Suites

Question 1

Le terme général d’une suite géométrique u de premier terme u_p et de raison q est pour tout n entier, n ≥ p :

…..

Pour u₀ le premier terme on a …..

Answer 1

u_n = u_p × q^n−p

u_n= u₀ x qⁿ

Question 2

Somme d’une suite géométrique de premier terme Up, de raison q et nombre de termes n-p+1

Answer 2

Question 3

Comment définit-on une suite?

Answer 3

Une suite est une fonction définie sur N ou une partie de N et à valeur dans R.

Question 4

La suite u se note

…..

Answer 4

Question 5

Les termes de la suite (u_n)_n∈N se notent :

…..

Answer 5

Question 6

Comme nomme-t-on u_n?

Answer 6

On nomme u_n le terme d’indice n de la suite (u_n)_n∈N

Exemple avec n=0 alors u₀ est le terme d’indice 0 de la suite (u_n)_n∈N

Mais on appelle u_n aussi le terme général de la suite u donc un a 2 définitions en fonction de si on parle d’un terme particulier ou de l’expression générale de la suite u

Question 7

Remarque

Une suite peut être définie à partir d’un certain rang n₀, c’est à dire que si par exemple n₀ = 3 les premiers termes de la suite u sont :

Answer 7

Cette suite se notera donc : (u_n)_n≥3

Question 8

Suites définies par une relation fonctionnelle ou explicite

Soit f une fonction de la variable n, définie sur une partie de N. Une suite peut être définie par une relation du type :

….

dite fonctionnelle

Answer 8

Question 9

Suites définies par une relation de récurrence

Une suite peut être définie par une relation dite de récurrence, c’est à dire une relation qui définit un terme en fonction d’un ou de plusieurs termes précédents. On doit dans ce cas préciser le ou les premiers termes. Par exemple sous réserve de définition de la fonction f on a la suite u définie par :

…..

Answer 9

Question 10

Pour tout entier naturel n, le terme précédent u_n+1 est

….

Answer 10

u_n

Question 11

Pour tout entier naturel n, le terme suivant u_n+1 est

Answer 11

u_n+2

Question 12

Une suite (u_n)_n∈N est dite arithmétique lorsque

….

Answer 12

Une suite (u_n)_n∈N est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r , appelée raison

Question 13

La suite u définie par son premier terme u₀ et pour tout entier n, par la relation de récurrence u_n+1 = u_n + r est

Answer 13

La suite u définie par son premier terme u₀ et pour tout entier n, par la relation de récurrence u_n+1 = u_n + r est une suite arithmétique de raison r

Question 14

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on peut montrer que la différence de deux termes consécutifs est une constante égale à

….

Answer 14

la raison r soit pour tout entier n : u_n+1 −u_n = r

Question 15

Pour toute suite arithmétique u, la différence u_n+1 − u_n est constante égale à la raison r pour tous les entiers n. Cette différence est appelée

Answer 15

variation absolue

Remarque

Si la suite n’est pas arithmétique, la variation absolue u_n+1 - u_n n’est pas constante

Question 16

Application : Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique

La suite (v_n)_n∈N définie pour tout entier n,n ≥ 1 par u_n = n² + 2n + 1 n’est pas une suite arithmétique.

Comment le démontrer?

Answer 16

En calculant les 3 premiers termes on remarque que la variation absolue n’est pas constante :

Question 17

Expression du terme général

Le terme général d’une suite arithmétique u de premier terme u_p et de raison r est pour n ≥ p :

Answer 17

Question 18

Somme d’une suite aritmétique de premier terme u_p et nombre de termes n-p+1

Answer 18

Question 19

Théorème

Soit u une suite. S’il existe deux réels a et b, tels que pour tout entier naturel n, u_n = an +b, alors

…

Answer 19

la suite u est arithmétique de raison r = a et de premier terme b

Question 20

Dans un repère du plan, les points A_n de coordonnées (n ; u_n) sont alignés si, et seulement si,

Answer 20

, la suite u est arithmétique.

Question 21

Définition d’une suite géométrique

Une suite (u_n)_n∈N est dite géométrique lorsque

…

Answer 21

Une suite (u_n)_n∈N est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q appelée raison

Question 22

La suite u définie par son premier terme u₀ et pour tout entier n, par la relation de récurrence u_n+1 = qu_n est

Answer 22

une suite géométrique de raison q

Question 23

Exemples : évolution en pourcentage

Soit t un réel positif.

Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par

…

Answer 23

1+ t/100

Question 24

Soit t un réel positif

Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par

…

Answer 24

1-t/100

Question 25

Exemple 3 (Bac Addicted) : D’après bac 2016 Métropole . […]

Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25% de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves. On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite : Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 2015+n. On a donc u0 = 10000.

Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75un +3000.

Answer 25

Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75un +3000.

Le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 2015 + (n + 1), soit u_n+1 s’obtient en effectuant une réduction de 25% des un voitures de l’année précédente, et en ajoutant 3 000 voitures neuves. Diminuer de 25%, c’est multiplier par 0,75 donc on obtient, pour tout entier n : u_n+1 = 0,75_un +3000

Très bon exemple de rédaction pour répondre à ce genre de question

Question 26

Remarque :

Pour montrer qu’une suite ne s’annulant pas est géométrique, on peut montrer que le quotient de deux termes quelconque est une constante égale à la raison q. Soit que pour tout entier n : u_n+1 / u_n = q

Pourquoi cette méthode n’est pas une bonne méthode?

