Schätzen, Runden, Überschlagen

Question 1

Grundlegendes

Answer 1

• „Weiche Rechenverfahren“ sind im Zeitalter des Taschenrechners und Computer wichtig.
• Überschlagendes Rechnen ist nicht einfach:
• Kontext entscheidet über die beim Runden nötige Genauigkeit
• Zahl- und Größenvorstellung notwendig
• Überschlagen und Runden gewinnen in Jahrgangsstufe 3/4 an Bedeutung.
• Fähigkeit zum Schätzen, Runden und Überschlagen erwirbt man nicht automatisch!

Question 2

Begriffserklärung: Schätzen

Answer 2

…ist das Ermitteln einer ungefähren Größenangabe durch gedankliches Vergleichen mit eingeprägten Repräsentanten als Stützpunkten.

Question 3

Begriffserklärung: Runden

Answer 3

Approximation eines Zahlwertes durch eine der Situation angemessene Stufenzahl (Zehnerpotenz)

Question 4

Begriffserklärung: Überschlagen

Answer 4

Approximation eines Ergebnisses einer Rechnung durch Verarbeitung von gerundeten Zahlwerten

Question 5

Schätzen – 2 Aufgabenarten

Answer 5

• Grundständige Schätzaufgaben

* Eingebettete Schätzaufgaben

Question 6

Grundständige Schätzaufgaben

Answer 6

• Anzahl oder Größe ist zu schätzen

- meist aufgrund gedanklichen Vergleichs mit bekannter Größe zu ermitteln

Question 7

Eingebettete Schätzaufgaben

Answer 7

-> komplexere Aufgaben (z.B. Fermi-Aufgaben), die nicht allein durch gedankliches Vergleichen lösbar sind; nötig sind auch:

• Erfahrungen zur Sachsituation
• Beziehungen zwischen verschiedenen Daten beachten, herstellen
• Festlegen von Durchschnittswerten
• Rechnen mit Vergleichswerten
• Mehrere Teilschritte

Question 8

Grundständige Schätzaufgaben zu Anzahlen

Answer 8

z.T. auch Multiplikation als Lösungsweg!

Question 9

Eingebettete Schätzaufgaben zu Anzahlen

Answer 9

• „Kann das sein?“ -> Validieren (s. Modellierungskreislauf, 1. Semester)
• Vgl. 1. Semester: Grundvorstellung Multiplikation -> Proportionalität

Question 10

Eingebettete Schätzaufgaben zu Größen - Beispiel

Answer 10

Wie viel wiegt eine Palette Eier ungefähr?

Question 11

Eingebettete Schätzaufgaben: Fermi-Aufgaben

Answer 11

• Deine Lebenszeit
• Wenn sich alle Kinder deiner Schule an den Händen fassten und eine Schlange bildeten, könnten sie ein Fußballfeld einzäunen. Kann das stimmen?

Question 12

Schätzen

Answer 12

• Die häufig gestellte Aufgabe, Kinder sollen vor dem Messen erst schätzen, überfordert diese oft.
• Denn begründetes Schätzen erfordert Vorstellungen über Größenbereiche, die im Unterricht erst erworben werden.

Question 13

Schätzen - Strategien

Answer 13

• direkter Vergleich (Vorstellung eines bekannten Repräsentanten sowie gedankliche Ermittlung des Unterschieds)
• indirekter Vergleich (gedankliches Ausmessen mit Vergleichsgröße)

-> Grundlage ist das Verfügen über Stützpunktvorstellungen (realistische, alltagstaugliche Vorstellungen zu Größen und Größenbegriffen)

Question 14

Schätzen – Grundlagen sichern

Answer 14

• > Stützpunktvorstellungen zu zentralen Größen aufbauen (durch konkrete Messerfahrungen und Umgang mit konventionellen Messinstrumenten)
• > Sammlungen von Repräsentanten zu einer Standardeinheit (2m: Türhöhe, zwei Schritte, …)
• > Umgang mit wichtigen Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt in Sachsituationen

Question 15

Schätzen will gelernt sein!

