Größen - Grundlagen Flashcards
Zu einer Größe gehören:
- eine Menge von Objekten (Repräsentanten)
- eine Äquivalenzrelation
Was ist eine Größe?
- Größen werden durch Abstraktion von realen Objekten zu Äquivalenzklassen gewonnen
- Alle Größen (Äquivalenzklassen), die zu einer Äquivalenzrelation gehören, fasst man zu einem Größenbereich zusammen
- Größen sind (in der Regel) objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen und Vorgängen
- Alle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse gehören zur gleichen Größe
- Verwendet man normierte Maßeinheiten, so kann man eine Größe (Äquivalenzklasse) auch mit einer Größenangabe versehen
Größenbereiche - Beispiele
- Geldwerte
- Zeitspannen
- Längen
- Gewichte
- Hohlmaße / Volumina
- Flächeninhalt
Eine Größe…
… und eine Äquivalenzklasse sind jeweils dasselbe
… wird von einer Äquivalenzrelation bestimmt
… hat verschiedene Repräsentanten
Messen
- man benötigt einen Repräsentanten…
… einer Größe (zu messender Gegenstand)
… einer kleineren Größe („Messinstrument) - das „Messinstrument“ wird wiederholt ohne Lücken und Überschneidungen an dem zu messenden Objekt abgetragen und gezählt
-> der zu messende Repräsentant wird „ausgeschöpft“
Grundstruktur eines Messystems
- Auswahl einer Einheit
- Vervielfachen von / zerlegen in Einheiten
- Zählen der Anzahl der Einheiten / Untereinheiten
Auswahl einer Einheit
- soll wiederholbar, zerlegbar, zählbar sein
- standardisiert oder nicht-standardisiert
Vervielfachen / Zerlegen von Einheiten
- Repräsentant ohne Zwischenräume / Überlappungen hintereinander abtragen
- oft feinere Einheiten nötig
- manchmal gröbere Einheiten sinnvoll
Zählen der Anzahl der Einheiten / Untereinheiten
- abgetragene Einheiten werden mitgezählt / verrechnet
Größenangaben
- ergeben sich durch Tätigkeit des Messens
- bestehen aus Maßzahl und Maßeinheit
Maßzahl
- gibt an, wie viele Maßeinheiten man kombinieren muss, um einen Repräsentanten der entsprechenden Größe zu erhalten
Größenbereiche und Maßeinheiten laut Lehrplan
- Klasse 1/2
Geldwerte: €, ct
Zeitspanne: h, min, Woche, Monat, Jahr
Längen: cm, m
Und Flächeninhalt
-> ergibt sich aus Zahlenraum
Größenbereiche und Maßeinheiten laut Lehrplan
- Klasse 3/4
Zeitspannen: s
Längen: km, mm
Gewichte: kg, g
Hohlmaße: l, ml
Und Rauminhalt
-> ergibt sich aus Zahlenraum
Unterricht:
Die Kinder sollen…
… das Äquivalenzklassenprinzip und die Ordnung erfassen
… Messhandlungen durchführen und verstehen
… die Bedeutung von Maßeinheit und Maßzahl kennen
… das Konzept der Größen verstehen (u.a. Invarianz)
… Größenvorstellungen aufbauen (u.a. Maßeinheiten)
-> es reicht nicht, dass die Kinder Größen messen können
Didaktisches Stufenmodell - Allgemein
- Gerüst für eine fundierte Begriffsentwicklung
- ausgehend von der Handlungsebene
- Abstraktionsprozesse führen zum Größenbegriff und den zugehörige Maßeinheiten
-> nicht unbedingt alle Stufen und nicht unbedingt i der vorgegebenen Reihenfolge
Didaktisches Stufenmodell - Reihenfolge
- Erfahrungen sammeln und aufgreifen
- Direktes Vergleichen von Repräsentanten
- Indirektes Vergleichen von Repräsentanten
- mithilfe selbstgewählter Maßeinheiten (Messen mit Repräsentanten)
- mithilfe standardisierter Maßeinheiten (Messen mit verschiedenen Messgeräten) - Verfeinern / Vergröbern der Maßeinheiten
- Schaffung von Größenvorstellungen (u.a. Maßeinheit)
- Rechnen mit Größen
- Stufe: Erfahrungen sammeln und aufgreifen
-> Erfahrungen der Kinder
Größen
- Vergleichen, Sortieren, Ordnen unter Verwendung von Relationsbegriffen (größer – kleiner, länger – kürzer, schwerer – leichter, …)
- Maßeinheiten – häufig fehlen realistische Größenvorstellungen
- Umgang mit verschiedenen Messgeräten (Maßband, Waagen im Supermarkt, Uhren, Messbecher) -> richtiger Gebrauch?
