Applicazioni lineari Flashcards
Def applicazione lineare
Siano V e W due spazi vettoriali su K.
Sia L: V->W una mappa (legge) che associa a ogni v di V uno e un solo w di W.
Si dice che L è un’applicazione lineare se:
1) L è additiva:
L(v+u) = L(v)+L(u) per ogni v, u di V
2) L è omogenea:
L(tv) = tL(v)
Def applicazione lineare associata ad una matrice
Sia A una matrice m, n su K.
Sia LA : K^n->K^m definita da LA(x) = Ax.
LA è un’applicazione lineare.
Condizione necessaria e sufficiente per essere applicazione lineare
L: V->W spazi vettoriali su K
è un’applicazione lineare se e solo se
V t,s di K , Vv, u di V, si ha
L(tv+su) = tL(v) + sL(u).
Inoltre, se L: V->W è applicazione lineare, allora
L(0v) = 0w
Def fibra di un’applicazione lineare
Data L: V->W
La fibra di L sopra w di W è l’insieme
L^-1 (w) = { v di V : L(v) = w }
Def nucleo di un’applicazione lineare
La fibra di L sopra 0w si chiama nucleo di L e si indica con Ker(L)
Ker(L) = { v di V : L(v) = 0w }
Nucleo di un’applicazione lineare è sottospazio vettoriale di V
Data l’applicazione lineare L: V->W
Ker (L) è sottospazio vettoriale di V
Le fibre di L sono descritte come v0 + Ker(L)
Sia L: V->W
e sia v0 app V
tale che v0 app L^-1 (w).
Allora
L^-1(w) = { v app V : v = v0 + vh con vh app Ker (L) }Def immagine di L
Data L: V->W
Si chiama immagine di L e si indica con Im(L) il sottoinsieme di W formato dai vettori w di W che sono immagine di vettori di V:
Im(L) = { w app W : esiste v app V tale che L(v) = w }
Immagine di L è sottospazio vettoriale di W
Data L: V->W
Im(L) è sottospazio vettoriale di W
Più in generale, se U è sottospazio vettoriale di V, detta L(U) l’immagine dei vettori u di U tramite L,
L(U) è sottospazio vettoriale di W.
def applicazione lineare iniettiva
Data L: V->W
Si dice che L è iniettiva se
V v1, v2 di V con v1 != v2,
L(v1) != L(v2)
def applicazione lineare suriettiva
Data L: V->W
Si dice che L è suriettiva se per ogni w di W esiste v di v tale che w = L(v)
Condizioni di iniettività e suriettività
L: V->W
L è iniettiva se e solo se
Ker(L) = {0v}
L è suriettiva se e solo se
Im(L) = WApplicazione lineare biiettiva
L si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva.
Si dice anche che L è un isomorfismo
Un’applicazione lineare è caratterizzata dalle immagini dei vettori di una base
Dati V, W spazi vettoriali su K
dim V = n
Sia {v1, ... , vn} una base di V.
Siano w1, ... , wn app W.
Allora esiste unica l'applicazione lineare L tale che L(v1) = w1, ... , L(vn) = wn.
L è data da
L(x1v1 + ... + xnvn) = x1w1 + ... + xnwnDefinizione insieme delle applicazioni lineari tra V e W
Dati V e W spazi vettoriali su K
si definisce
Hom K (V,W) = {L: V->W }
l'insieme delle applicazioni lineari tra V e W.
Hom K (V, W) insieme alle operazioni che si possono definire +, * , è spazio vettoriale su K. Si definisce (L1+L2)(v) = L1(v)+L2(v) e (tL)(v) = tL(v)
Composizione di applicazioni lineari
Dati V, W, Z spazi vettoriali su K L: V->W L': W->Z si definisce L' ° L : V->Z tale che (L' ° L)(v) = L'(L(v))
Se L e L’ sono applicazioni lineari, allora L’ ° L è applicazione lineare
def applicazione lineare inversa
L’ è inversa di L e si scrive L’ = L^-1 se
L ° L^-1 = Iw
e
L^-1 ° L = Iv
dove Iv è l’applicazione lineare identica
Iv: V->V : Iv(v) = v
Condizione di invertibilità
L è invertibile se e solo se è biiettiva;
L è invertibile se e solo se è un isomorfismo
Def isomorfismo
Trasformazione lineare biiettiva
Ogni spazio vettoriale di dimensione n è isomorfo a Kn
Dato V spazio vettoriale su K di dimensione finita = n
V è isomorfo a Kn
Si può passare da V a Kn e viceversa mediante un’applicazione lineare invertibile: la mappa delle coordinate e la mappa di parametrizzazione
Teorema di rappresentazione
Sia L: V->W una applicazione lineare.
Siano B={v1, .. , vn} una base di V e C={w1, … , wm} una base di W.
Siano x il vettore delle coordinate di v app V e y il vettore delle coordinate di w=L(v) rispetto alle basi B, C.
Allora esiste unica la matrice A su K (m, n) tale che y=Ax.
Si dice che A è la matrice rappresentativa di L rispetto alle basi B e C.
Lo spazio vettoriale Hom K(V,W) è isomorfo a M K(m,n)
Dati V e W spazi vettoriali su K, dim V = n dim W = m B e C basi fissate di V e W L'insieme delle applicazioni lineari su K da V in W è isomorfo all'insieme delle matrici su K con m righe e n colonne. Hom K (V, W) isomorfo M K (m, n)
Cambiamento di base e matrice associata
Sia V uno spazio vettoriale su K
B={v1, … , vn} e B’={b1, .. , bn} siano due basi di V.
Siano x, x’ le coordinate di v app V rispetto a B e B’ e sia P la matrice di passaggio.
Allora
x = P x’
P è invertibile e
x’ = P^-1 x
Matrice di passaggio
Dato V spazio vettoriale su K
B={v1, … , vn} e B’={b1, … , bn} due basi di V.
La matrice di passaggio P ha per i-esima colonna il vettore delle coordinate di bi rispetto alla base B.
bi = [v1, … , vn] [P1i, … , Pni]T
In questo modo
[b1, … , bn] = [v1, … , vn] P