Answer 15

• > vielfältige Gelegenheiten bieten
• > in tägliche Kopfrechenübungen einbauen
• > in Strategiekonferenzen thematisieren

Question 16

Runden

Answer 16

• Beim Runden wird eine Zahl nicht aufgrund einer Einschätzung approximiert (angenähert), sondern aufgrund von vorgegebenen Regeln.
• Ziel ist dabei, eine einfacher strukturierte Zahl zu finden, die die vorgegebene Zahl näherungsweise ersetzen kann.

Question 17

Rundungsregeln

Answer 17

• Es muss festgelegt werden, auf welche Stelle gerundet wird (ganze Zehner, Hunderter, Tausender,…).
• Ist die rechte Nachbarstelle eine 0,1,2,3 oder 4, dann wird diese und alle nachfolgenden Stellen auf Null gesetzt -> Abrunden
• Handelt es sich um eine 5,6,7,8 oder 9, so wird diese und alle nachfolgenden Stellen auf Null gesetzt und die festgelegte Stelle um 1 erhöht -> Aufrunden

Question 18

Warum Runden?

Answer 18

• „Vereinfachen“ von Zahlen beispielsweise

• für Überschlagsrechnungen
• wenn kein Genauigkeitsverlust zu erwarten ist
• wenn eine exakte Angabe nicht sinnvoll ist
• um Angaben in Schaubildern darzustellen,

Question 19

Runden - Gesprächsanlässe nutzen:

Answer 19

• Welche Zahlen sind genau, welche gerundet?

- Wann ist Runden sinnvoll?

Question 20

Runden – Vorstellungen aufbauen

Answer 20

• Wie lassen sich die Rundungsregeln an das Zahlwissen der Lernenden anbinden?
->An was kann man anknüpfen?
• Runden von Anfang an!
-> Bereits im Hunderterraum möglich und sinnvoll
• Anbindung an Nachbarzehner, -hunderter,…
-> v.a. auch am Zahlenstrahl
• „Streitfall 5“
-> Klären, dass hier eine Vereinbarung getroffen wird.

Question 21

Übungen zum Runden

Answer 21

• Nutzung der Regeln
-> Klärung von Begriffen, Rundungstechnik
• Umkehraufgaben: Bestimmen von möglichen Zahlen

Question 22

Überschlagen

Answer 22

-> Beim Überschlagen wird eine Rechnung nach dem Runden einer oder mehrerer Zahlen ausgeführt und so das Ergebnis approximiert.

Question 23

Voraussetzung für das Überschlagen:

Answer 23

Runden

• > Nicht immer ist jedoch das Runden nach der klassischen Rundungsregel das Beste
• > Welche Technik für die Berechnung des Überschlags verwendet wird, hängt von den Zahlenwerten, dem Kontext und dem Aufgabentyp ab

Question 24

Überschlagen – Verschiedene Strategien

Answer 24

• Erst runden, dann rechnen (regelkonformes Runden)
• Abbruchverfahren
• Abbruchverfahren mit Ausgleichsrechnung
• Gleich- und gegensinniges Verändern

Question 25

Überschlagen – Regelkonformes Runden

Answer 25

-> Den Regeln entsprechend werden alle Zahlen zuerst gerundet, dann verrechnet. - Überschlagen entspricht einem „Verfahren“ - auch Überschlagsrechnung stellt Anforderungen an das Kopfrechnen - „Kräftiges Runden“ (auf größte Stelle) vermindert den Aufwand!

Question 26

Überschlagen – Abbruchverfahren

Answer 26

Es werden nur die erste oder die ersten beiden Stellen zum Rechnen verwendet; die weiteren Stellen bleiben unberücksichtigt. - > Schnellste, aber auch mit großen Fehlern behaftete Methode - > v.a. bei Verrechnung mehrerer Zahlen gut einzusetzen

Question 27

Überschlagen – Abbruchverfahren mit Ausgleichsrechnung

Answer 27

- > Zunächst wird überschlägig mit dem Abbruchverfahren gerechnet - > dann wird der systematische Fehler durch Berücksichtigung der restlichen Stellen korrigiert.

