstrategie aufzubauen.
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Lernvoraussetzungen für halbschriftliches Rechnen
* Grundwissen zum Zahlenraum
* Grundlagen für eigene Strategien und Strategiekombinationen
* Spezifisches Wissen zu Strategien
* Problemlösefähigkeiten
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Halbschriftliches Rechnen - Stratgien
- schrittweise Rechnen
- stellenweise Rechnen
- Vergleichsaufgabe
- Hilfsaufgabe
- Ergänzen
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Lernvoraussetzungen für halbschriftliches Rechnen
| - Grundwissen zum Zahlenraum
- Verständnis des Stellenwertsystems
- Orientierung im Zahlenraum: Zahleigenschaften und Zahlbeziehungen
- (Kopf-)Rechenfähigkeiten
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Lernvoraussetzungen für halbschriftliches Rechnen
| - Grundlagen für eigene Strategien und Strategiekombinationen
z.B. Operative Zusammenhänge, Flexible Zahldarstellung
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Lernvoraussetzungen für halbschriftliches Rechnen
| - Spezifisches Wissen zu Strategien
- Sichere Kenntnis (Ablauf) verschiedener Strategien
- Verständnis (Warum geht das?)
- Wissen über Anwendungskriterien (Wann ist das hilfreich?)
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Lernvoraussetzungen für halbschriftliches Rechnen
| - Problemlösefähigkeiten
- z.B. Kontrolle des eigenen Denkens (Metakognition)
| - z.B. Selbstwirksamkeitserwartung (es lohnt sich das zu probieren).
40
Voraussetzungen - Strategierepertoire
* Ein kurzes Thematisieren der Strategien reicht nicht aus!
| * Strategiewahl vs. Strategiekonstruktion
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Voraussetzungen - Strategierepertoire
| - Ein kurzes Thematisieren der Strategien reicht nicht aus!
- Ablauf der Strategie, Aufgabenmerkmale, Verständnis
- Flexibilität in der Nutzung ergibt sich erst durch Diskussion, Begründung und Beurteilung verschiedener Strategien bei einer Aufgabe.
42
Voraussetzungen - Strategierepertoire
| - Strategiewahl vs. Strategiekonstruktion
- Bei Weitem nicht alle Kinder konstruieren völlig eigene Strategien.
- Kombination und Anpassung bekannter Strategie ist durchaus häufiger. -> typische „Mischformen“ von Strategien
- „Hilfsaufgabe“, „Vergleichsaufgabe“ und „Ergänzen“ werden oft nur kurz unter „geschicktes Rechnen“ thematisiert und nicht als eigenständige Strategien erarbeitet! -> keine hinreichenden Voraussetzung für Wahl der Strategien
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Voraussetzungen – „Zahlenblick“
• Unter „Zahlenblick“ fallen verschiedene Vorwissensfacetten
z.B. Zahleigenschaften, Zahlbeziehungen, operative Zusammenhänge
• Voraussetzungen vorher im Unterricht schaffen:
- Orientierung im Zahlenraum
- Operative Zusammenhänge zu einzelnen Operationen
z. B. gleich- und gegensinniges Verändern
z. B. Aufgabe und Umkehraufgabe (s.a. Ergänzen)
z. B. dekadische Analogien
- Teilstrategien früh thematisieren
z. B. Rechnen mit Ankerpunkten
z. B. Multiplikation/Division mit Zehnerzahlen
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Schriftlich versus halbschriftlich: Kritik an schriftlichen Verfahren
Von einigen Experten wird das Behandeln der schriftlichen Verfahren geradezu als schädlich angesehen:
• Das Lösen der Rechenaufgaben erfolgt fast ohne Zahlverständnis
Reproduzieren („Abspulen“) von Algorithmen auf rein symbolischer Ebene
* Das Wissen über Zahlen, Zahlstrukturen, Zahlbeziehungen und die Zahlvorstellung werden eher verlernt als gefördert.
