Relationen

Question 1

Grundlegende mathematische Fähigkeiten

Answer 1

• unterscheiden
• sortieren
• klassifizieren
• ordnen

Question 2

Strukturieren von Mengen

Answer 2

• als wichtige Fähigkeit zur Umwelterschließung
• scheinbares „Chaos“ kann übersichtlich erfasst werden
• evtl. ist sogar eine Charakterisierung möglich

Question 3

Sortieren und Ordnen

-> in GS bedeutsam in den Bereichen:

Answer 3

• Arithmetik
• Geometrie
• Größen

Question 4

Sortieren

Answer 4

• zusammenfassen der Elemente einer Menge aufgrund (einer/mehrerer) ihrer gegebenen Eigenschaften
• manchmal nur an Elementen mit demselben Merkmal interessiert
• > nicht an jedem einzelnen Element

->Kardinalzahlaspekt

Question 5

Sortiervorschrift - Vorstellungshilfe

Answer 5

Alle Elemente mit derselben Eigenschaft wandern in eine gemeinsame „Schublade“ (Sortierkasten)

Question 6

Sortiervorschrift - Relation

Answer 6

• Betrachte je zwei Elemente
• Untersuche nach relevanten Eigenschaften je nach Sortiervorschrift:
  
  • > stehen sie zueinander in Beziehung (Relation), gehören sie zusammen
  • > wenn nicht, gehören sie nicht zusammen

Question 7

Äquivalenz

Answer 7

• zusammensortierte Elemente haben jeweils gemeinsame Eigenschaften
  sind im Allgemeinen nicht gleich

=> sie sind Äquivalent (bzgl. der „Sortierungsrelation“)

Question 8

Eine Sortiervorschrift ist eindeutig, wenn…

Answer 8

• keine Überschneidungen gibt (jedes Element kommt in genau eine Schublade)
• es egal ist, welches Element ich zuerst einsortiere
  -> Element 1 ist in Schublade und Element 2 passt dazu
  => Element 1 passt in Schublade in der Element 2 ist
• es reicht, das Element mit einem anderen aus der Schublade zu vergleichen, um zu wissen, ob es dazu passt

Question 9

Äquivalenzrelation - Definition

Answer 9

Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv auf einer Menge ist

Question 10

Eine Relation heißt reflexiv, wenn…

Answer 10

… jedes Element zu sich selbst in Relation steht

(Jedes Element passt mit sich selbst in eine Schublade)

-> Für alle a ∈ M gilt: a R a

Question 11

Eine Relation heißt symmetrisch, wenn…

Answer 11

… für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Element 2 steht, immer auch Element 2 in Relation zu Element 1 steht.

(Wenn Element 1 schon in einer Schublade liegt und ich Element 2 dazulegen kann, dann ginge es auch umgekehrt.

-> Für alle a, b ∈ M gilt: aus a R b folgt b R a

Question 12

Eine Relation heißt transitiv, wenn…

Answer 12

…für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Element 2 steht und Element 2 in Relation zu Element 3 steht, dann auch Element 1 in Relation zu Element 3 steht.

(Wenn ich ein Element mit einem aus der Schublade vergleiche und es dazu passt, dann passt es zu allen anderen Elementen in der Schublade.)

-> Für alle a, b, c ∈ M gilt: aus a R b und b R c folgt a R c

Question 13

Äquivalenzklassen - Definition

Answer 13

-> die Gruppen, die beim Sortieren gebildet werden

Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge teilt diese Menge in Teilmengen => Äquivalenzklassen

• Jede Äquivalenzklasse enthält nur Elemente, die bzgl. der Relation zueinander äquivalent sind
• Es gibt kein Element außerhalb der Äquivalenzklasse, das zu einem Element in der Äquivalenzklasse in Relation steht

Question 14

Äquivalenzklassen sind:

Answer 14

• disjunkt (überschneidungsfrei)
• ausschöpfend (jedes Element der Menge ist in einer der Äquivalenzklassen enthalten)
• nicht leer

Question 15

Repräsentanten einer Äquivalenzklasse

Answer 15

-> Elemente in dieser Äquivalenzklasse

Jedes Element einer Äquivalenzklasse repräsentiert diese Äquivalenzklasse (kann zur Sortierentscheidung herangezogen werden)

Question 16

Ordnen - Definition

Answer 16

• > Elemente einer Menge werden in bestimmte Reihenfolge gebracht
  • > aufgrund ihrer gegebenen Eigenschaften
• auch ganze „Schubladen“ können geordnet werden

Question 17

Ordnungsrelationen - Definition

Answer 17

Jede Relation auf einer Menge, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist

Question 18

Eine Relation heißt antisymmetrisch, wenn…

Answer 18

… wenn der Fall, dass Element 1 in Relation zu Element 2 steht und Element 2 auch in Relation zu Element 1 steht, nur dann eintritt, wenn beide Elemente äquivalent sind.

Question 19

Strenge Ordnugsrelationen

Answer 19

Für jede „normale“ Ordnung gibt es eine strenge Variante, je nachdem, ob man äquivalente Elemente zulässt oder nicht
-> „≥“ und „>“

Eigenschaften:

• Irreflexiv
• Asymmetrisch
• transitiv

Question 20

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn…

Answer 20

…jedes Element nicht zu sich selbst in Relation steht

Question 21

Eine Relation heißt asymmetrisch, wenn…

Answer 21

…für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Element 2 steht, Element 2 nicht in Relation zu Element 1 steht

Question 22

Zusammenfassung - Äquivalenzrelation

Answer 22

• reflexiv, symmetrisch und transitiv
• liefert Äquivalenzklassen

-> erlaubt eindeutiges Sortieren

Question 23

Zusammenfassung - Ordnungsrelation

Answer 23

• reflexiv, antisymmetrisch und transitiv

- > erlaubt Ordnen

Question 24

Zusammenfassung - strenge Ordnungsrelation

Answer 24

• irreflexiv, asymmetrisch und transitiv

- > erlaubt Ordenen

Question 25

Ordnen von Äquivalenzklassen

Answer 25

Man kann nicht nur einzelne Repräsentanten ordnen, sondern ganze Äquivalenzklassen:

• Über eine Äquivalenzrelation erhält man Äquivalenzklassen
  
  • > auf Menge der Äquivalenzklassen Ordnungsrelation anwenden, um diese zu ordnen

=> Die Anordnung der Äquivalenzklassen überträgt sich auf die Elemente der Äquivalenzklassen (Repräsentanten)