Quadriche Flashcards
Def quadrica
Si dice quadrica il luogo dei punti del piano che soddisfano un’equazione di secondo grado nelle incognite x, y, z
q (x, y, z) = 0
Def superficie di rotazione
Sia L una linea in un piano (ad esempio una retta o una conica) e sia r una retta che sta sullo stesso piano.
La superficie ottenuta ruotando i punti di L attorno a r si chiama superficie di rotazione.
Ellissoide reale: eq. canonica
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
Ellissoide immaginario: eq canonica
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = -1
Iperboloide a una falda: eq canonica
x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1
Iperboloide a due falde: eq canonica
x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1
Paraboloide ellittico: eq canonica
x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0
Paraboloide iperbolico: eq canonica
x^2/a^2 - y^2/b^2 -z = 0
Classificazione punti di una quadrica in base a intersezione tra quadrica e piano tangente
Sia pi il piano tangente alla quadrica Q in un punto P Se pi intersezione Q = conica degenere: - 2 rette reali e distinte - 2 rette immaginarie - 2 rette coincidenti
allora P si dice
- iperbolico
- ellittico
- parabolico
Def cono
Si dice cono (superficie conica) il luogo di rette passanti per uno stesso punto detto vertice
Def cilindro
Si dice cilindro (superficie cilindrica) il luogo di rette tutte parallele a una stessa direzione. Tali rette si dicono generatrici del cilindro
Teorema eq. di un cilindro
Sia q(x) = q(x, y) = 0 l’equazione di una quadrica. q(x, y) è un cilindro con generatrici parallele all’asse z.
Teorema equazione di un cono
Un’equazione omogenea di grado 2 nelle variabili x, y, z rappresenta un cono con vertice nell’origine
Cono: eq canonica
x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0
Cilindro: eq canonica
Cilindro ellittico:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Cilindro iperbolico
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
Quadriche di rotazione e posizione reciproca delle due rette
Ruotando una retta L intorno a una retta r si ottiene:
- Un cono se r e L sono incidenti
- Un cilindro se r e L sono parallele
- Un iperboloide a una falda se r e L sono sghembe
Riduzione in forma canonica
Tramite una rototraslazione l’equazione di una quadrica può essere scritta nella forma:
1) ax^2 + by^2 + cz^2 + d = 0
2) ax^2 + by^2 + cz = 0
Classificazione quadriche in basa alla natura dei punti
- Quadriche a punti iperbolici:
iperboloide a una falda
paraboloide iperbolico - Quadriche a punti ellittici
Iperboloide a due falde
Ellissoide
Paraboloide ellittico - Quadriche a punti parabolici
Cono
Cilindro
Classificazione quadriche con det A
det A != 0:
- iperboloide a una/due falde
- ellissoide
- cono
det A = 0
- paraboloide ellittico/iperbolico
- cilindro
Def quadrica rigata
Una quadrica si dice rigata se per ogni suo punto passa almeno una retta tutta contenuta nella quadrica