Question 28

Überschlagen – Gleich- und gegensinniges Verändern

Answer 28

- Addition und Multiplikation: gegensinniges Verändern - Subtraktion und Division: gleichsinniges Verändern -> Verhältnismäßig genaue Überschlagsberechnungen, v.a. bei Verrechnung nur zweier Zahlen gut einzusetzen

Question 29

Überschlagen – Verschiedene Aufgabentypen

Answer 29

- Direkte Überschlagsfragen | - Indirekte Überschlagsfragen

Question 30

Direkte Überschlagsfragen:

Answer 30

-> Zahl als Ergebnis verlangt * Algorithmische Durchführung des Überschlags möglich * Überschlag führt zu einem Ergebnis

Question 31

Indirekte Überschlagsfragen:

Answer 31

-> Zahl nicht zwingend als Ergebnis verlangt * Globaleres Vorgehen möglich, ungenauere Überschläge ausreichend * Interpretation des Ergebnisses erforderlich!

Question 32

Überschlagen – Schwierigkeit:

Answer 32

- > Wissen über Auswirkungen des Überschlags - > Es muss Wissen vorhanden sein, wie sich der Überschlag im Vergleich zur genauen Rechnung auswirkt. - Überlegungen anstellen: Liegt der Überschlag über oder unter dem genauen Ergebnis? - Welche Veränderung der Zahl(en) wirkt sich mehr aus?

Question 33

Bedeutung des Überschlags:

Answer 33

-> Fehler vermeiden durch schnelle Prüfung von Rechnungen im Zuge der schriftlichen Rechenverfahren

Question 34

Arten von Übungsformen

Answer 34

- Automatisierendes Üben - Beziehungsreiches Üben - > Operatives Üben - > Strukturorientiertes Üben - Anwendungsorientiertes Üben

Question 35

Automatisierendes Üben

Answer 35

Ziele: Grundkenntnisse bis zum Auswendigwissen; Fertigkeiten bis zur sicheren Beherrschung Hintergrund: Entlastung bei anspruchsvolleren Aufgaben; schnelles Kopfrechnen

Question 36

Operatives Üben

Answer 36

Ziele: Ausbau der Beweglichkeit des Denkens durch Herstellung vielfältiger Beziehungen und Zusammenhänge Hintergrund: Operatives Prinzip

Question 37

Strukturorientiertes Üben

Answer 37

Ziele: Entwicklung eines Verständnisses für mathematische Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhänge Hintergrund: Prinzip des entdeckenden Lernens

Question 38

Anwendungsorientiertes Üben

Answer 38

Ziele: Übertragung des Gelernten auf neue Fragestellungen und Situationen Hintergrund: Prinzip der Anwendungsorientierung

Question 39

Überlegungen bei der Auswahl von Übungsaufgaben

Answer 39

- Was muss wirklich automatisiert werden? - Wann steht Vernetzung und Vertiefung im Vordergrund? - Inwieweit kann Anwendung geübt werden? Was gilt es hier zu beachten? -> Dementsprechend Aufgaben auswählen; jede Form hat ihren Platz !

Question 40

Operatives Üben - Beispiele

Answer 40

Beispiele: - „Klecksaufgaben“ - > Verständnis für die Verfahren sichern - > Lösung über Umkehroperationen - 3 Zahlen – 4 Aufgaben („Aufgabenfamilien“, z.B. „Bilde 4 Aufgaben mit den drei Zahlen 30, 150 und 50.“) - Plättchen in der Stellenwerttafel verschieben

Question 41

Strukturorientiertes Üben - Beispiele

Answer 41

-> Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhänge entdecken Entdeckerpäckchen / schöne Päckchen

Question 42

Anwendungsorientiertes Üben - Beispiele

Answer 42

-> Rechnen mit Größen und Kommazahlen