Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Mathe 2 > Symmetrien > Flashcards

Symmetrien Flashcards

1
Q

Definition:

Symmetrien…

A

beschreiben Ordnungsstrukuren bestimmter Art auf mathematische Weise

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Der Bereich Symmetrie zeichnet sich aus durch:

A
  • starker Bezug zur Wirklichkeit
  • verschiedene mögliche Zugänge
  • hoher innerer Beziehungsreichtum
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Zentrale Aspekte der Geometrie

A
  • Formaspekt
  • arithmetischer Aspekt
  • ökonomisch-technischer Aspekt
  • ästhetischer Aspekt
  • algebraischer Aspekt
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Formaspekt

A

Wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren?

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Arithmetischer Aspekt

A

Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefelder, gerade-ungerade Zahlen, …)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

ökonomisch-technischer Aspekt

A

Symmetrische Strukturen als Möglichkeit zur Reduktion von Kraft und (Denk-)Aufwand

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Ästhetischer Aspekt

A

Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Algebraischer Aspekt

A

Durch Kombination der zugehörigen Abbildungen lassen sich aus
zwei Symmetrien weitere ableiten (Dreispiegelungssatz)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Intuitives Symmetrieverständnis

A
  • intuitives Verständnis für Symmetrie (meisten Kinder)
    • > wird im Unterricht strukturiert, vertieft und präzisiert
  • besseres und detailgetreueres Merken symmetrischer Bilder und Figuren
  • ggf. bei Nutzung von Arbeitsmitteln hilfreich
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Symmetrie und Analogie

A
  • Erkennen von Analogien
    -> Strukturgleichheit als Form der Symmetrie/Regelmäßigkeit
    Bsp: Hundertertafel, Tausenderbuch
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Ziele des Begriffserwerbs bei Symmetrie

- achsensymmetrisch

A

Umfang des Begriffs erfassen:
- Beispiele (nicht nur Prototypen):
verschiedene achsensymmetrische Figuren
- Gegenbeispiel
Inhalt des Begriffs verstehen: -> Eigenschaften
- eine Beschreibung kennen
- Eigenschaften von achsensymmetrischen Figuren kennen
- Achsensymmetrie konstruieren
Über ein Begriffsnetz verfügen:
- Überbegriff: symmetrisch
- Nebenbegriffe: drehsymmetrisch, translationssymmetrisch
Anwendungen des Begriffs kennen:
- Symmetrieeigenschaften zum Problemlösen nutzen

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Symmetrie - Definition

- Feyman nach Herman Weyl

A

„Ein Ding ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation aussetzen kann und es danach als genau das
gleiche erscheint wie vor der Operation.“
-> Symmetrie: Eigenschaft einer Figur!

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Definition - Symmetrie

-> mathematisch

A

Eine Figur heißt symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, unter der die Figur auf sich selbst abgebildet wird (d.h. invariant ist).
-> Zu klären: nichtidentische Kongruenzabbildung/ kongruent

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Kongruent - Definition

A
  • zwei Figuren sind bis auf ihre Lage im Raum gleich
  • eine Figur kann durch eine Kombination von Verschieben, Drehen und Spiegeln an einer Achse (also durch eine Kongruenzabbildung) in die andere überführt werden

-> NICHT Eigenschaft einer Figur! -> Vergleich zweier Figuren!

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Geometrische Abbildungen (informell)

A
  • mathematische Beschreibung von (mentalen) Operationen mit Objekten
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Kongruenzabbildungen

A
  • Abbildungen (Operationen), die Geraden in Geraden abbilden und die Größe von Längen und Winkeln unverändert lassen
  • > sind geraden-, längen- und winkeltreu
  • > sind Achsenspiegelungen, Drehungen, Verschiebungen (und Punktspiegelungen, Schubspiegelungen)
17
Q

Typen von Kongruenzabbildungen

A

In GS:

  • Achsenspiegelung
  • Verschiebung

Weitere:

  • Drehung
  • Punktspiegelung (Drehung um 180°)
  • Schubspiegelung (Kombination einer Verschiebung mit einer Achsenspiegelung)
18
Q

„Sorten“ von Kongruenzabbildungen

A
  • orientierungserhaltend
  • orientierungsumkehrend (Achsenspiegelungen)

