Teoremi spettrali e forme quadriche Flashcards
Matrici reali e simmetriche hanno autovalori reali
Il polinomio caratteristico di una matrice reale e simmetrica ha solo radici reali.
In altre parole: gli autovalori di una matrice reale e simmetrica sono reali
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali
Sia A una matrice quadrata (n, n) REALE e SIMMETRICA.
Siano λ e μ autovalori distinti e siano v, w autovettori ad essi relativi.
Allora v, w sono ortogonali
Teorema spettrale per matrici reali e simmetriche
Una matrice reale e simmetrica A è ortogonalmente diagonalizzabile.
Esiste cioè una matrice U ortogonale tale che
U^-1 A U = U^T A U = D con D diagonale
Def forma quadratica
Un polinomio omogeneo di grado 2 nelle variabili x1, … , xn si chiama forma quadratica.
La forma quadratica si dice reale se i suoi coefficienti sono reali.
Segno di una forma quadratica
Si dice che una forma quadratica in n variabili è:
- definita positiva se Q(x) > 0 per ogni x app R^n \ { 0 }
- definita negativa se Q(x) < 0 per ogni x app R^n \ { 0 }
- semidefinita positiva se Q(x) > = 0 per ogni x app R^n ed esiste y ! = 0 app R^n tale che Q(y) = 0
- semidefinita negativa se Q(x) < = 0 per ogni x app R^n ed esiste y ! = 0 app R^n tale che Q(y) = 0
- indefinita se esistono x1, x2 app R^n tali che Q(x1) > 0 e Q(x2) < 0
Def matrice congruente
Una matrice B si dice congruente a una matrice simmetrica A se esiste S invertibile tale che
B = S^T A S
Massimo e minimo di una forma quadratica e autovalori
Sia A una matrice reale e simmetrica, sia Q(x) = x^T A x una forma quadratica.
Allora:
1) se Av = λv allora Q(v) = λ || v || ^2
2) siano λmin e λmax gli autovalori minimo e massimo rispettivamente.
Allora
λmin || x || ^2 < = Q(x) < = λmax || x || ^2
Segno di una forma quadratica e autovalori: corollario
Data la forma quadratica Q(x) = x^T A x
si ha che
1) Q(x) è definita positiva (negativa) se e solo se tutti gli autovalori di A sono positivi (negativi)
2) Q(x) è semidefinita positiva (negativa) se e solo se tutti gli autovalori di A sono non negativi (non positivi)
3) Q(x) è indefinita se e solo se ci sono autovalori di A sia positivi sia negativi
Segno di una forma quadratica in due variabili
Data la forma quadratica in due variabili
Q(x, y) = a11 x^2 + 2 a12 xy + a22 y^2
Q(x, y) è
- definita positiva se det(A) > 0 e a11 > 0
- definita negativa se det(A) > 0 e a11 < 0
- semidefinita positiva se det(A) = 0 e a11 > = 0
- semidefinita negativa se det(A) = 0 e a11 < = 0
- indefinita se det(A) < 0
Teorema matrici definite positive e minori di nord ovest
Sia A reale quadrata di ordine n, simmetrica.
A è definita positiva se e solo se i minori principali di nord ovest sono positivi
Teorema di inerzia di Sylvester
Due matrici reali simmetriche di ordine n sono congruenti se e solo se hanno lo stesso numero di autovalori positivi, negativi, nulli.
Una matrice reale ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica
Sia A matrice quadrata di ordine n su campo reale.
Se A è ortogonalmente diagonalizzabile, allora è simmetrica.
