Spazi vettoriali Flashcards
Def gruppo e gruppo abeliano
Dato un insieme G e un’operazione *
Si dice che G con l’operazione * forma un gruppo se * gode della proprietà associativa, esiste elemento neutro in G rispetto a *, e ogni elemento di G ammette inverso (opposto) rispetto a *.
Se inoltre * gode della proprietà commutativa il gruppo è abeliano.
Esempi:
- insieme delle matrici mxn su campo K con l’operazione di somma di matrici forma un gruppo abeliano
- insieme delle matrici quadrate nxn non singolari (invertibili) forma un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne
Definizione spazio vettoriale su campo K
Si dice spazio vettoriale su campo K un insieme V (i cui elementi si dicono vettori) dotato di un’operazione detta somma che a una coppia v, w di V associa v+w in V e di un’operazione detta prodotto per uno scalare che ad ogni t di K e v di V associa tv in V per cui valgono le seguenti proprietà:
1) p. associativa della somma
2) p. commutativa della somma
3) esiste el. neutro per la somma
4) esiste opposto per la somma
(cioè V è un gruppo abeliano rispetto alla somma)
5 e 6 distributive del prodotto per uno scalare
7 p. associativa del prodotto per uno scalare
8) normalizzazione del prodotto per uno scalare: 1*v=v
Esempi di spazi vettoriali
1) V insieme dei vettori della fisica, K=R
2) V insieme delle matrici mxn su campo K=R,C
3) V insieme dei vettori colonna (matrici mx1)
4) funzioni reali di una variabile reale
4) funzioni continue su R
Spazi vettoriali: proprietà
1) Legge di cancellazione della somma:
da v+w=u+w segue v=u
2) legge di annullamento del prodotto per uno scalare:
tv=0 se e solo se t=0 oppure v=0
Def sottospazio vettoriale
Un sottoinsieme U NON VUOTO di uno spazio vettoriale V si dice sottospazio vettoriale di V se:
1) U è chiuso rispetto alla somma definita in V:
per ogni u1, u2 di U, u1+u2 appartiene a U
2) U è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare:
per ogni t di K, per ogni u di U, tu appartiene ad U
Il nucleo Ker(A) è sottospazio vettoriale di K^n
Data una matrice su campo K con n colonne, Ker(A) è sottospazio vettoriale di K^n
Def combinazione lineare di vettori
Dato uno spazio vettoriale V su K e v1, … , vn vettori di V
si dice combinazione lineare di v1, … , vn il vettore v=t1v1+ … + tnvn
gli scalari t1, … , tn si dicono coefficienti della combinazione lineare
Def sottoinsieme generato da un insieme di vettori
Si dice sottoinsieme generato da un insieme di vettori e si indica con L(v1, … , vn) il sottoinsieme di V contenente tutte le possibili combinazioni lineari di v1, … , vn
Il sottoinsieme generato da un insieme di vettori è sottospazio
L(v1, … , vn) è sottospazio vettoriale di V.
Dipendenza e indipendenza lineare
Si dice che l’insieme di vettori v1, … , vn è linearmente dipendente se esistono degli scalari t1, … , tn non tutti nulli tali che t1v1+ … +tnvn=0.
Si dice che i vettori v1, … , vn sono linearmente indipendenti se t1v1+…+tnvn implica t1=…=tnvn=0
Costruzione di insiemi di vettori linearmente indipendenti
1) {v1} è linearmente indipendente se e solo se v1 != 0
2) {v1, … , vn} con n>1 è linearmente indipendente se e solo se {v1, … , v n-1} è linearmente indipendente e vn non è combinazione lineare di v1, … , v n-1
Intersezione di sottospazi
Siano H e K sottospazi di uno spazio vettoriale V
L’intersezione, cioè l’insieme dei vettori di V che appartengono sia ad H che a K, è un sottospazio di V
Somma di sottospazi
Dati H e K sottospazi di uno spazio vettoriale V
Si definisce somma H+K l’insieme costituito da tutti i vettori di V che si possono scrivere come somma di un vettore di H e di un vettore di K
La somma H+K è il più piccolo sottospazio di V che contiene sia H che K;
Se h1, … , hd sono generatori di H e k1, … , ke sono generatori di K, allora h1, … , hd, k1, … , ke sono generatori di H+K
Formula di Grassmann
Siano H e K due sottospazi di uno spazio vettoriale V. Se H e K hanno dimensione finita, allora
dimensione dell’intersezione + dimensione della somma = dimensione di H + dimensione di K
Base di uno spazio vettoriale: def
Dato V spazio vettoriale su K
Un insieme di vettori {v1, .. , vn} si dice base di V se è un insieme di generatori di V linearmente indipendente.