-> Erfahrungen sollten immer wieder aktiviert und mit neuem Wissen verknüpft werden
Vorerfahrungen im Bereich Längen
- Direktes Vergleichen -> Sortieren und Ordnen
- Eigene Körpergröße
- Bezeichnungen für standardisierte Maßeinheiten (m, cm)
- Verwendung von Messgeräten (v.a. Lineal)
- Stufe: Direkter Vergleich von Repräsentanten
-> unmittelbarer Vergleich zweier Objekte mithilfe einer Relation
- Aufgreifen der Vorerfahrungen zum Vergleichen und Ordnen
- Bewusste Auseinandersetzung mit Relationsbegriffen
- Erfahrungen zur Transitivität (Erstellung einer Reihung beim Ordnen) und (Anti-)Symmetrie
- zu vergleichende Repräsentanten müssen sich zur selben Zeit am selben Ort befinden
- Nicht immer über visuelle Wahrnehmung möglich
-> kein bloßer Aktionismus
- Stufe: Indirektes Vergleichen
Mithilfe eines Repräsentanten
- > beweglicher Vergleichsrepräsentant (gleich groß)
- > ausmessender Vergleichsrepräsentant (kleiner)
Indirekter Vergleich - Körpermaße
- Aufbau von Größenvorstellungen
- Historische Bedeutung
Indirektes Vergleichen mit…
… selbstgewählten Maßeinheiten
… standardisierten Maßeinheiten
Indirektes Vergleichen mit selbst gewählten Maßeinheiten
- Vertiefen von Messerfahrungen:
- ohne Überlappung / Lücken
- Ergebnis mit Maßzahl und Einheit bestimmen
- Zusammenhänge: Maßzahl - Maßeinheit
- Größenvorstellung (Stützpunkte)
- Notwendigkeit eines normierten Vergelichsmaßes
Indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten
-> Messen mit Messgeräten
- Erwerben/Vertiefen des Messverständnisses
- geeignete Einheit
- wiederholtes Benutzen und Zählen
- systematisches Untergliedern der Maßeinheit
- Erkunden des Aufbaus der Skalierung von Messgeräten
- Rolle der Null
- Aufbau von Größenvorstellungen
- Stufe: Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten
-> Erkennen und Nutzen der Beziehungen zwischen Einheiten
- beim Messen:
- zu grob -> ungenau / zu fein -> unpraktisch
- Beziehungen und Umwandlungszahlen ergeben sich automatisch
- Rein formale Umwandlungsübungen dienen wenig dem Verständnis von Größen, Einheiten und den Beziehungen zwischen verschiedenen Einheiten
- Erfassen des Aufbaus eines Größenbereichs
- Nutzen von Wortbausteinen kilo, milli, zenti, …
- Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen
- > bestimmte Vergleichsgrößen (Standardrepräsentanten) kennen
- > Stützpunktvorstellungen aufbauen (in Form von Repräsentanten)
Unerlässlich für Alltag!
Größenvorstellungen: Studie mit Viertklässlern
- nur 60% haben eine realistische Vorstellung der Größe eines Erwachsenen
- 40% schätzen einen Parkplatz kürzer als 3 m
- Stufe: Rechnen mit Größen (1)
-> Wissen um Größen beim rechnerischen Umgang mit Sachverhalten flexibel verwenden
- Rechenoperationen: addieren, subtrahieren, dividieren, vervielfachen
- > kein multiplizieren
- Dividieren einer Größe durch eine Größe => Aufteilen
- Dividieren einer Größe durch eine Zahl => Verteilen
Rechnen mit Größen (2)
- Formales Rechnen mit Größenangaben dient wenig dem Aufbau von Größenvorstellungen
- Auswahl geeigneter Sachverhalte -> Kriterien guter Sachaufgaben
- Nutzen von Datendarstellungen
Anforderungen beim Rechnen mit Größen
- sicheres Beherrschen der Umrechnungszehlen
- Vergleichen und Ordnen von Größenangaben in unterschiedlichen Einheiten
- ggf. Umrechnen
- Größenvorstellung beim Validieren
Didaktisches Stufenmodell - Kritik
- Entwicklung kein linearer Prozess -> striktes Abarbeiten der Stufen nicht sinnvoll
- Idee, dass Kinder die kulturgeschichtliche Entwicklung normierter Maßeinheiten für sich durchlaufen sollen wird kritisch gesehen
Stufen zur Systematisierung der Teilkompetenzen
Können das Hintergrundwissen der Lehrkräfte strukturieren
Didaktisches Stufenmodell - beachten
- gibt hinweise auf zentrale Kompetenzen
- > müssen für einzelne Größenbereiche kritisch reflektiert werden
- > In einigen Größenbereichen sind z.B. indirekte Vergleiche mit selbstgewählten Maßeinheiten weniger sinnvoll, in anderen z.B. der direkte Vergleich