* Die Anschlussfähigkeit der Verfahren zur Entwicklung von praktisch nutzbaren Rechenstrategien (z.B. Kopfrechnen, Abschätzen) wird eher kritisch gesehen.
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Schriftlich versus halbschriftlich
| Mögliche Vorteile halbschriftlichen Rechnens
* Chance für größere Individualisierung durch Rechnen auf eigenen Wegen.
* Förderung von Flexibilität und Adaptivität beim Rechnen
* Beitrag zum nachhaltigen Kompetenzerwerb
* Förderung prozessbezogener Kompetenzen
* Basis für das Verständnis schriftlicher Rechenverfahren
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Mögliche Vorteile halbschriftlichen Rechnens
| - Chance für größere Individualisierung durch Rechnen auf eigenen Wegen.
- gute Differenzierungsmöglichkeiten
| - leichtere aber aufwändigere vs. schwierigere aber kürzere Rechenwege
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Mögliche Vorteile halbschriftlichen Rechnens
| - Förderung von Flexibilität und Adaptivität beim Rechnen
- Flexibilität: verschiedene Strategien kennen und anwenden können
- Adaptivität: für verschiedenartige Aufgaben geeignete Strategien wählen
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Mögliche Vorteile halbschriftlichen Rechnens
| - Beitrag zum nachhaltigen Kompetenzerwerb
- Hinführung auf Kopfrechenstrategien (ohne schriftliche Notation)
- Erfordert ganzheitliches Zahlverständnis und regt dessen Aufbau an (Zahlen werden als Ganzes verrechnet)
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Mögliche Vorteile halbschriftlichen Rechnens
| - Förderung prozessbezogener Kompetenzen
- Möglichkeit für mathematische Interaktion und Kommunikation (auch) zwischen Kindern
- Möglichkeit zur Darstellung und Beschreibung eigener Lösungswege
- Möglichkeit zur Argumentation für oder gegen die Gültigkeit bzw. Eignung verschiedener Lösungswege
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Halbschriftliches Rechnen - Was gibt es zu bedenken?
• Halbschriftliches Rechnen im Unterricht…
…hat hohes Potential für nachhaltiges Mathematiklernen.
…ist kein Selbstläufer sondern erfordert gezielte didaktische Gestaltung!
* Gefahren bei ungünstiger Umsetzung
* Hohe Anforderungen an die Lernenden
* Hohe Anforderung an die Lehrkraft
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Halbschriftliches Rechnen - Was gibt es zu bedenken?
| - Gefahren bei ungünstiger Umsetzung
- Ungleichgewicht von Normierung vs. individuellen Wegen/Notationen
o Vermitteln halbschriftlicher Rechenstrategien als schematisierte Verfahren
o Gefahr der einseitigen Normierung durch Schulbücher
o zu diverse und unverständliche Notationsformen
- Verpasste Lerngelegenheiten
o Kommunizieren über eigene Lösungswege, Argumentieren: Welcher Weg ist geschickt?
Kennenlernen von Rechenvorteilen…
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Halbschriftliches Rechnen - Was gibt es zu bedenken?
| - Hohe Anforderungen an die Lernenden.
- Verschiedene Rechenstrategien sind selbst Lernstoff
- dauernde geistige Aktivität gefordert
- Notwendige Vorkenntnisse
- > Aber: individuell anpassbare Anforderungen für alle Lernenden!
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Halbschriftliches Rechnen - Was gibt es zu bedenken?
| - Hohe Anforderung an die Lehrkraft
- Individuelle Arbeit gefordert
- Gründliche Kenntnisse der Strategien
- Erkennen und Einordnen der individuellen Strategien
- Langfristiger Aufbau von Vorwissen (Zahlraumerweiterung)
- > Sie müssen vorbereitet sein!
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Arbeitsmittel und Notation
- Dienesmaterial – Aufgaben mit Übertrag
- Rechenrahmen
- Hunderterfeld
- Vierhunderterfeld
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Dienesmaterial – Aufgaben mit Übertrag
Die ikonische Darstellung bei der Subtraktion muss besprochen werden.
