Coniche

Question 1

Def ellisse

Answer 1

Un’ellisse avente fuochi F1 e F2 e semiasse a > 0 è il luogo dei punti P del piano tali che PF1 + PF2 = 2a

Question 2

Ellisse: forma canonica

Answer 2

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Question 3

Ellisse: coordinate fuochi

Answer 3

Se a > b: F ( +- c , 0 )
con c^2 = a^2 - b^2

Se a < b: F ( 0 , +- c )
con c^2 = b^2 - a^2

Question 4

Def iperbole

Answer 4

Un’iperbole di fuochi F1 e F2 e semiasse a > 0 è il luogo dei punti P del piano tali che
| PF1 - PF2 | = 2a

Question 5

Iperbole: fuochi

Answer 5

Se a > b: F ( +- c , 0 )
con c^2 = a^2 + b^2

Se a < b: F ( 0 , +- c )
con c^2 = b^2 + a^2

Question 6

Iperbole: asintoti

Answer 6

y = +- b/a x

Question 7

Def parabola

Answer 7

Si dice parabola di fuoco F e direttrice r il luogo dei punti P del piano tali che
PF = d ( P, r )

Question 8

Iperbole: forma canonica

Answer 8

x^2/a^2 - y^2/b^2 = +-1

Question 9

Parabola: forma canonica

Answer 9

y = x^2 o x = y^2

Question 10

Definizione generale coniche con eccentricità

Answer 10

Dati una retta r, un punto F ( non appartente a r ) e un numero e > = 0 , 
il luogo dei punti P del piano tali che 
PF = e * d (P, r)
è
- un'ellisse se e < 1
- una parabola se e = 1
- un'iperbole se e > 1

e si dice eccentricità

Question 11

Invarianti ortogonali di una conica

Answer 11

Sia q(x) una conica
Le seguenti quantità sono dette invarianti ortogonali di una conica:

I1 = tr (A) (invariante lineare)
I2 = det (A) (invariante quadratico)
I3 = det (a) (invariante cubico)

Question 12

Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica

Answer 12

A meno di effettuare un’opportuna rototraslazione, l’equazione di una conica si può scrivere nella forma:
1) ax^2 + by^2 + c = 0
oppure
2) by^2 + cx = 0

Question 13

Classificazione coniche

Answer 13

1) I3 != 0 non degenere

1. 1) I2 > 0 ellisse
2. 1.1) I1 * I3 < 0 reale
3. 1.2) I1 * I3 > 0 immaginaria
4. 2) I2 < 0 iperbole
5. 2.1) I3 = 0 equilatera
6. 3) I2 = 0 parabola
   2) I3 = 0 degenere in due rette
7. 1) I2 > 0 rette immaginarie
8. 2) I2 < 0 rette reali
9. 3) I2 = 0 rette parallele ( eventualmente coincidenti )

Question 14

Polare di un punto

Answer 14

Sia q(x, y) = z^T a z = 0 una conica, con z = [ x, y, 1 ] ^T
Sia Po (xo, yo ) un punto, z0 = [ x0, y0, 1 ]^T.
La retta z0^T a z = 0 si definisce polare di Po rispetto alla conica data

La polare di Po è ben definita a meno che Po sia il centro della conica

Question 15

Legge di reciprocità

Answer 15

Se Qo appartiene alla polare di Po, allora Po appartiene alla polare di Qo

Question 16

Coniche degeneri fascio con 4 punti base

Answer 16

Sono 3
- r1*r2
- r3*r4
- r5*r6
( le "parallele" e le "diagonali" )

Question 17

Coniche degeneri fascio con 3 punti base

Answer 17

Sono 2:

• t*r ( “parallele” )
• r1*r2 ( “incidenti” nel punto di tangenza )

Question 18

Coniche degeneri fascio con 2 punti base

Answer 18

Sono 2:

• r^2 ( retta per i due punti )
• t1*t2 ( “ parallele “ nei punti di tangenza )