Zahlenraumerweiterung Flashcards
1
Q
Zahlenraumerweiterungen in der Grundschule
A
- Zahlenraumerweiterungen beziehen sich auf den „Arbeitsraum“
- > Der „Zählraum“ kann darüber hinaus gehen.
2
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 1
A
- Zahlenraum bis 20
- einschließlich Null
3
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 2
A
Erweiterung auf den Zahlenraum bis 100
-> Hunderterraum
4
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 3
A
Erweiterung auf den Zahlenraum bis 1000
-> Tausenderraum
5
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 4
A
Erweiterung auf den Zahlenraum bis 1.000.000
-> Millionenraum
6
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 5
A
- Beliebig große natürliche Zahlen
- Ganze Zahlen -> inklusive negativer Zahlen
7
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 6
A
Rationale Zahlen -> inklusive Bruchzahlen
8
Q
Zahlenräume Jahrgangsstufe 9
A
Reelle Zahlen -> inklusive irrationaler Zahlen
9
Q
Zahlenräume Oberstufe
A
evtl. Komplexe Zahlen
10
Q
Zielbereiche bei verschiedenen Zahlenraumerweiterungen
A
Ähnliche Zielbereiche bei allen Zahlenraumerweiterungen
Unterschiede in der konkreten Ausgestaltung
Unterschiede in der Gewichtung
11
Q
Zielbereiche bei Zahlenraumerweiterungen
Die Schülerinnen und Schüler sollen…
A
…tragfähige Größenvorstellungen zu den Zahlen aufbauen
-> d.h. auch, Zahlen vergleichen und in Bezug auf ihre Größe anordnen
…sich im Zahlenraum orientieren können
-> d.h. Strukturen und Zahlbeziehungen im Zahlenraum nutzen
…Zahlen darstellen können
-> d.h. auch, zwischen verschiedenen Darstellungen (mental) wechseln
…im jeweiligen Zahlenraum rechnen können.
-> d.h. flexibel und adaptiv mit Zahlen und Rechenoperationen umgehen
12
Q
Zahlenraumerweiterungen – Vorgehen
A
- Anknüpfen an Vorkenntnisse
- Ankerpunkte schaffen
- Ausfüllen der Lücken
wenn möglich Arbeitsmittel verwenden
13
Q
Kriterien für Arbeitsmittel
A
- Sind wesentliche Eigenschaften von Zahlen oder Operationen im Arbeitsmittel klar erkennbar umgesetzt?
- Lassen sich Operationen handelnd nachvollziehen?
- Unterstützt das Material die Ablösung vom zählenden Rechnen?
- Eignet sich das Material dazu, vielfältige Lösungswege bei Addition und Subtraktion zu entdecken/darzustellen?
- Eignet sich das Material für ikonische Darstellungen?
14
Q
Arbeitsmittel für Zahlenraumerweiterungen – Typen
A
- Kardinale Arbeitsmittel
- Ordinale Arbeitsmittel
- Stellenwert-Arbeitsmittel
15
Q
Arbeitsmittel für Zahlenraumerweiterungen - Typen
-> kardinale Arbeitsmittel
A
- Zahlen als Anzahlen, Mengen darstellen
- z.T. auch für die Darstellung von Bündelungen geeignet (Bündelmaterial)
- z.T. mit fester Bündelungsstruktur, z.T. ohne eigene Bündelungsstruktur, z.T. Bündelungsstruktur mit Einzelobjekten
=> Aufbau von Mengen und Bündelungsvorstellungen
16
Q
Arbeitsmittel für Zahlenraumerweiterungen - Typen
-> ordinale Arbeitsmittel
A
Position der Zahl im Bezug zu anderen Zahlen im Zahlenraum
=> Aufbau von Größenvorstellungen, Orientierung im Zahlenraum
17
Q
Arbeitsmittel für Zahlenraumerweiterungen – Typen
-> Stellenwert-Arbeitsmittel
A
Rolle der verschiedenen Ziffern innerhalb der symbolischen Zahldarstellung
=> Fokus Stellenwertprinzip
18
Q
Zwanzigerfeld / Rechenschiffchen
Zahlenraumerweiterung
A
-> Hunderterfeld
Kardinales Arbeitsmittel
- Vier 5er-“Felder“ -> vier 5x5-Felder
- Zwei Zehnerreihen -> zehn Zehnerreihen
- Zahldarstellung mit Hilfe von Abdeckwinkeln
19
Q
Zwanziger-Rechenrahmen
Zahlenraumerweiterung
A
-> Hunderter-Rechenrahmen
Kardinales Arbeitsmittel
