Vorlesung 11 Scheibe

Question 1

Welche Belastungen wirken auf ein Scheibenelement? Welche Lasten können nicht berücksichtigt werden?

Answer 1

Zug, Druck, Schub (Ebener Spannungszustand)
Keine Biegespannung (aufgrund Dünnwandigkeit)
…keine Querkraft, Torsion
keine Volumenkräfte

Question 2

Neben den drei wesentlichen Gleichungsgruppen ist welche zusätzliche Beziehung zu berücksichtigen? Was besagt sie?

Answer 2

Kompatibilitäten der Verschiebungen–> Verformungskompatibilität der Scheibe
• Verschiebungskomponenten eindeutig stetige Funktionen (Verschiebung nur kontinuierlich) –>

für Verformungszustand gilt:
ableitung nach x und y = ableitung nach y und x

Verformungskompatibilität der Scheibe
epsilonx°° + epsilony’’
- epsilonxy°’ =0

°= Ableitung nach y
‘=Ableitung nach x
epsilonxy = Schubverzerrung

Question 3

Was ist bei der Anwendung der Airy´schen Spannungsfunktion zu beachten?

Answer 3

Airy´sche Spannungsfunktion F=f(x, y) :
Voraussetzungen
- isotropen Materialgesetz
-keine Volumenkräfte (z.B. Eigengewicht) im Scheibenelement
-bei ihrer Anwendung die Gleichgewichtsbedingungen automatisch erfüllt und Spannungskomponenten werden geliefert

Question 4

Wie ergeben sich die Normal- und Schubspannungen aus der Airy´schen Spannungsfunktion? Wie lautet die resultierende Differenzialgleichung der Spannungsfunktion?

Answer 4

n x = F°°
ny = F’’
nxy= - F°’
F°°°°+2F’‘°°+F’’’‘=0 (Nabla F = 0)

' = Ableitung nach x
° = ableitung nach y

Question 5

Welche Arten von Ansätzen für die Airy´sche Spannungsfunktion gibt es? Welche Eigenschaften sind für die Wahl eines Ansatzes vorteilhaft?

Answer 5

• Die Resultate der elementaren Betrachtungen haben alle den mathematischen Charakter von Polynomen zweier Veränderlicher (x- und y-Richtung).
• Es liegt deshalb zunächst nahe, grundsätzlich Bi-Polynomansätze für die Airy‘sche Spannungsfunktion zu verwenden.
• Viele der in der technischen Anwendung relevanten Probleme lassen sich besser mit harmonischen Ansätzen beschreiben.
• Diese sind wie Polynome stetig differenzierbar. (hat eine Ableitung und ist stetig)
• Sie erfüllen zugleich infolge ihrer speziellen Natur i. d. R. die Randbedingungen (Randwerte 1oder 1, z.B. Moment am Rand=0) automatisch und enthalten daher weniger Koeffizienten.

Question 6

Was wird unter der “mittragenden Breite” verstanden? Wo ist sie zu beachten? Was bedeutet sie für das Verhältnis von Gurtbreite zu Steghöhe?

Answer 6

Krafteinleitung (sin od, cos Verteilung). (erst später in der Scheibe trägt die gesamte Breite), Rand z.B. trägt nicht. Fläche der Krafeinleitung anders verteilt: mittlere Last auf gesamte Breite ODER maximallast auf mittragende Breite. Es ergibt sich folgendes Verhältnis:

die resultierende Kraft n*b muss gleich groß sein, wie die auf eine mittlere Breite bezogenen Maximalbelastung.

bmn_max=n_mittelb

ab einem gewissen Verhältniss von Gurtbreite / Trägerlänge (Gurtebreite länger zu Steghöhe) wird eine gleichmäßige Qurschnittsausnutzung gar nicht mehr erreicht. Das heißt kein linearer Schubfluss-Verlauf mehr an den Gurten! Frage-> Was trägt noch mit Normalfluss abklingend, nicht konstant über Breite, außen trägt vielleicht nicht mehr mit.

Question 7

Wie wirkt sich eine kreisförmiges Loch bei einer auf Zug beanspruchten Scheibe aus? Wie groß ist die zu erwartende Spannungsüberhöhung?

Answer 7

Spannungsüberhöhung in längsrichtung am Lochrand
dreifache Spannung in Belastungsrichtung
Die Störung baut sich mit zunehmender Entfernung vom Loch ab. Beim 5-fachen Lochradius ist der elementare Spannungszustand erreicht.

Question 8

Welche Maßnahmen können ergriffen werden, um die Spannungsüberhöhung am Lochrand abzumildern?

Answer 8

Augenstäbe (Schlaufe, Steg, effizientester Fall: Kopf mit Aussparung in der Mitte), -> Verhältnis e(Aussparung) und b(Materialbreite) entscheidend für Effekt

Verdickung oder Pflaster mit konischer Verjüngung am Loch mit r>2*t (Spannungskonzentration am Rand, gegenteiliger Effekt zum Loch)

Das Pflaster hat eine Absenkung der Längskraftflussspitze an der Bohrung orthogonal zur Zugrichtung, aber auch eine Anhebung am Pflasterrand in Zugrichtung.
(Ausschnitt -> Kräfteumleitung, Verdickung-> Konzentriert und zieht Kräfte auf sich)

Bei zweiachsiger Belastung und bei reiner Schubbelastung sind die Spannungskonzentrationen mit Pflaster geringer als im einachsigen Fall.

Für den einachsigen Fall empfiehlt sich ein ovales Pflaster quer zur Belastung liegend. (sonst Spannungsspitzen oben/unten)

Doppelseitiges Pflaster besser als einseitig, aufdickung des Pflasters kontinuierlich

Pflasterverstärkte Bohrung um beide Vorteile zu Nutzen! Bei vertikaler Belastung: Pflaster -> Spannunsspitze vertikal, Loch horizontal. Pflaster mit Loch wie Überlagerung