Diagonalizzazione di matrici Flashcards
Polinomio caratteristico
Sia A una matrice quadrata di ordine n.
La funzione det(A-λI) è un polinomio di grado n nella variabile λ, che si dice polinomio caratteristico di A:
det(A-λI) = (-1)^n λ^n + c1 λ^(n-1) + … + cn-1 λ + cn
Il secondo e l’ultimo coefficiente sono:
c1 = (-1)^(n-1) tr(A) cn = det(A)
Def matrice diagonalizzabile
Sia A una matrice quadrata di ordine n su campo K.
Si dice che A è diagonalizzabile su K se esiste una matrice P (quadrata di ordine n su K) invertibile tale che P^-1 A P è una matrice diagonale:
P^-1 A P = diag(λ1, … , λn)
Criterio di diagonalizzabilità
Una matrice quadrata A di ordine n su campo K
è diagonalizzabile su K
se e solo se
K^n ha una base formata da autovettori di A
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti
Data A matrice quadrata (n, n) su K.
Siano v1, … , vs autovettori di A relativi agli autovalori λ1, … , λs.
Se gli autovalori λ1, … , λs sono fra loro distinti, allora i corrispondenti autovettori sono linearmente indipendenti.
Polinomio caratteristico: proprietà
Sia A una matrice quadrata di ordine n su campo K.
Allora A ha n autovalori complessi λ1, … , λn (contati ciascuno con la propria molteplicità algebrica).
Inoltre, la traccia e il determinante di A sono, rispettivamente, la somma e il prodotto degli autovalori:
tr(A) = λ1+...+λn det(A) = λ1*...*λn
Condizione sufficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile
Sia A una matrice quadrata di ordine n su campo K.
Se A ha n autovalori distinti in K, allora A è diagonalizzabile su K.
def molteplicità algebrica di un autovalore
Si dice che un autovalore λ0 ha molteplicità algebrica pari a aλ0 app N se aλ0 è il massimo esponente m tale che (λ0-λ)^m divide il polinomio caratteristico di A det(A-λI).
def autovalore semplice
Un autovalore che ha moltepplicità algebrica pari a 1 si dice semplice.
def molteplicità geometrica
Sia λ0 un autovalore di A.
Si dice che λ0 ha molteplicità geometrica gλ0 app N se
gλ0 = dim Vλ0
dove Vλ0 è l’autospazio di A relativo a λ0:
Vλ0 = Ker (A-λI) = { x app K^n : (A-λI)x = 0 }
def autovalore regolare
Si dice che un autovalore λ0 di una matrice A su K (n, n) è regolare se le sue molteplicità algebrica e geometrica coincidono
Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia diagonalizzabile
Sia A una matrice quadrata di ordine n su K.
A è diagonalizzabile su K se e solo se:
a) A possiede n autovalori in K (se contati con la loro molteplicità algebrica)
b) ogni autovalore di A è regolare
Def matrici simili
Date A, B matrici quadrate di ordine n su K
si dice che B è simile ad A se esiste una matrice P (quadrata di ordine n su K) invertibile tale che
B = P^-1 A P
Similitudine di matrici è una relazione di equivalenza
La similitudine di matrici è una relazione di equivalenza sull’insieme della matrici quadrate di ordine n, cioè valgono le proprietà:
1) riflessiva: una matrice A è simile a se stessa
2) simmetrica: se B è simile ad A, allora A è simile a B
3) transitiva: se A è simile a B e B è simile a C, allora A è simile a C
Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e corollari
Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico
Segue che
due matrici simili hanno gli stessi autovalori
due matrici simili hanno la stessa traccia e lo stesso determinante
Teorema di Cayley-Hamilton
Ogni matrice quadrata A è soluzione del proprio polinomio caratteristico:
A^n - (trA) A^n-1 + … + detA I (=A^0) = 0nxn
