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Mathe 2 > Größen - Grundlagen > Flashcards

Größen - Grundlagen Flashcards

1
Q

Zu einer Größe gehören:

A
  • eine Menge von Objekten (Repräsentanten)

- eine Äquivalenzrelation

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2
Q

Was ist eine Größe?

A
  • Größen werden durch Abstraktion von realen Objekten zu Äquivalenzklassen gewonnen
  • Alle Größen (Äquivalenzklassen), die zu einer Äquivalenzrelation gehören, fasst man zu einem Größenbereich zusammen
  • Größen sind (in der Regel) objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen und Vorgängen
  • Alle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse gehören zur gleichen Größe
  • Verwendet man normierte Maßeinheiten, so kann man eine Größe (Äquivalenzklasse) auch mit einer Größenangabe versehen
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3
Q

Größenbereiche - Beispiele

A
  • Geldwerte
  • Zeitspannen
  • Längen
  • Gewichte
  • Hohlmaße / Volumina
  • Flächeninhalt
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4
Q

Eine Größe…

A

… und eine Äquivalenzklasse sind jeweils dasselbe
… wird von einer Äquivalenzrelation bestimmt
… hat verschiedene Repräsentanten

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5
Q

Messen

A
  • man benötigt einen Repräsentanten…
    … einer Größe (zu messender Gegenstand)
    … einer kleineren Größe („Messinstrument)
  • das „Messinstrument“ wird wiederholt ohne Lücken und Überschneidungen an dem zu messenden Objekt abgetragen und gezählt
    -> der zu messende Repräsentant wird „ausgeschöpft“
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6
Q

Grundstruktur eines Messystems

A
  1. Auswahl einer Einheit
  2. Vervielfachen von / zerlegen in Einheiten
  3. Zählen der Anzahl der Einheiten / Untereinheiten
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7
Q

Auswahl einer Einheit

A
  • soll wiederholbar, zerlegbar, zählbar sein

- standardisiert oder nicht-standardisiert

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8
Q

Vervielfachen / Zerlegen von Einheiten

A
  • Repräsentant ohne Zwischenräume / Überlappungen hintereinander abtragen
    • oft feinere Einheiten nötig
    • manchmal gröbere Einheiten sinnvoll
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9
Q

Zählen der Anzahl der Einheiten / Untereinheiten

A
  • abgetragene Einheiten werden mitgezählt / verrechnet
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10
Q

Größenangaben

A
  • ergeben sich durch Tätigkeit des Messens

- bestehen aus Maßzahl und Maßeinheit

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11
Q

Maßzahl

A
  • gibt an, wie viele Maßeinheiten man kombinieren muss, um einen Repräsentanten der entsprechenden Größe zu erhalten
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12
Q

Größenbereiche und Maßeinheiten laut Lehrplan

- Klasse 1/2

A

Geldwerte: €, ct
Zeitspanne: h, min, Woche, Monat, Jahr
Längen: cm, m

Und Flächeninhalt

-> ergibt sich aus Zahlenraum

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13
Q

Größenbereiche und Maßeinheiten laut Lehrplan

- Klasse 3/4

A

Zeitspannen: s
Längen: km, mm
Gewichte: kg, g
Hohlmaße: l, ml

Und Rauminhalt

-> ergibt sich aus Zahlenraum

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14
Q

Unterricht:

Die Kinder sollen…

A

… das Äquivalenzklassenprinzip und die Ordnung erfassen
… Messhandlungen durchführen und verstehen
… die Bedeutung von Maßeinheit und Maßzahl kennen
… das Konzept der Größen verstehen (u.a. Invarianz)
… Größenvorstellungen aufbauen (u.a. Maßeinheiten)

-> es reicht nicht, dass die Kinder Größen messen können

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15
Q

Didaktisches Stufenmodell - Allgemein

A
  • Gerüst für eine fundierte Begriffsentwicklung
  • ausgehend von der Handlungsebene
  • Abstraktionsprozesse führen zum Größenbegriff und den zugehörige Maßeinheiten

-> nicht unbedingt alle Stufen und nicht unbedingt i der vorgegebenen Reihenfolge

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16
Q

Didaktisches Stufenmodell - Reihenfolge

A
  1. Erfahrungen sammeln und aufgreifen
  2. Direktes Vergleichen von Repräsentanten
  3. Indirektes Vergleichen von Repräsentanten
    - mithilfe selbstgewählter Maßeinheiten (Messen mit Repräsentanten)
    - mithilfe standardisierter Maßeinheiten (Messen mit verschiedenen Messgeräten)
  4. Verfeinern / Vergröbern der Maßeinheiten
  5. Schaffung von Größenvorstellungen (u.a. Maßeinheit)
  6. Rechnen mit Größen
17
Q
  1. Stufe: Erfahrungen sammeln und aufgreifen

-> Erfahrungen der Kinder
Größen

A
  • Vergleichen, Sortieren, Ordnen unter Verwendung von Relationsbegriffen (größer – kleiner, länger – kürzer, schwerer – leichter, …)
  • Maßeinheiten – häufig fehlen realistische Größenvorstellungen
  • Umgang mit verschiedenen Messgeräten (Maßband, Waagen im Supermarkt, Uhren, Messbecher) -> richtiger Gebrauch?

