Sistemi lineari

Question 1

Matrici in un campo K

Answer 1

Tabelle con elementi di K disposti su m righe e n colonne

Question 2

Somma di matrici: proprietà

Answer 2

1) ASSOCIATIVA: A+(B+C) = (A+B)+C per ogni A,B,C
2) COMMUTATIVA: A+B=B+A per ogni A,B
3) Esiste ELEMENTO NEUTRO: matrice nulla
4) Esiste ELEMENTO OPPOSTO di A tale che sommata ad A dà l’elemento neutro

Question 3

Prodotto matrice per scalare: proprietà

Answer 3

per ogni t, s di K, per ogni A, B matrici mxn su campo K

1) ASSOCIATIVA: (ts)A = t(sA)
2) DISTRIBUTIVE : t(A+B) = tA + tB e (t+s)A= tA + sA
3) ELEMENTO NEUTRO: 1A=A

Question 4

Prodotto righe per colonne: proprietà

Answer 4

Date le matrici su campo K
A (m, n) B(n, p) C(p, r)
1) ASSOCIATIVA: (AB)C=A(BC)
2) DISTRIBUTIVE: (A+B)C=AC+BC e D(A+B)=DA+DB
3) per ogni t di K t(AB)=A(tB)=(tA)B
4) ELEMENTO NEUTRO: matrice quadrata identità I con 1 sulla diagonale e 0 negli altri posti

Question 5

Inversa di una matrice: definizione

Answer 5

Data A matrice quadrata (n, n) su K si dice che B è inversa di A se AB=BA=In
Se esiste si indica con A^-1

Question 6

Unicità dell’inversa di una matrice

Answer 6

Data A matrice quadrata (n, n) su K, se esiste una sua inversa, è unica.

Question 7

Proprietà dell’inversa di una matrice

Answer 7

1) (A^-1)^-1 = A
2) AA^-1 = In
3) (AB)^-1 = B^-1*A^-1

Question 8

pivot definizione

Answer 8

Data una qualunque matrice, si chiama pivot il primo elemento non nullo a partire da sinistra di ogni sua riga non nulla

Question 9

Definizione matrice a scala

Answer 9

Sia U una matrice qualsiasi e U1, … , Um le sue righe. U è ridotta a scala se:

1) se due righe consecutive Ui e Ui+1 sono non nulle, allora il pivot di Ui+1 si trova a destra di quello di Ui
2) se Ui=0, anche Ui+1=0, cioè le eventuali righe nulle si trovano tutte in fondo alla matrice

Question 10

Operazioni elementari sulle righe

Answer 10

Data una matrice qualsiasi, chiamo operazioni elementari sulle righe le operazioni:

1) SCAMBIARE DUE RIGHE
2) SOSTITUIRE A UNA RIGA LA SUA SOMMA CON UN MULTIPLO DI UN’ALTRA RIGA

Question 11

Metodo di eliminazione di Gauss

Answer 11

Esiste un algoritmo che riduce una matrice qualsiasi in una matrice a scala mediante un numero finito di operazioni elementari sulle righe

Question 12

pivots e rango di una matrice

Answer 12

Data una qualsiasi matrice A, si dice RANGO di A il numero di righe non nulle, ovvero il numero di pivot di una sua ridotta a scala

Question 13

Determinante: definizione

Answer 13

Ad ogni matrice QUADRATA su campo K, è possibile associare un numero di K chiamato determinante della matrice

Question 14

Proprietà del determinante

Answer 14

Sia A una matrice quadrata su campo K
1) A e la sua trasposta hanno lo stesso determinante
2) Se A ha due righe o due colonne uguali, allora det(A)=0
3) Se si moltiplica una riga per a di K, il determinante è moltiplicato per a; det(aA)=a^n * detA
4) Se si aggiunge ad una riga un’altra riga moltiplicata per a di K il determinante non cambia
4 bis) Se si aggiunge ad una riga una combinazione lineare delle altre righe il determinante non cambia
5) Scambiando fra loro due righe o colonne il determinante cambia segno
6) Il determinante di una matrice triangolare alta è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale

Question 15

Teorema di Binet

Answer 15

Matrici quadrate dello stesso ordine sono sempre moltiplicabili e det(AB)=detA*detB

Question 16

Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare

Answer 16

Sia vo una soluzione del sistema lineare Ax=b (si dice che v0 è una soluzione particolare).
Tutte e sole le soluzioni del sistema lineare dato sono della forma v0+vh, dove vh è una soluzione del sistema omogeneo associato Ax=0.

Question 17

Sistemi equivalenti

Answer 17

Si dice che due sistemi lineari sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni

Question 18

Teorema di Kronecker

Answer 18

Sia A una matrice qualsiasi

a) Se il rango di A è r, allora esiste un minore estratto da a di ordine r non nullo, e tutti i minori di ordine r+1 sono nulli
b) il rango di A è r se e solo se A contiene un minore di ordine r non nullo e sono nulli tutti i minori ottenuti orlando questo

Question 19

Def minore

Answer 19

Un minore di ordine p di una matrice M è il determinante di una sottomatrice pxp di M.

Question 20

Teorema di Cramer

Answer 20

Sia Ax=b un sistema lineare quadrato di n equazioni in n incognite. 
Se r(A) = n, allora il sistema ammette una ed una sola soluzione.

Question 21

Nucleo

Answer 21

Si chiama NUCLEO di A e si indica con Ker(A) l’insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax=0.
Ker(A) = {v tali che Av=0 }

Question 22

Teorema di Rouché-Capelli

Answer 22

Sia Ax=b un sistema lineare in n incognite a coefficienti in K. Allora

a) il sistema ammette soluzioni se e solo se r(A) = r(A|b)
b) se il sistema ammette soluzioni, queste dipendono da n-r parametri: esistono v0, v1, … , vn-r vettori di K^n tali che le soluzioni sono della forma v=v0+t1v1+ … + tn-r*vn-r con t1, … , tn-r app K. A valori diversi dei parametri corrispondono soluzioni diverse.
c) se il sistema ammette soluzioni, i vettori u del nucleo, soluzioni del sistema omogeneo associato, sono della forma u=t1v1+ … + tn-rvn-r. A valori diversi dei parametri corrispondono soluzioni diverse.

Question 23

Condizioni di invertibilità

Answer 23

Sia A una matrice quadrata.
A è invertibile se e solo se det(A) != 0. 
Quindi le seguenti condizioni sono equivalenti:
a) A ha rango massimo: r(A)=n
b) Ker(A)={0}
c) A è invertibile
d) A ha inversa sinistra
e) A ha inversa destra