Schriftliche Normalverfahren +&- Flashcards
Algorithmus:
Folge von eindeutigen und schrittweise in einer bestimmten Reihenfolge ausführbaren Anweisungen, die ein bestimmtes Problem in allen vorgesehenen Fällen lösen.
Begriffsklärung: schriftliche Normalverfahren
- Universell einsetzbare Algorithmen
- Normierung
- Verschiedene Verfahren des schriftlichen Rechnens
Begriffsklärung: schriftliche Normalverfahren
- Normierung
- Festgelegte Abfolge der Rechenschritte
- Festgelegte Notationsform
- Festgelegte Sprechweise
„Normalverfahren“ leitet sich von einer Normierung dieser Aspekte ab.
Verschiedene Verfahren des schriftlichen Rechnens
- Es gibt durchaus Variation zwischen (Bundes -)Ländern
- Variierende Zielsetzungen führen zu Änderungen der Verfahren über die geschichtliche Entwicklung hinweg (s.u.).
Vorteile schriftlicher Rechenverfahren
• Universelle Einsetzbarkeit
-> Ist das Verfahren verstanden, kann es auf alle Rechnungen gleich gut und auf beliebig große Zahlen angewandt werden.
• Große Effizienz und Sicherheit beim Rechnen möglich
- > Einfaches Rechnen mit großen Zahlen
- > Kenntnis des Eins-plus-Eins und des Einmaleins genügen
• Relativ einfache Automatisierung
-> Viele Verfahren sind auf eine mögliche Automatisierung auch ohne Verständnis hin optimiert.
• Normierung der Notation
-> z.B. Vergleichbarkeit von Rechnungen
- Förderung prozessbezogener Kompetenzen möglich
- Erweiterbarkeit der Verfahren -> Insbesondere auf Dezimalbrüche
- Algorithmen als eine zentrale mathematische Leitidee
Vorteile schriftlicher Rechenverfahren
- Förderung prozessbezogener Kompetenzen
- Argumentieren, Kommunizieren
- Problemlösen durch Analysieren und Vergleichen
- Möglichkeit aktiv-entdeckenden Lernens bei einer gut durchdachten Erarbeitung der schriftlichen Verfahren
Problembereiche bei schriftlichen Verfahren
• Rechnen als reine Ziffernmanipulation
- > Die Zahlen werden nicht mehr als Ganzes aufgefasst.
- > Schwerwiegende Fehler werden oft nicht erkannt.
• Kaum Entwicklung von Zahlverständnis.
- > Für die Anwendung der Verfahren nicht notwendig.
- > Weiterentwicklung nur mit guter Anregung möglich (z.B. Schätzen, Begründen, Verbalisieren,…).
• Gefahr der unkritischen Akzeptanz
-> Fehlendes kritisches Prüfen von Ergebnissen.
• Einschränkung der Adaptivität und Flexibilität
- > durch Normierung und Wunsch nach (gefühlter) Sicherheit
- > Aufgaben werden oft nicht mehr danach betrachtet, welcher Rechenweg ökonomisch und geschickt wäre.
Konsequenzen für den Unterricht
• Zielsetzung für das Rechnen reflektieren
- > nicht primär eine hohe Rechensicherheit und Rechenschnelligkeit…
- > …sondern (kognitiv) effizientes Rechnen
• Schnelligkeit ist nicht (mehr) das vorrangige Ziel
-> Unter Maßgabe des Verständnisses können auch aufwändigere Alternativverfahren gerechtfertigt sein.
• Oberflächliche, unsichere Automatisierung vermeiden
- > Verständnis und Einsicht für die Verfahren ermöglichen
- > z.B. aktiv-entdeckende Erarbeitung, operatives Üben
• Unkritische Anwendung vermeiden
- > Möglichkeiten zur Selbstkontrolle vermitteln und einfordern
- > z.B. Überschlagsrechnungen, Aufbau von Zahlvorstellung
• Ausgewogenes Verhältnis der Herangehensweisen
• Systematische und typische Fehler vermeiden
-> Fehleranalyse, Diskussion von Fehlern (s.u.)
