Spazi vettoriali Flashcards
Def gruppo e gruppo abeliano
Dato un insieme G e un’operazione *
Si dice che G con l’operazione * forma un gruppo se * gode della proprietà associativa, esiste elemento neutro in G rispetto a *, e ogni elemento di G ammette inverso (opposto) rispetto a *.
Se inoltre * gode della proprietà commutativa il gruppo è abeliano.
Esempi:
- insieme delle matrici mxn su campo K con l’operazione di somma di matrici forma un gruppo abeliano
- insieme delle matrici quadrate nxn non singolari (invertibili) forma un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne
Definizione spazio vettoriale su campo K
Si dice spazio vettoriale su campo K un insieme V (i cui elementi si dicono vettori) dotato di un’operazione detta somma che a una coppia v, w di V associa v+w in V e di un’operazione detta prodotto per uno scalare che ad ogni t di K e v di V associa tv in V per cui valgono le seguenti proprietà:
1) p. associativa della somma
2) p. commutativa della somma
3) esiste el. neutro per la somma
4) esiste opposto per la somma
(cioè V è un gruppo abeliano rispetto alla somma)
5 e 6 distributive del prodotto per uno scalare
7 p. associativa del prodotto per uno scalare
8) normalizzazione del prodotto per uno scalare: 1*v=v
Esempi di spazi vettoriali
1) V insieme dei vettori della fisica, K=R
2) V insieme delle matrici mxn su campo K=R,C
3) V insieme dei vettori colonna (matrici mx1)
4) funzioni reali di una variabile reale
4) funzioni continue su R
Spazi vettoriali: proprietà
1) Legge di cancellazione della somma:
da v+w=u+w segue v=u
2) legge di annullamento del prodotto per uno scalare:
tv=0 se e solo se t=0 oppure v=0
Def sottospazio vettoriale
Un sottoinsieme U NON VUOTO di uno spazio vettoriale V si dice sottospazio vettoriale di V se:
1) U è chiuso rispetto alla somma definita in V:
per ogni u1, u2 di U, u1+u2 appartiene a U
2) U è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare:
per ogni t di K, per ogni u di U, tu appartiene ad U
Il nucleo Ker(A) è sottospazio vettoriale di K^n
Data una matrice su campo K con n colonne, Ker(A) è sottospazio vettoriale di K^n
Def combinazione lineare di vettori
Dato uno spazio vettoriale V su K e v1, … , vn vettori di V
si dice combinazione lineare di v1, … , vn il vettore v=t1v1+ … + tnvn
gli scalari t1, … , tn si dicono coefficienti della combinazione lineare
Def sottoinsieme generato da un insieme di vettori
Si dice sottoinsieme generato da un insieme di vettori e si indica con L(v1, … , vn) il sottoinsieme di V contenente tutte le possibili combinazioni lineari di v1, … , vn
Il sottoinsieme generato da un insieme di vettori è sottospazio
L(v1, … , vn) è sottospazio vettoriale di V.
Dipendenza e indipendenza lineare
Si dice che l’insieme di vettori v1, … , vn è linearmente dipendente se esistono degli scalari t1, … , tn non tutti nulli tali che t1v1+ … +tnvn=0.
