Kombinatorik Flashcards
Statistik ( Wahrscheinlichkeit)
bedient sich der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kombinatorik ( Wahrscheinlichkeit)
Werkzeug zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit ( Statistik)
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten aufgrund ermittelter Daten
Zielperspektiven
- Propädeutik: SuS mit unterschiedlichen kombinatorischen Situationen vertraut machen, Verständnis entwickeln
- Förderung prozessbezogener Kompetenzen
- Erweiterung der Grundvorstellung von Multiplikation ->kombinatorischer Aspekt
- Unterstützung des Strategieerwerbs
Zugänge zur Kombinatorik
- „Wie viele Möglichkeiten gibt es?“
* „Welche Möglichkeiten gibt es?“
„Welche Möglichkeiten gibt es?“
- diese Frage kann konkret bzw. ikonisch gelöst werden
- anschließende geordnete Darstellung der möglichen Kombinationen in Zeichnungen, Tabellen und Baumdiagrammen
- Erkennen von Strukturen, die zum analytischen Lösen kombinatorischer Aufgaben genutzt werden können
- dadurch Anzahl der Möglichkeiten herausfinden
Lösungshilfen
- Konkret handelnd
- Zeichnen
- Sortieren und Ordnen
- Notieren / Darstellen
=> Thematisierung der unterschiedlichen gefundenen Lösungsmöglichkeiten, Strategien und Darstellungen: Welche sind übersichtlich und geschickt?
Lösungshilfen - Konkret handelnd
-> oft als unstrukturiertes Probieren: Bauen, Legen,…
Lösungshilfen - Zeichnen
-> Hilfreich kann das Zeichnen auf einzelne Papiere sein, damit auch im Nachhinein eine sinnvolle Anordnung gefunden werden kann, die eine Idee für eine analytische Behandlung solcher Probleme ermöglicht.
Lösungshilfen - Sortieren und Ordnen
-> Doppelte aussortieren; mögliche Systematisierung erkennen;
Überlegung: sind das alle Möglichkeiten?
Lösungshilfen - Notieren / Darstellen
- (systematisches) Aufschreiben, Skizzieren
- Baumdiagramme
- Tabellen
- Überlegungen (in Teilen oder gänzlich analytisch)
- > Basis dafür sind oft die genannten Darstellungsformen
Systematisierung der Lösungsprozesse
Aufgabe: Mit Legosteinen verschiedene Türme aus zwei Steinen bauen, dazu Farben rot, blau, gelb, weiß
- Welche Türme sind „verschieden“? Welche „gleich“?
- Möglichst alle Türme finden, dabei systematisches Vorgehen thematisieren
- Daraus ergibt sich als Thema die übersichtliche Darstellung (Baumdiagramm, Tabelle, Abkürzungen …)
- Variationen: mehr Farben, Türme aus drei Steinen
- Weiterführung: Andere Kontexte
Zentrale Fragestellung der Kombinatorik
-> Wie viele verschiedene Anordnungen von Elementen aus einer Menge gibt es (und welche sind dies)?
Typen kombinatorischer Aufgaben - zu berücksichtigende Aspekte
- Stammen die Elemente aus verschiedenen Grundmengen oder aus derselben Grundmenge?
- Welche Elemente der Menge sollen unterschieden werden, welche als gleich(wertig) betrachtet werden?
- Kommt es auf die Reihenfolge der Elemente an oder nur auf die jeweilige Anzahl?
- Dürfen einzelne Elemente doppelt vorkommen oder nicht?
Typen kombinatorischer Aufgaben - alle
- Kreuzprodukt
- Variation mit Wiederholung
- Variation ohne Wiederholung
- Kombination mit Wiederholung
- Kombination ohne Wiederholung
Typen kombinatorischer Aufgaben:
Auswahl von Elementen aus verschiedenen Grundmengen
-> Kreuzprodukt
Typen kombinatorischer Aufgaben:
Auswahl von Elementen aus der gleichen Grundmenge
-> Reihenfolge relevant
-> Variation
Typen kombinatorischer Aufgaben:
Auswahl von Elementen aus der gleichen Grundmenge
-> Reihenfolge irrelevant
-> Kombination
Wie können wir kombinatorische Aufgaben ohne Formeln lösen?
-> Verstehen der Aufgabenstruktur
Kreuzprodukt - Formel
Bei k Entscheidungsstufen („Plätze zu vergeben“) und n1 , n2 , …, nk Entscheidungsmöglichkeiten auf den jeweiligen Stufen („Anzahl der Möglichkeiten pro Platz“) wird die Anzahl der Möglichkeiten ausgedrückt als n1 ∙n 2 ∙ … ∙ nk
Formel - Variation mit Zurücklegen / Wiederholung
n^k
Formel - Variation ohne Zurücklegen / Wiederholung
Wenn k=n -> Permutation: n!
Sonst: n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))
Formel - Kombination mit Zurücklegen / Wiederholung
(n+k-1)=(n+k-1) (n+k-1)!
( k ) ( n-1 )=————-
(n-1)! k!
Formel - Kombination ohne Zurücklegen / Wiederholung
n! (n)
———— =(k)
(n-k)! k!