Konsequenzen für den Unterricht
-> Ausgewogenes Verhältnis der Herangehensweisen
Kopfrechnen, halbschriftliches und schriftliches Rechnen:
- schriftliche Verfahren nicht zu früh einführen
- schriftliche Verfahren als eine Strategie unter vielen
- Aber halbschriftliches Rechnen auch nur bei Zahlenmaterial anwenden, bei dem gestütztes Kopfrechnen (individuell) sinnvoll ist
- > Insbesondere: Ziel ist individuelle Adaptivität
Vorkenntnisse für schriftliche Rechenverfahren
- Addition und Subtraktion
- Grundvorstellungen (Aspekte der Operationen)
- Addition und Subtraktion bis 20
- Stellenwertverständnis
- > Bündelungsprinzip (Bündeln, Entbündeln mit Bündelmaterial)
- > Stellenwertprinzip (Bedeutung der Ziffern)
- Überschlagsrechnen
Vorkenntnisse für schriftliche Rechenverfahren
- Multiplikation
- Grundvorstellungen (Aspekte der Operationen)
- Kleines 1x1
- Schriftliche Addition
- Bündelungsprinzip
- > „Stufenzahl mal Stufenzahl“
- > Multiplizieren mit Stufenzahlen
- Überschlagsrechnen
Vorkenntnisse für schriftliche Rechenverfahren
- Division
- Grundvorstellungen (Aspekte der Operationen)
- Division mit Rest
- Multiplikationen bis 100
- Schriftliche Subtraktion
- Schriftliche Multiplikation
- Bündelungsprinzip
- > „Stufenzahl durch Stufenzahl“
- Überschlagsrechnen
Entdecken des Verfahrens (Addition)
- Zugängliches Problem durch Materialeinsatz.
- Bündeln als zentrale Idee.
- Verknüpfung von Materialhandlung und symbolischer Notation.
- (Er-)Klären des „Übertrags“ und der Rechenrichtung.
Sprechweise
Von sehr ausführlicher Verbalisierung…
- 5 Einer plus 6 Einer sind 11 Einer. Das sind 1 Einer und 1 Zehner (oder 1 E an, 1Z gemerkt).
- 6 Zehner plus 2 Zehner plus 1 Zehner sind 9 Zehner (6 Z plus 3 Z sind 9 Z, 9 Z an).
- 2 Hunderter plus 1 Hunderter sind 3 Hunderter (3 H an).
…hin zur einfacheren, knappen Sprechweisen.
Mathematische Grundlagen der Verfahren
Die schriftlichen Verfahren basieren auf…
- …der Zerlegung von Zahlen gemäß dem Dezimalsystem
- …verschiedenen Rechengesetzen
Addition – Zusammenfassung
- Einstieg mit einer Aufgabe mit Übertrag
- Entdeckende Erarbeitung anhand von Material
- Spezialfälle thematisieren
Addition - Einstieg mit einer Aufgabe mit Übertrag
- Notwendigkeit des Rechnens von rechts nach links
- Bei Aufgaben ohne Übertrag ist schriftliches Rechnen nicht unbedingt der günstigste Weg
Addition - Entdeckende Erarbeitung anhand von Material
- Auch Übertragstechnik i.d.R. gut zu entdecken
- Notation und Sprechweise müssen von der Lehrkraft eingebracht werden
Addition - Spezialfälle thematisieren
- Nach der Erarbeitung im Rahmen strukturorientierter Übungen (Material!)
- z.B.
o Aufgaben mit Ziffern „Null“ in Summanden und im Ergebnis
o unterschiedliche Stellenanzahlen
o mehrfache Überträge
Schriftliche Subtraktion – eine lange Diskussion
• Vielfältige Auseinandersetzungen in der Bildungspolitik und auch in der Mathematikdidaktik in den letzten Jahrzehnten
• Stand 1958 – 2002
Seit 1958 war ein Verfahren seitens der Kultusministerkonferenz vorgeschrieben:
Die sogenannte Ergänzungsmethode mit den Übertragstechniken „Erweitern“ (gleichsinniges Verändern) oder „Auffüllen“.
• Änderung 2002
- Bereits vorher Freistellung des Verfahrens in den Lehrplänen einiger Bundesländer
- Festlegung der KMK 2002 stillschweigend aufgehoben.
- Seitdem setzt sich nach und nach die Abziehmethode mit der
Übertragstechnik „Entbündeln“ durch.
Zwei grundlegende Subtraktionsmethoden
- Abziehen: a – b = x
(Handlung: „W egnehmen“ einer bekannten Anzahl vom Minuenden) - Ergänzen: b + x = a
(Handlung: „Dazulegen“ einer unbekannten Anzahl zum Subtrahenden)
Drei Übertragstechniken
- Entbündeln
- Erweitern
- Auffüllen (nur beim Ergänzen)
In Deutschland häufig diskutierte Verfahren:
- Abziehverfahren: Abziehen mit Entbündeln
- Ergänzungsverfahren: Ergänzen mit Erweitern
Schriftliche Subtraktion in bayerischen Lehrplänen bis 2000
Ergänzungsverfahren mit Übertragstechnik „Erweitern“ verpflichtend
