Spazi euclidei

Question 1

Def prodotto scalare

Answer 1

Sia V uno spazio vettoriale su R
Si chiama prodotto scalare una funzione < , > : V x V -> R che associa ad una coppia di vettori di V un numero reale, con le seguenti proprietà

1) commutativa:
< v, w > = < w, v > per ogni v, w app V

2) linearità del primo fattore:
< tv+su, w > = t< v, w > +s< u, w > per ogni t, s app R e per ogni v, u, w app V

3) positività:
< v, v > maggiore o uguale a 0 per ogni v app V
< v, v > = 0 se e solo se v = 0

Question 2

def spazio euclideo

Answer 2

Uno spazio vettoriale V dotato di prodotto scalare si chiama spazio euclideo

Question 3

def norma di un vettore

Answer 3

Dato V spazio vettoriale e v app V
|| v || = | < v, v >
si dice norma o modulo o lunghezza di v

Question 4

Condizione di perpendicolarità

Answer 4

Dati v, w app V spazio euclideo
v perpendicolare a w se e solo se < v, w > = 0

0 perpendicolare a v per ogni v app V

Question 5

def versore

Answer 5

Dato V spazio euclideo
ogni vettore v appartenente a V di modulo unitario si dice versore

v app V : || v || = 1

Question 6

Teorema di Carnot e di Pitagora

Answer 6

Sia V uno spazio euclideo, e siano u, v vettori di V

T. di Carnot:
|| u + v || ^2 = || u || ^2 + || v || ^2 + 2 < u, v >

T. di Pitagora:
se u e v sono perpendicolari, allora
|| u + v || ^2 = || u || ^2 + || v || ^2

Question 7

Disuguaglianza di Schwarz

Answer 7

Sia V uno spazio euclideo
Allora per ogni v, w app V vale
| < v, w > | < = || v || || w ||
e vale = se e solo se v parallelo a w

Question 8

Proprietà della norma di un vettore

Answer 8

1) || v || > = 0
e vale = 0 < = > v = 0

2) se t è un numero reale
|| t v || = | t | || v ||

3) disuguaglianza triangolare
|| v + w || < = || v || + || w ||
e vale l’uguaglianza se e solo se v e w sono paralleli

Question 9

def insieme di vettori ortogonale e ortonormale

Answer 9

L’insieme di vettori { v1, v2, … , vn} si dice insieme ortogonale di vettori se
vi perpendicolare a vj , con i != j

{ v1, … , vn } si dice insieme ortonormale di vettori se è ortogonale e || vi || = 1 per ogni i = 1, … , n

Question 10

Insieme ortogonale di vettori è un insieme linearmente indipendente

Answer 10

Sia V uno spazio euclideo

Se { v1, … , vn } è un insieme ortogonale di vettori, allora { v1, … , vn } è un insieme linearmente indipendente

Question 11

Def matrice ortogonale

Answer 11

Una matrice A quadrata (n, n) su campo REALE si dice ortogonale se
A^T A = I

L’insieme delle matrici ortogonali si indica con O(n)

Question 12

Proprietà di O(n)

Answer 12

1) La matrice identità è ortogonale:
In app O(n)

2) Il prodotto di matrici ortogonali di ordine n è una matrice ortogonale:
Se U1, U2 app O(n), allora U1U2 app O(n)

3) Una matrice ortogonale U è invertibile; la sua inversa è U^T
Se U app O(n), allora U^-1 = U^T

Question 13

Matrici ortogonali e loro caratterizzazione

Answer 13

Sia U una matrice quadrata (n, n) su campo R.
U è una matrice ortogonale di ordine n se e solo se le colonne di U formano una base ortonormale di R^n rispetto al prodotto scalare standard

Question 14

Def isometria

Answer 14

Siano V, W spazi euclidei
Sia f: V-> W un’applicazione
Si dice che f è un’isometria se conserva le distanze:
|| u - v || (V) = || f(u) - f(v) || (W)
Se f è un’applicazione lineare, l’isometria si dice isometria lineare

Question 15

Def proiezione ortogonale su una retta

Answer 15

Sia V uno spazio euclideo
Siano v, w vettori di V, con v != 0
Si dice proiezione ortogonale di w lungo v il vettore
w// = < w, v > / || v || ^2 * v = < w, v > / < v, v > * v

Question 16

Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Answer 16

Sia V uno spazio euclideo.
Siano { v1, … , vn } vettori linearmente indipendenti in V.
Allora esistono { b1, … , bn } tali che:

1) per ogni k = 1, … , n
L (v1, …, vk ) = L (b1, … , bk)

2) i vettori bi sono a due a due ortogonali

Question 17

Prodotto scalare e norma rispetto a basi ortonormali

Answer 17

Sia B = { q1, … , qn } una base ortonormale di V spazio euclideo. Allora

1) Le coordinate di v app V rispetto a B sono xk = < v, qk >

2) v app V, v = x1q1 + … + xnqn
|| v || = | ( x1^2 + … + xn^2 )

3) v, w app V, v = x1q1 + … + xnqn w = y1q1 + … + xnqn
< v, w > = x1y1 + … + xnyn

Question 18

Sottospazio ortogonale a un insieme di vettori

Answer 18

Sia V uno spazio euclideo e H un suo sottospazio.
L’insieme dei vettori ortogonali ad H (cioè dei vettori v di V ortogonali ad ogni vettore di H) è un sottospazio vettoriale di V

Question 19

Proiezioni ortogonali su spazi di dimensione finita: esistenza e unicità ( riepilogo )

Answer 19

Sia H un sottospazio di dimensione finita di uno spazio euclideo V. Allora

a) per ogni v app V esiste un unico vettore vH app H, detto proiezione ortogonale di v su H, tale che v-vH è ortogonale a H

b) la proiezione ortogonale vH è il vettore di H a distanza minima da v:
|| v - vH || < || v - w || Vw != vH app H

c) se { b1, b2, … , bn } è una base ortogonale di H, le coordinate di vH rispetto alla base sono i coefficienti di Fourier di v rispetto ai vettori della base.

Question 20

Proiezione ortogonale su un sottospazio finito dimensionale di cui si conosce una base ortogonale

Answer 20

Sia V spazio euclideo e U un suo sottospazio avente base ortogonale B = { b1, … , bd }
Per v app V esiste la proiezione ortogonale di v su U, indicata con vu, e vale
vU = x1b1 + … + xdbd
dove xi sono i coefficienti di Fourier di v rispetto a b1, …, bd