- Vier 5er-“Felder“ -> vier 5x5-Felder
- Zwei Zehnerreihen -> zehn Zehnerreihen
- Zahldarstellung durch Verschieben
20
Q
Zehnersystemblöcke
Zahlenraumerweiterung
A
Kardinales Arbeitsmittel
- nach Dienes
- goldenes Perlenmaterial nach Montessori
21
Q
Unstrukturiertes Material zum Bündeln
Zahlenraumerweiterung
A
Kardinales Arbeitsmittel
22
Q
Zahlenstrahl
Zahlenraumerweiterung
A
Ordinales Arbeitsmittel
- lineare Anordnung
- Zahlen ordnen, einordnen
- unskalierte Verwendung zur ungefähren Einordnung
23
Q
Zwanzigertafel
Zahlenraumerweiterung
A
-> Hundertertafel
Ordinales Arbeitsmittel
- Vier 5x5-Felder
- Anordnung in Zehnerreihen zur Verdeutlichung der Analogien
- Zusammenhang mit Hunderterfeld
- komplett oder unvollständig ausgefüllt, Ausschnitte
24
Q
Stellenwerttafel
Zahlenraumerweiterung
A
Stellenwert-Arbeitsmittel
- Rolle der Position jeder Ziffer, jedes Elements
- Hinführung zur Ziffernschreibweise
25
Zahlenkartensatz
| Zahlenraumerweiterung
Stellenwert-Arbeitsmittel
- Einblick in die Beziehung zwischen Ziffernwert und Stellenwert
- Unterschied Zahl - Ziffer
- Summenschreibweise der Zahl
26
Arbeitsmittel – Hinweise
| -> Jedes Arbeitsmittel muss erlernt werden
- Haptische Handhabung
- Zahlen darstellen und ablesen
- Struktur des Arbeitsmittels muss erkannt werden
z. B. Zahlen verändern und Auswirkungen beschreiben (Bsp: Vorgänger)
27
Arbeitsmittel - Hinweise
| -> Anzahl der Arbeitsmittel
Lieber wenige Arbeitsmittel gut und wiederholt einsetzen…
…als Kinder mit ständig neuen Darstellungen überfordern.
28
Arbeitsmittel - Hinweise
| -> Es gibt noch viele andere Arbeitsmittel
- …die jedoch nicht alle gut geeignet sind.
- Wenden Sie die Kriterien und Ihr Wissen darüber an wie Kinder Mathematik lernen!
- Inbesondere: „Bunt heißt nicht dasselbe wie gut!“
29
Phasen der Zahlenraumerweiterungen
1. Anknüpfen an Vorkenntnisse
2. Ankerpunkte schaffen
3. Lücken auffüllen
-> überschneiden sich
30
Allgemeine Vorgehensweise
| - Anknüpfen an Vorkenntnisse
- z.B. Zählübungen im neuen Zahlenraum (v.a. Hunderterraum)
| - Einsichten wiederholen, systematisieren – im neuen Zahlenraum erweitern (z.B. Dezimaldarstellung)
31
Allgemeine Vorgehensweise
| - Ankerpunkte schaffen
- Ankerpunkte: z.B. Zehnerzahlen im Hunderterraum,…
| - Analogien zu anderen, kleineren Zahlräumen
32
Allgemeine Vorgehensweise
| - Lücken auffüllen
Verfeinern der Lücken zwischen den Ankerpunkten (z.B. Analogien zwischen dem Hunderterraum und den Bereichen zwischen zwei Hundertern im Tausenderraum)
33
Zahlenraumerweiterung bis 100
1. Anknüpfen an Vorkenntnisse
• Einer und Zehner im Zwanzigerraum
- Wiederholung der Struktur („zehn Einer sind ein Zehner“)
- Analogien (13+4 und 3+4)
• über 20 hinaus zählen
- Struktur der (regelmäßigen) Zahlworte
Achtung!
- Sonderrolle “des Zehners“ für SuS im ZR 20 nur schwer erkennbar
- Oberflächenstrategien erkennen für weitere Arbeit z.B. „Die 1 ist immer der Zehner.“
- Zahlwortbildung im Zwanzigerraum z.T. sehr unregelmäßig
34
Zahlenraumerweiterung bis 100
2. Ankerpunkte schaffen
• Bündeln, Darstellung in Zehner und Einer
• Größenvorstellungen aufbauen
- Schätzen, Zählen, Strukturieren (s.u.)
- Daten sammeln
- Zahlen in der Umwelt und in Zeitungen
• Zehnerzahlen nutzen, mit Zehnerzahlen rechnen (MATERIAL!!)
35
Zahlenraumerweiterung bis 100
3. Lücken auffüllen
• Die „Lücken" zwischen den Zehnerzahlen werden mit weiteren Zahlen gefüllt
• Bündelungsprinzip
• Flexibler Wechsel zwischen Zahldarstellungen
…zum Aufbau flexibler Zahlvorstellungen
• Stellenwertprinzip
• Arbeit am Zahlenstrahl
• Was steckt in den Darstellungen?