Answer 26

Cette méthode souffre du problème qu’il faut prouver que la suite n’est jamais nulle et n’est donc que peut utilisée.

Car si pour un terme quelconque ( exemple n=4) u₄=0

u₅/u₄ n’existe pas ( division par 0 pas possible)

Par contre pour prouver qu’une suite n’est pas géométrique, on peut l’utiliser:

Exemple

Prouver que la suite (u_n) définie par u_n+1 = 0,75u_n +3000 n’est pas géométrique.

On démontre facilement qu’elle n’est pas géométrique

Question 27

Expression du terme général d’une suite géométrique

Le terme général d’une suite géométrique u de premier terme up et de raison q est pour tout n entier, n ≥0 :

…

Answer 27

Question 28

Théorème

Soit u une suite. S’il existe deux réels a et b avec a non nul, tels que pour tout entier naturel n, u_n = b ×aⁿ , alors

…

Answer 28

la suite u est géométrique de raison q = a et de premier terme b.

Question 29

La suite (u_n)_n∈N est croissante si, pour tout entier n :

….

Answer 29

u_n+1 ≥ u_n

Question 30

La suite (u_n)_n∈N est décroissante si, pour tout entier n :

….

Answer 30

u_n+1 ≤ u_n

Question 31

La suite (u_n)_n∈N est constante si, pour tout entier n :

…

Answer 31

u_n+1=u_n

Question 32

Une suite est dite monotone si

….

Answer 32

elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.

Question 33

La suite définie pour tout entier n par u_n = (−1)ⁿ est-elle monotone?

Answer 33

Elle n’est pas monotone car les termes valent alternativement 1 et −1

Question 34

Propriétés de monotonie de la suite géométrique

Soit (u_n)_n∈N une suite arithmétique de raison r .

Si r > 0 alors la suite est

Answer 34

Si r > 0, la suite (u_n)_n∈N est croissante

Question 35

Propriétés de monotonie de la suite géométrique

Soit (u_n)_n∈N une suite arithmétique de raison r .

Si r < 0

…

Answer 35

Si r < 0, la suite (u_n)_n∈N est décroissante.

Question 36

Soit (u_n)_n∈N une suite arithmétique de raison r

Si r = 0,

…

Answer 36

Si r = 0, la suite (u_n)_n∈N est constante.

Question 37

Variations d’une suite géométrique

Une suite géométrique de raison q est monotone, c’est à dire croissante, décroissante (ou constante) si

…..

Answer 37

q ≥ 0

Question 38

Une suite géométrique de raison q est constante si

….

Answer 38

q=0 ou q=1

Question 39

Suite géométrique de raison q

Si le premier terme est strictement positif et si q > 1, la suite est

…

Si le premier terme est strictement positif et si 0 < q <1

….

Answer 39

Si le premier terme est strictement positif et si q > 1, la suite est croissante

Si le premier terme est strictement positif et si 0 < q < 1 alors la suite est décroissante

Question 40

Suite géométrique de raison q

Si le premier terme est strictement négatif et si q > 1, la suite est

….

Si le premier terme est strictement négatif et si 0 <q></q>

<p>....</p>

</q>

Answer 40

Si le premier terme est strictement négatif et si q > 1, la suite est décroissante

Si le premier terme est strictement négatif et si q > 1, la suite est croissante

Question 41

Soit (u_n) une suite définie sur N et ℓ un réel.

Dire que la suite (u_n) admet pour limite le réel ℓ signifie que

….

Answer 41

Dire que la suite (u_n) admet pour limite le réel ℓ signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]ℓ−r ;ℓ+r [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. On écrit : lim _n→+∞ u_n = ℓ

Question 42

Une suite qui admet pour limite un réel ℓ est dite

….

Answer 42

convergente

Question 43

Propriété

La suite (u_n) converge vers un réel ℓ si, et seulement si, la suite (u_n)−ℓ est convergente vers

….

Answer 43

0

Question 44

Suites sans limite

Par exemple la suite de terme général (−1)ⁿ admet-elle une limite?

Answer 44

Elle prend alternativement les valeurs 1 et −1. Elle n’admet donc pas de limite.

Question 45

Théorème sur les limites d’une suite géométrique

Soit q un nombre réel :

Si −1 < q < 1 alors la suite géométrique de terme général qⁿ converge vers

…

Answer 45

0

lim _n→+∞ qⁿ = 0

Question 46

Théorème sur les limites d’une suite géométrique

Soit q un nombre réel :

Si q > 1 alors la suite géométrique de terme général qⁿ a pour limite

…

Answer 46

+∞

lim _n→+∞ qⁿ = +∞

Question 47

Théorème sur les limites d’une suite géométrique

Soit q un nombre réel :

Si q < −1 alors la suite géométrique de terme général qⁿ n’admet pas de

…

Answer 47

limite finie ou infinie ( donc pas de limite)