=> kongruente Figuren sind entweder gleich oder umgekehrt orientiert

19
Q

Charakterisierung der Kongruenzabbildungen

A
  • Achsenspiegelung
  • Drehung
  • Verschiebung
  • Punktspiegelung
20
Q

Achsenspiegelung

A
  • festgelegt durch eine Gerade (Symmetrieachse)

- > Orientierung ändert sich

21
Q

Drehung

A
  • festgelegt durch ein Drehzentrum und einen Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn)
22
Q

Verschiebung

A

(Translation)

  • bestimmt durch einen Verschiebevektor
    • > legt Richtung und Länge der Verschiebung fest
  • wird oft in Koordinatendarstellung angegeben (2 Kästchen hoch, eines nach rechts)
23
Q

Punktespiegelung

A
  • definiert durch einen Spiegelpunkt (Zentrum = Drehzentrum der 180°- Drehung)
  • Punkt und Bildpunkt:
    … liegen auf einer Geraden durch den Spiegelpunkt
    … haben jeweils denselben Abstand zum Spiegelpunkt
24
Q

Definition - symmetrisch

2

A

Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie invariant unter einer (nichtidentischen) Kongruenzabbildung ist.

25
Q

Merkmale einer achsensymmetrischen Figur

A
  • mind. eine Symmetrieachse
  • zu jedem Punkt gibt es einen Bildpunkt
  • Punkt und Symmetriepunkt haben den gleichen Abstand zur Symmetrieachse
  • die Figur ist invariant unter der Spiegelung an der Achse
  • die Figur zerfällt auf natürliche Weise in zwei
    deckungsgleiche Teile
  • alle Punkte der Figur, die auf der Symmetrieachse liegen,
    werden auf sich selbst abgebildet
26
Q

Merkmale einer drehsymmetrischen Figur

A
  • es gibt ein Drehzentrum und einen Drehwinkel
    -> unter der Drehung um diesen Drehwinkel ist die Figur invariant (Drehwinkel <360° gegen den Uhrzeigersinn, keine ganze Drehung!)
    => mehrere Bildpunkte pro Punkt
  • jeder Punkt hat denselben Abstand vom Zentrum wie die Bildpunkte
  • maximal ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird (das Drehzentrum)
27
Q

Merkmale einer translationssymmetrischen Figur

A
  • Verschiebevektor (Richtung und Länge)
  • unendlich viele Bildpunkte pro Punkt
    => eine translationssymmetrische Figur muss automatisch eine unendliche Ausdehnung parallel zum Verschiebevektor haben (könnte sonst nicht invariant unter der Verschiebung sein)
  • kein Punkt wird auf sich selbst abgebildet
28
Q

Vorkenntnisse zur Symmetrie

A
  • grundlegendes Verständnis zur Achsensymmetrie meist zu Beginn der Grundschulzeit
    !typische Schwächen und Begriffsbeschränkungen zu beobachten!
  • Alltagserfahrungen mit Bauwerken, Tieren, Pflanzen, anderen Gegenständen und dem eigenen Körper
29
Q

Studie mit Schulanfängern

A
  • Figuren können in der Regel achsensymmetrisch ergänzt werden, wenn die Gesamtfigur erkannt wird
  • das Bild wird aus der Vorstellung heraus ergänzt, weniger auf Basis der Symmetrie
  • erkennen Kinder die Gesamtfigur nicht oder falsch, so ergeben sich nicht korrekte Lösungen

=> die Fähigkeit zur Vorstellung der Figur ist notwendig, wenn keine systematischen Kenntnisse zur Achsensymmetrie vorhanden sind

30
Q

Studie am Ende der Grundschulzeit

A
  • elaboriertere Symmetriekenntnisse
  • das Erkennen von Symmetrieachsen hängt von der Lage der Symmetrieachsen ab (Schrägliegendes Dreieck ist schwieriger - nur 1/3)
  • SuS lassen sich noch oft von einer (wahrgenommenen) Regelmäßigkeit von Figuren täuschen (1/3 richtig)
31
Q

Studie

A
  • richtig / falsch gespiegelt Figuren erkennen leichter (90%) als Figuren mit Symmetrieachse ankreuzen (34%)

Mathe 2 (10 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions