Symmetrien Flashcards
Definition:
Symmetrien…
beschreiben Ordnungsstrukuren bestimmter Art auf mathematische Weise
Der Bereich Symmetrie zeichnet sich aus durch:
- starker Bezug zur Wirklichkeit
- verschiedene mögliche Zugänge
- hoher innerer Beziehungsreichtum
Zentrale Aspekte der Geometrie
- Formaspekt
- arithmetischer Aspekt
- ökonomisch-technischer Aspekt
- ästhetischer Aspekt
- algebraischer Aspekt
Formaspekt
Wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren?
Arithmetischer Aspekt
Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefelder, gerade-ungerade Zahlen, …)
ökonomisch-technischer Aspekt
Symmetrische Strukturen als Möglichkeit zur Reduktion von Kraft und (Denk-)Aufwand
Ästhetischer Aspekt
Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur
Algebraischer Aspekt
Durch Kombination der zugehörigen Abbildungen lassen sich aus
zwei Symmetrien weitere ableiten (Dreispiegelungssatz)
Intuitives Symmetrieverständnis
- intuitives Verständnis für Symmetrie (meisten Kinder)
- > wird im Unterricht strukturiert, vertieft und präzisiert
- besseres und detailgetreueres Merken symmetrischer Bilder und Figuren
- ggf. bei Nutzung von Arbeitsmitteln hilfreich
Symmetrie und Analogie
- Erkennen von Analogien
-> Strukturgleichheit als Form der Symmetrie/Regelmäßigkeit
Bsp: Hundertertafel, Tausenderbuch
Ziele des Begriffserwerbs bei Symmetrie
- achsensymmetrisch
Umfang des Begriffs erfassen:
- Beispiele (nicht nur Prototypen):
verschiedene achsensymmetrische Figuren
- Gegenbeispiel
Inhalt des Begriffs verstehen: -> Eigenschaften
- eine Beschreibung kennen
- Eigenschaften von achsensymmetrischen Figuren kennen
- Achsensymmetrie konstruieren
Über ein Begriffsnetz verfügen:
- Überbegriff: symmetrisch
- Nebenbegriffe: drehsymmetrisch, translationssymmetrisch
Anwendungen des Begriffs kennen:
- Symmetrieeigenschaften zum Problemlösen nutzen
Symmetrie - Definition
- Feyman nach Herman Weyl
„Ein Ding ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation aussetzen kann und es danach als genau das
gleiche erscheint wie vor der Operation.“
-> Symmetrie: Eigenschaft einer Figur!
Definition - Symmetrie
-> mathematisch
Eine Figur heißt symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, unter der die Figur auf sich selbst abgebildet wird (d.h. invariant ist).
-> Zu klären: nichtidentische Kongruenzabbildung/ kongruent
Kongruent - Definition
- zwei Figuren sind bis auf ihre Lage im Raum gleich
- eine Figur kann durch eine Kombination von Verschieben, Drehen und Spiegeln an einer Achse (also durch eine Kongruenzabbildung) in die andere überführt werden
-> NICHT Eigenschaft einer Figur! -> Vergleich zweier Figuren!