Si dice che i vettori v1, … , vn sono linearmente indipendenti se t1v1+…+tnvn implica t1=…=tnvn=0
Costruzione di insiemi di vettori linearmente indipendenti
1) {v1} è linearmente indipendente se e solo se v1 != 0
2) {v1, … , vn} con n>1 è linearmente indipendente se e solo se {v1, … , v n-1} è linearmente indipendente e vn non è combinazione lineare di v1, … , v n-1
Intersezione di sottospazi
Siano H e K sottospazi di uno spazio vettoriale V
L’intersezione, cioè l’insieme dei vettori di V che appartengono sia ad H che a K, è un sottospazio di V
Somma di sottospazi
Dati H e K sottospazi di uno spazio vettoriale V
Si definisce somma H+K l’insieme costituito da tutti i vettori di V che si possono scrivere come somma di un vettore di H e di un vettore di K
La somma H+K è il più piccolo sottospazio di V che contiene sia H che K;
Se h1, … , hd sono generatori di H e k1, … , ke sono generatori di K, allora h1, … , hd, k1, … , ke sono generatori di H+K
Formula di Grassmann
Siano H e K due sottospazi di uno spazio vettoriale V. Se H e K hanno dimensione finita, allora
dimensione dell’intersezione + dimensione della somma = dimensione di H + dimensione di K
Base di uno spazio vettoriale: def
Dato V spazio vettoriale su K
Un insieme di vettori {v1, .. , vn} si dice base di V se è un insieme di generatori di V linearmente indipendente.
Unicità delle coordinate di un vettore rispetto ad una base fissata
Sia V spazio vettoriale su K e B={v1, … , vn} una sua base, ordinata.
Allora ogni vettore v di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di v1, .. , vn.
Coordinate rispetto a una base
Data una base ordinata B={v1, … , vn} i coefficienti di un vettore v rispetto a tale base si chiamano coordinate del vettore v nella base B
Spazio vettoriale finitamente generato
Uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se ha un numero finito di generatori
Caratterizzazione di una base
Sia V uno spazio vettoriale.
I vettori v1, … , vn formano una base di V se e solo se:
a) v1, .. , vn sono un insieme di generatori di V
b) v1, … , vn sono linearmente indipendenti
Insieme massimale di vettori linearmente indipendenti: def
Dato V spazio vettoriale su K
Si dice che {v1, … , vn} è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti se v1, … , vn sono linearmente indipendenti, e per ogni w di V l’insieme {v1, .. , vn, w} è linearmente dipendente.
Insieme massimale di vettori linearmente indipendenti è una base
Dato V spazio vettoriale su K.
Se {v1, … , vn} è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, allora è una base.
Teorema fondamentale
Sia V uno spazio vettoriale
su K generato da m vettori.
Allora un insieme di n>m vettori è linearmente dipendente.
Esistenza di una base di un sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita
Sia V uno spazio vettoriale su K finitamente generato.
Sia U un sottospazio di V (anche V stesso).
Allora esiste una base di U.
Invarianza del numero di elementi di una base
Dato V spazio vettoriale su K di dimensione finita,
tutte le basi di V contengono lo stesso numero di elementi
Dimensione def
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Il numero di elementi di una base si chiama dimensione di V e si indica con dim V.
Mappa delle coordinate è lineare
La funzione che associa ad un vettore le sue coordinate rispetto ad una base è lineare.
a) rispetta la somma:
x(v1+v2)=x(v1)+x(v2) per ogni v1, v2 di V
b) rispetta il prodotto per uno scalare:
x(tv)=tx(v) per ogni t di K e v di V
Def spazio riga e spazio colonna
Sia A una matrice su K di tipo (m, n).
a) Lo spazio riga Row(A) è il sottospazio di K^n generato dalle righe di A
b) Lo spazio colonna Col(A) è il sottospazio di K^m generato dalle colonne di A
Def rango per righe e rango per colonne
Rango per righe di A è dim Row(A), cioè il numero di righe di A linearmente indipendenti
Rango per colonne di A è dim Col(A), cioè il numero di colonne di A linearmente indipendenti
Il rango per righe è uguale al numero di pivots di una ridotta a scala
Sia A una matrice mxn su K e sia U una sua ridotta a scala.
Allora:
- Row(A) = Row(U)
- Le righe non nulle di U formano una base di Row(A)
- Il rango per righe di A è uguale al numero di pivots di una ridotta a scala, ovvero uguale al rango di A
Il rango per colonne è uguale al rango
Si può dimostrare che il rango per righe di una matrice A qualsiasi su campo K coincide con il rango per colonne, cioè
dimRow(A) = dim Col(A) ,
e coincidono con il rango di A