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Rechenrahmen
Schlüssige Darstellung erfordert etwas Planung, Gedanken zu z.B.:
- In welche Richtung schiebe ich die Perlen?
- „Wohin mit den Einern?“
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Hunderterfeld
- Darstellen der Zahlen durch (transparente) Abdeckwinkel (ggf. zwei verschiedenfarbige), Rechnung durch Verschieben darstellen
- Ausgangszahl und Aufgabe am Schluss ggf. nicht mehr sichtbar.
- Achtung: zählendes Rechnen
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Vierhunderterfeld
* stellenweise Multiplikation
* schrittweise Multiplikation
* Hilfsaufgabe
- Legen der ursprünglichen Aufgabe
- Hilfsaufgabe
- „Fehler“ ausgleichen
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Notationsformen
Viele Schulbücher bieten ein großes Spektrum an Notationsformen an:
* Rechenstrich
* alle Rechenschritte
* nur Zwischenergebnisse
* Bündelmaterial
• Nutzung
- Erarbeitung
- Kommunikation, Argumentation
- Individuelle Wahlmöglichkeit
- Differenzierungsmöglichkeit
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Rechnenwege - Kommunikation
Zur Kommunikation über die mathematischen Ideen müssen Vereinbarungen über Notationen getroffen werden.
Oberste Maßgabe dabei ist die Lesbarkeit für alle.
Es geht nicht um eine Normierung der Rechenwege!
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Rechenstrich
* unskaliert
* nur benötigte Zahlen werden eingetragen
* ähnlich Zahlenstrahl, aber: keine exakte Skalierung nötig
* Darstellung der Rechenwege durch Pfeile
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Rechenstrich - Bewertung
* Darstellung individueller Lösungswege
* skizzenhaftes Festhalten von Überlegungen
* Kaum Begrenzung des Zahlenraums
* Keine Bündelungsdarstellung möglich (z.B. Überträge, (Ent)Bündeln)
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Weitere Notationsmöglichkeiten
* Dekadische Zerlegung mit dem Zahlenkartensatz
* Eine Strategie, verschiedene Notationsmöglichkeiten.
* Individuelle Variation der Notationsform möglich
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Individualisierung
• Beim halbschriftlichen Rechnen ergeben sich gute Differenzierungsmöglichkeiten, aber:
- Nicht alle Kinder finden zwangsläufig verschiedene Lösungswege. Das ist auch nicht zwingend notwendig.
- Häufiger Einwand: SuS mit weniger starkem Vorwissen könnten durch verschiedene Strategien überfordert werden.
- > Das ist sicher richtig. Bedeutet das, dass prinzipiell nur eine Strategie behandelt werden darf?
- Alle Lernenden brauchen Lerngelegenheiten, die zu ihrem Vorwissen passen, sie herausfordern, aber auch nicht überfordern.
- > Es ist auch möglich individuell eine Strategie in den Mittelpunkt rücken, die sicher beherrscht wird.
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Im Unterricht bewegt man sich immer auf einem Kontinuum zwischen zwei idealtypischen Ansätzen:
1. Explizieren von Strategien
| 2. Systematisieren von Strategien
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Explizieren von Strategien
Strategien werden von der Lehrkraft explizit eingeführt
Ausgehend von z.B. einem Beispiel (So rechnet Peter…, anhand einer Sachsituation)
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Systematisieren von Strategien
Strategien werden anhand von Schülerlösungen erarbeitet
z.B. Gemeinsames aus mehreren Lösungswegen von Schülern herausarbeiten
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Gemeinsamkeiten der idealtypischen Ansätze
| Explizieren von Strategien & Systematisieren von Strategien
- Keine Unterschiede in der Akkuratheit (richtige Ergebnisse)
- Keine Unterschiede in der Adaptivität (Wahl geschickter Strategien)
Neue Strategien und Adaptivität sind lernbar…
…ohne negative Auswirkungen auf die Akkuratheit.
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Unterschiede der idealtypischen Ansätze
| Explizieren von Strategien & Systematisieren von Strategien
Explizieren von Strategien:
-> Stärkere Nutzung komplexerer Strategien (z.B. Vergleichsaufgabe)
Systematisieren von Strategien:
- > Längerfristige Nutzung von neuen Strategien (z.B. Hilfsaufgabe)
- > Komplexere Strategien können von den Lernenden kaum selbst entdeckt werden.
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Explizierende Methoden – Zusammenfassung
| Zum Erarbeiten von Strategien gehört…
- Wie geht die Strategie eigentlich?
- Wie funktioniert die Strategie?
- Bei welchen Aufgaben ist die Strategie besonders hilfreich?
- Ist die Strategie etwas für mich?
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Explizierende Methoden - Wie geht die Strategie eigentlich?
Strategie anwenden können
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Explizierende Methoden - Wie funktioniert die Strategie?
- Strategie begründen können (Argumentieren)
| - Strategie selbst erklären können (Kommunikation)
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Explizierende Methoden - Bei welchen Aufgaben ist die Strategie besonders hilfreich?
Aufgabenmerkmale für die Anwendung kennen
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Explizierende Methoden - Ist die Strategie etwas für mich?
Notwendige Voraussetzungen für die Strategienutzung schaffen. Erfahrungen mit der Strategie sammeln.
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Systematisierende Methoden zeichnet aus:
- Voraussetzungen schaffen
- Ausgehen von den Lösungsideen der Lernenden
- Sortieren von Lösungswegen und Aufgaben
- Sortieren von Aufgaben nach eigenen Kriterien
Der Austausch über Rechenwege ist ein wesentlicher Teil systematisierender Methoden
-> verschiedene Lösungswege für eine Aufgabe diskutieren und beurteilen
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Systematisierende Methoden zeichnet aus: Voraussetzungen schaffen
- Größenvorstellungen
- Zahlbeziehungen
- operative Zusammenhänge
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Systematisierende Methoden zeichnet aus: Ausgehen von den Lösungsideen der Lernenden
- Ausreichend Zeit für das Finden eigener Wege.
| - Kommunikation über und Vergleichen von Lösungswegen
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Systematisierende Methoden zeichnet aus: Sortieren von Lösungswegen und Aufgaben
- In welchen Wegen stecken ähnliche Ideen? Strategien erarbeiten.
- Bei welchen Aufgaben kann man die Lösungswege anwenden?
- Welche Aufgaben eignen sich für besondere Strategien?
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Systematisierende Methoden zeichnet aus: Sortieren von Aufgaben nach eigenen Kriterien
Woran erkenne ich selbst, welche Strategie ich anwenden könnte?
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Austausch über Rechenwege – Rechenkonferenzen
z.B. Ich-Du-Wir-Prinzip
• Gemeinsames Vorstellen und Vergleichen von Lösungswegen
• Die Diskussion im Plenum braucht gute Vorbereitung
-> Zeit für individuelle Lösungen, Austausch in Kleingruppen & gemeinsame Diskussion
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Austausch über Rechenwege – Diskussionsanlässe
- Verschiedene Strategien erklären
| - Andere Strategien ausprobieren und übertragen
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Fehleranalyse
Ein wichtiges Element, um im Unterricht Verständnis und metakognitive Kompetenzen zu schulen, ist die Diagnose und Analyse von Fehlern.
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Ziele eines konstruktiven Umgangs mit Fehlern
- Tieferes Verständnis von Rechenstrategien
- Nutzung von Fehlern als Lerngelegenheit
- Fehler als natürlichen Teil des Lernprozesses erkennen
- Angst vor Fehlern reduzieren
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Mögliche Elemente bei der Diskussion von Fehlern
- Eigene/fremde Fehler finden
- Fehler erklären
- Fehler korrigieren
- Wann muss ich aufpassen?