Geometrische Abbildungen (informell)
- mathematische Beschreibung von (mentalen) Operationen mit Objekten
Kongruenzabbildungen
- Abbildungen (Operationen), die Geraden in Geraden abbilden und die Größe von Längen und Winkeln unverändert lassen
- > sind geraden-, längen- und winkeltreu
- > sind Achsenspiegelungen, Drehungen, Verschiebungen (und Punktspiegelungen, Schubspiegelungen)
Typen von Kongruenzabbildungen
In GS:
- Achsenspiegelung
- Verschiebung
Weitere:
- Drehung
- Punktspiegelung (Drehung um 180°)
- Schubspiegelung (Kombination einer Verschiebung mit einer Achsenspiegelung)
„Sorten“ von Kongruenzabbildungen
- orientierungserhaltend
- orientierungsumkehrend (Achsenspiegelungen)
=> kongruente Figuren sind entweder gleich oder umgekehrt orientiert
Charakterisierung der Kongruenzabbildungen
- Achsenspiegelung
- Drehung
- Verschiebung
- Punktspiegelung
Achsenspiegelung
- festgelegt durch eine Gerade (Symmetrieachse)
- > Orientierung ändert sich
Drehung
- festgelegt durch ein Drehzentrum und einen Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn)
Verschiebung
(Translation)
- bestimmt durch einen Verschiebevektor
- > legt Richtung und Länge der Verschiebung fest
- wird oft in Koordinatendarstellung angegeben (2 Kästchen hoch, eines nach rechts)
Punktespiegelung
- definiert durch einen Spiegelpunkt (Zentrum = Drehzentrum der 180°- Drehung)
- Punkt und Bildpunkt:
… liegen auf einer Geraden durch den Spiegelpunkt
… haben jeweils denselben Abstand zum Spiegelpunkt
Definition - symmetrisch
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Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie invariant unter einer (nichtidentischen) Kongruenzabbildung ist.
Merkmale einer achsensymmetrischen Figur
- mind. eine Symmetrieachse
- zu jedem Punkt gibt es einen Bildpunkt
- Punkt und Symmetriepunkt haben den gleichen Abstand zur Symmetrieachse
- die Figur ist invariant unter der Spiegelung an der Achse
- die Figur zerfällt auf natürliche Weise in zwei
deckungsgleiche Teile - alle Punkte der Figur, die auf der Symmetrieachse liegen,
werden auf sich selbst abgebildet
Merkmale einer drehsymmetrischen Figur
- es gibt ein Drehzentrum und einen Drehwinkel
-> unter der Drehung um diesen Drehwinkel ist die Figur invariant (Drehwinkel <360° gegen den Uhrzeigersinn, keine ganze Drehung!)
=> mehrere Bildpunkte pro Punkt - jeder Punkt hat denselben Abstand vom Zentrum wie die Bildpunkte
- maximal ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird (das Drehzentrum)
Merkmale einer translationssymmetrischen Figur
- Verschiebevektor (Richtung und Länge)
- unendlich viele Bildpunkte pro Punkt
=> eine translationssymmetrische Figur muss automatisch eine unendliche Ausdehnung parallel zum Verschiebevektor haben (könnte sonst nicht invariant unter der Verschiebung sein) - kein Punkt wird auf sich selbst abgebildet
Vorkenntnisse zur Symmetrie
- grundlegendes Verständnis zur Achsensymmetrie meist zu Beginn der Grundschulzeit
!typische Schwächen und Begriffsbeschränkungen zu beobachten! - Alltagserfahrungen mit Bauwerken, Tieren, Pflanzen, anderen Gegenständen und dem eigenen Körper
Studie mit Schulanfängern
- Figuren können in der Regel achsensymmetrisch ergänzt werden, wenn die Gesamtfigur erkannt wird
- das Bild wird aus der Vorstellung heraus ergänzt, weniger auf Basis der Symmetrie
- erkennen Kinder die Gesamtfigur nicht oder falsch, so ergeben sich nicht korrekte Lösungen
=> die Fähigkeit zur Vorstellung der Figur ist notwendig, wenn keine systematischen Kenntnisse zur Achsensymmetrie vorhanden sind
Studie am Ende der Grundschulzeit
- elaboriertere Symmetriekenntnisse
- das Erkennen von Symmetrieachsen hängt von der Lage der Symmetrieachsen ab (Schrägliegendes Dreieck ist schwieriger - nur 1/3)
- SuS lassen sich noch oft von einer (wahrgenommenen) Regelmäßigkeit von Figuren täuschen (1/3 richtig)
Studie
- richtig / falsch gespiegelt Figuren erkennen leichter (90%) als Figuren mit Symmetrieachse ankreuzen (34%)