36
Zahlenraumerweiterung bis 100
3. Lücken auffüllen
- Die „Lücken" zwischen den Zehnerzahlen werden mit weiteren Zahlen gefüllt z.B. durch…
- Bündeln in Zehner und Einer
- Vernetzung von Zahldarstellungen
- Anordnen, Ordnen von Zahlen
- Aufbauen von Größenvorstellungen
- Auffinden von Zahlen im Hunderterraum
- Suchen von Nachbarzehnern, Nachbarzahlen
- Weiterzählen in (Zehner-)Schritten
- Rechnen im Hunderterraum unter Ausnutzung der dekadischen Analogien (zerlegen sowie addieren und subtrahieren jeweils ohne und mit Übergang)
37
Zahlenraumerweiterung bis 100
3. Lücken auffüllen
- Bündelungsprinzip
- Bündeln von Anzahlen
- Zunehmend unterschiedliche Darstellungen für das Ergebnis
- > Jede Darstellung hebt andere Aspekte heraus.
- > Wechseln zwischen Darstellungen dient der Entwicklung von flexiblem Wissen zur Struktur der Zahldarstellung
- Arbeit mit dem Hunderterfeld
- > Zahlen zeigen und ablesen
- > Zahlen bzw. Mengen vergleichen
- > Mengen strukturieren (zehn Einer in einer Reihe als einen Zehner lesen)
- > verschiedene Darstellungen
38
Zahlenraumerweiterung bis 100
3. Lücken auffüllen
- Stellenwertprinzip
- Zahldarstellungen mit Plättchen in der Stellenwerttafel
- Darstellungen z.B. nur mit Zehnerstangen und Einerwürfeln nicht!
- Lediglich die Lage des Plättchens entscheidet über seinen Wert.
-> Vertiefung des Verständnisses durch operative Übungen
39
Zahlenraumerweiterung bis 100
3. Lücken auffüllen
- Arbeit am Zahlenstrahl
- Struktur eines Zahlenstrahls erkennen:
o Was bedeuten die Striche, Abstände? – verschiedene Maßstäbe! o Orientierung: Was bedeuten lange/kurze Striche?
o Was ist die erste Zahl?
- Übungsformen
o Zahlen suchen, (ein-)ordnen, vergleichen
o Vorgänger, Nachfolger, Nachbarzehner
o Zählen (in Schritten, „Sprüngen“) am Zahlenstrahl
!! skalierte und unskalierte Versionen beachten !!
40
Zahlenraumerweiterung bis 100
3. Lücken auffüllen
- Was steckt in den Darstellungen?
- Ziffernschreibweise
- Stellenwertprinzip
- Bündelungsprinzip
- Zahlwort (Sprechweise!)
- kardinale Vorstellung
- ordinale Vorstellung
- Sichtbarkeit von Analogien und Unterschieden
- ...
41
Arbeitsmittel für den Hunderterraum, die im Zahlenraum bis 1000 weitergeführt werden können
- Tausenderbuch
-> ordinale Einordnung
- Tausenderfeld
-> kardinale Einordnung
- Zahlenstrahl
-> ordinale Einordnung
- Zahlenkartensatz
Zahl Ziffer
Stellenwert Ziffernwert
- Ziffernkarten
42
Erweiterung zum Millionenraum
| -> Schwierigkeiten
- kaum tragfähige Vorkenntnisse zu Zahlen größer als 1000
- Erwerb der schriftlichen Rechenverfahren führt häufig zu reiner Ziffernmanipulation
- komplexere Struktur des Millionenraumes
- Erweiterung bringt 3 neue Stellen
43
Erweiterung zum Millionenraum
- mögliche Hilfen
Kaum tragfähige Vorkenntnisse zu Zahlen größer als 1000
-> Unterricht muss Gelegenheiten für Erfahrungen schaffen
44
Erweiterung zum Millionenraum
- mögliche Hilfen
Erwerb der schriftlichen Rechenverfahren führt häufig zu reiner Ziffernmanipulation
-> Zahlvorstellung und Zahlverständnis immer wieder betonen
45
Erweiterung zum Millionenraum
- mögliche Hilfen
Komplexere Struktur des Millionenraumes
-> Rolle dekadischer Analogien, auch zwischen T, ZT, HT
46
Erweiterung zum Millionenraum
- mögliche Hilfen
Erweiterung bringt 3 neue Stellen
-> Strukturierte, unterteilte Zahldarstellung als Hilfe!
47
Erweiterung zum Millionenraum
| - Grenzen von Arbeitsmitteln
* konkrete Veranschaulichung kaum möglich
* verwendetes Material vor allem ikonisch und symbolisch
* enaktives Material für Zahlenräume über 10 000 kaum noch handhabbar
* mentale Erweiterung der bekannten, enaktiv genutzten Materialien (z.B. Platten, Stangen, Würfel der Zehnersystemblöcke)
Nicht das Material, sondern das Wissen (zum Teil auf Analogien aufbauend) ist Sie Grundlage der Zahlvorstellung:
Die Ablösung von konkreten Denkhandlungen durch mentale Operationen ist erforderlich!