-> Erfahrungen sollten immer wieder aktiviert und mit neuem Wissen verknüpft werden

18
Q

Vorerfahrungen im Bereich Längen

A
  • Direktes Vergleichen -> Sortieren und Ordnen
  • Eigene Körpergröße
  • Bezeichnungen für standardisierte Maßeinheiten (m, cm)
  • Verwendung von Messgeräten (v.a. Lineal)
19
Q
  1. Stufe: Direkter Vergleich von Repräsentanten
A

-> unmittelbarer Vergleich zweier Objekte mithilfe einer Relation

  • Aufgreifen der Vorerfahrungen zum Vergleichen und Ordnen
  • Bewusste Auseinandersetzung mit Relationsbegriffen
  • Erfahrungen zur Transitivität (Erstellung einer Reihung beim Ordnen) und (Anti-)Symmetrie
  • zu vergleichende Repräsentanten müssen sich zur selben Zeit am selben Ort befinden
  • Nicht immer über visuelle Wahrnehmung möglich

-> kein bloßer Aktionismus

20
Q
  1. Stufe: Indirektes Vergleichen
A

Mithilfe eines Repräsentanten

  • > beweglicher Vergleichsrepräsentant (gleich groß)
  • > ausmessender Vergleichsrepräsentant (kleiner)
21
Q

Indirekter Vergleich - Körpermaße

A
  • Aufbau von Größenvorstellungen

- Historische Bedeutung

22
Q

Indirektes Vergleichen mit…

A

… selbstgewählten Maßeinheiten

… standardisierten Maßeinheiten

23
Q

Indirektes Vergleichen mit selbst gewählten Maßeinheiten

A
  • Vertiefen von Messerfahrungen:
    • ohne Überlappung / Lücken
    • Ergebnis mit Maßzahl und Einheit bestimmen
    • Zusammenhänge: Maßzahl - Maßeinheit
  • Größenvorstellung (Stützpunkte)
  • Notwendigkeit eines normierten Vergelichsmaßes
24
Q

Indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten

A

-> Messen mit Messgeräten

  • Erwerben/Vertiefen des Messverständnisses
    • geeignete Einheit
    • wiederholtes Benutzen und Zählen
    • systematisches Untergliedern der Maßeinheit
  • Erkunden des Aufbaus der Skalierung von Messgeräten
  • Rolle der Null
  • Aufbau von Größenvorstellungen
25
Q
  1. Stufe: Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten
A

-> Erkennen und Nutzen der Beziehungen zwischen Einheiten

  • beim Messen:
    • zu grob -> ungenau / zu fein -> unpraktisch
    • Beziehungen und Umwandlungszahlen ergeben sich automatisch
  • Rein formale Umwandlungsübungen dienen wenig dem Verständnis von Größen, Einheiten und den Beziehungen zwischen verschiedenen Einheiten
  • Erfassen des Aufbaus eines Größenbereichs
  • Nutzen von Wortbausteinen kilo, milli, zenti, …
26
Q
  1. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen
A
  • > bestimmte Vergleichsgrößen (Standardrepräsentanten) kennen
  • > Stützpunktvorstellungen aufbauen (in Form von Repräsentanten)

Unerlässlich für Alltag!

27
Q

Größenvorstellungen: Studie mit Viertklässlern

A
  • nur 60% haben eine realistische Vorstellung der Größe eines Erwachsenen
  • 40% schätzen einen Parkplatz kürzer als 3 m
28
Q
  1. Stufe: Rechnen mit Größen (1)
A

-> Wissen um Größen beim rechnerischen Umgang mit Sachverhalten flexibel verwenden

  • Rechenoperationen: addieren, subtrahieren, dividieren, vervielfachen
    • > kein multiplizieren
  • Dividieren einer Größe durch eine Größe => Aufteilen
  • Dividieren einer Größe durch eine Zahl => Verteilen
29
Q

Rechnen mit Größen (2)

A
  • Formales Rechnen mit Größenangaben dient wenig dem Aufbau von Größenvorstellungen
  • Auswahl geeigneter Sachverhalte -> Kriterien guter Sachaufgaben
  • Nutzen von Datendarstellungen
30
Q

Anforderungen beim Rechnen mit Größen

A
  • sicheres Beherrschen der Umrechnungszehlen
  • Vergleichen und Ordnen von Größenangaben in unterschiedlichen Einheiten
  • ggf. Umrechnen
  • Größenvorstellung beim Validieren
31
Q

Didaktisches Stufenmodell - Kritik

A
  • Entwicklung kein linearer Prozess -> striktes Abarbeiten der Stufen nicht sinnvoll
  • Idee, dass Kinder die kulturgeschichtliche Entwicklung normierter Maßeinheiten für sich durchlaufen sollen wird kritisch gesehen

Stufen zur Systematisierung der Teilkompetenzen
Können das Hintergrundwissen der Lehrkräfte strukturieren

32
Q

Didaktisches Stufenmodell - beachten

A
  • gibt hinweise auf zentrale Kompetenzen
    • > müssen für einzelne Größenbereiche kritisch reflektiert werden
  • > In einigen Größenbereichen sind z.B. indirekte Vergleiche mit selbstgewählten Maßeinheiten weniger sinnvoll, in anderen z.B. der direkte Vergleich

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