48
Zugänge zur Arbeit mit großen Zahlen können etwa sein:
• Statistiken
über die Heimatstadt, umliegenden Schulbezirk, Gebäude in der Umgebung,…
• Nachrichten über Rekorde
„Die längste Wurst der Welt… Wie viele Portionen gibt das?“…
• Fermiaufgaben
49
Fermiaufgaben
Durch Schätzen, Überschlagen, Messen und Informationen sammeln, gelangt man auf verschiedenen Wegen zu sinnvollen Ergebnissen.
50
Größenvorstellungen – Fermiaufgaben Methodische Hinweise zur Bearbeitung
• Schätzen
- Schätzungen sammeln und vergleichen
- Strategien zum Schätzen verbalisieren
• Ideen generieren
- Anregungen, Ideen sammeln
- Problemlösestrategien durch Besprechung von Zwischenlösungen
- ggf. Lösung einer (ersten) Fermiaufgabe im Klassenverband
• Arbeit an der Ausformulierung von Lösungen z.B. in Gruppen
- probierende Lösungsverfahren herausfordern
- Dokumentation der Lösungswege
• Ergebnisvorstellung im Klassenverband
51
Zahldarstellung – Stellenwerttafel
• Zahlen darstellen und ablesen
verschiedene Darstellungen – verschiedene Vorstellungen
• Operative Übungen
Plättchen verschieben, Zahlen notieren
52
Zahldarstellungen
- Ziffernschreibweise
- Stellenwerttafel
- Stufenschreibweise
- Zerlegen in Stufenzahlen
- Summenschreibweise
53
Zahldarstellung – Zahlenkartensatz
Zahlen darstellen:
- Zahlwort
- Stellenwerte
- Zerlegen in Stufenzahlen
- Summenschreibweise
- Ziffernschreibweise
54
Orientierung im Zahlenraum - Zahlenseil
* Ordnung
* Orientierung
* Ausschnitte „vergrößern“
* Analogien
* Nachbarzahlen bestimmen (HT, ZT…)
* in Schritten zählen
* Ergänzen auf volle T, ZT,…
55
Orientierung im Zahlenraum – Zahlenstrahl
• Zeichnen eines eigenen Zahlenstrahls
z.B. als diagnostisches Tool
• Orientierung
- Zahlen ungefähr einordnen
- Ausschnitte „vergrößern“
- Ausschnitte aus dem unskalierten Zahlenstrahl
56
Millionenraum – Zielbereich Rechnen
• Die Zahlenraumerweiterung wird von Anfang an begleitet mit Übungen zum Kopfrechnen.
• Rechnen mit Stufenzahlen und ihren Vielfachen:
-> Analogieaufgaben
-> operative Übungsaufgaben (Flexibilität des Rechnens fördern)
Beziehungen zwischen Aufgaben erkennen, entdecken, z.B.
o Verdoppeln/Halbieren
o Nachbaraufgaben, Tauschaufgaben, Umkehraufgaben
o gleich- und gegensinniges Verändern
o Zusammensetzen/Zerlegen
57
Am Ende der Grundschule sollen die Kinder…
• ein reichhaltiges Zahlverständnis haben
d.h. Zahlen erkennen, lesen und schreiben können (Zahldarstellungen), aber auch Zahlbeziehungen erfassen
• strukturelle Zahlkenntnisse erworben haben und anwenden können (große Zahlen, Dezimalsystem)
d.h. insbesondere Darstellungswechsel zu Arbeitsmitteln, Beziehungen und Analogien kennen und nutzen
* Zahlen als Werkzeug verwenden können, insbesondere im Zusammenhang mit Rechenoperationen
* Hilfsmittel kennen und einsetzen können (Notation, Zahlenstrahl etc.).
58
Kriterien für Arbeitsmittel
| !
* !Dient das Material dem Aufbau des Verständnisses für das Zahlsystem, die Zahlen (deren Mengenerfassung)?
* !Lassen sich Zahlen schnell finden und darstellen?
* !Gibt das Material einen guten Überblick für den Zahlenraum?
* !Kann das Material in höheren Jahrgangsstufen erweitert werden?
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Kriterien für Arbeitsmittel
| !
* !Dient das Material dem Aufbau des Verständnisses für das Zahlsystem, die Zahlen (deren Mengenerfassung)?
* !Lassen sich Zahlen schnell finden und darstellen?
* !Gibt das Material einen guten Überblick für den Zahlenraum?
* !Kann das Material in höheren Jahrgangsstufen erweitert werden?
