Suites Flashcards
Le terme général d’une suite géométrique u de premier terme up et de raison q est pour tout n entier, n ≥ p :
…..
Pour u0 le premier terme on a …..
un = up × qn−p
un= u0 x qn
Somme d’une suite géométrique de premier terme Up, de raison q et nombre de termes n-p+1
Comment définit-on une suite?
Une suite est une fonction définie sur N ou une partie de N et à valeur dans R.
La suite u se note
…..
Les termes de la suite (un)n∈N se notent :
…..
Comme nomme-t-on un?
On nomme un le terme d’indice n de la suite (un)n∈N
Exemple avec n=0 alors u0 est le terme d’indice 0 de la suite (un)n∈N
Mais on appelle un aussi le terme général de la suite u donc un a 2 définitions en fonction de si on parle d’un terme particulier ou de l’expression générale de la suite u
Remarque
Une suite peut être définie à partir d’un certain rang n0, c’est à dire que si par exemple n0 = 3 les premiers termes de la suite u sont :
Cette suite se notera donc : (un)n≥3
Suites définies par une relation fonctionnelle ou explicite
Soit f une fonction de la variable n, définie sur une partie de N. Une suite peut être définie par une relation du type :
….
dite fonctionnelle
Suites définies par une relation de récurrence
Une suite peut être définie par une relation dite de récurrence, c’est à dire une relation qui définit un terme en fonction d’un ou de plusieurs termes précédents. On doit dans ce cas préciser le ou les premiers termes. Par exemple sous réserve de définition de la fonction f on a la suite u définie par :
…..
Pour tout entier naturel n, le terme précédent un+1 est
….
un
Pour tout entier naturel n, le terme suivant un+1 est
un+2
Une suite (un)n∈N est dite arithmétique lorsque
….
Une suite (un)n∈N est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r , appelée raison
La suite u définie par son premier terme u0 et pour tout entier n, par la relation de récurrence un+1 = un + r est
La suite u définie par son premier terme u0 et pour tout entier n, par la relation de récurrence un+1 = un + r est une suite arithmétique de raison r
Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on peut montrer que la différence de deux termes consécutifs est une constante égale à
….
la raison r soit pour tout entier n : un+1 −un = r
Pour toute suite arithmétique u, la différence un+1 − un est constante égale à la raison r pour tous les entiers n. Cette différence est appelée
variation absolue
Remarque
Si la suite n’est pas arithmétique, la variation absolue un+1 - un n’est pas constante
Application : Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique
La suite (vn)n∈N définie pour tout entier n,n ≥ 1 par un = n2 + 2n + 1 n’est pas une suite arithmétique.
Comment le démontrer?
En calculant les 3 premiers termes on remarque que la variation absolue n’est pas constante :
Expression du terme général
Le terme général d’une suite arithmétique u de premier terme up et de raison r est pour n ≥ p :
Somme d’une suite aritmétique de premier terme up et nombre de termes n-p+1
Théorème
Soit u une suite. S’il existe deux réels a et b, tels que pour tout entier naturel n, un = an +b, alors
…
la suite u est arithmétique de raison r = a et de premier terme b
Dans un repère du plan, les points An de coordonnées (n ; un) sont alignés si, et seulement si,
, la suite u est arithmétique.
Définition d’une suite géométrique
Une suite (un)n∈N est dite géométrique lorsque
…
Une suite (un)n∈N est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q appelée raison
La suite u définie par son premier terme u0 et pour tout entier n, par la relation de récurrence un+1 = qun est
une suite géométrique de raison q
Exemples : évolution en pourcentage
Soit t un réel positif.
Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par
…
1+ t/100
Soit t un réel positif
Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par
…
1-t/100
Exemple 3 (Bac Addicted) : D’après bac 2016 Métropole . […]
Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25% de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves. On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite : Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 2015+n. On a donc u0 = 10000.
Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75un +3000.
Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75un +3000.
Le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 2015 + (n + 1), soit un+1 s’obtient en effectuant une réduction de 25% des un voitures de l’année précédente, et en ajoutant 3 000 voitures neuves. Diminuer de 25%, c’est multiplier par 0,75 donc on obtient, pour tout entier n : un+1 = 0,75un +3000
Très bon exemple de rédaction pour répondre à ce genre de question
Remarque :
Pour montrer qu’une suite ne s’annulant pas est géométrique, on peut montrer que le quotient de deux termes quelconque est une constante égale à la raison q. Soit que pour tout entier n : un+1 / un = q
Pourquoi cette méthode n’est pas une bonne méthode?
Cette méthode souffre du problème qu’il faut prouver que la suite n’est jamais nulle et n’est donc que peut utilisée.
Car si pour un terme quelconque ( exemple n=4) u4=0
u5/u4 n’existe pas ( division par 0 pas possible)
Par contre pour prouver qu’une suite n’est pas géométrique, on peut l’utiliser:
Exemple
Prouver que la suite (un) définie par un+1 = 0,75un +3000 n’est pas géométrique.
On démontre facilement qu’elle n’est pas géométrique
Expression du terme général d’une suite géométrique
Le terme général d’une suite géométrique u de premier terme up et de raison q est pour tout n entier, n ≥0 :
…
Théorème
Soit u une suite. S’il existe deux réels a et b avec a non nul, tels que pour tout entier naturel n, un = b ×an , alors
…
la suite u est géométrique de raison q = a et de premier terme b.
La suite (un)n∈N est croissante si, pour tout entier n :
….
un+1 ≥ un
La suite (un)n∈N est décroissante si, pour tout entier n :
….
un+1 ≤ un
La suite (un)n∈N est constante si, pour tout entier n :
…
un+1=un
Une suite est dite monotone si
….
elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
La suite définie pour tout entier n par un = (−1)n est-elle monotone?
Elle n’est pas monotone car les termes valent alternativement 1 et −1
Propriétés de monotonie de la suite géométrique
Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r .
Si r > 0 alors la suite est
Si r > 0, la suite (un)n∈N est croissante
Propriétés de monotonie de la suite géométrique
Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r .
Si r < 0
…
Si r < 0, la suite (un)n∈N est décroissante.
Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r
Si r = 0,
…
Si r = 0, la suite (un)n∈N est constante.
Variations d’une suite géométrique
Une suite géométrique de raison q est monotone, c’est à dire croissante, décroissante (ou constante) si
…..
q ≥ 0
Une suite géométrique de raison q est constante si
….
q=0 ou q=1
Suite géométrique de raison q
Si le premier terme est strictement positif et si q > 1, la suite est
…
Si le premier terme est strictement positif et si 0 < q <1
….
Si le premier terme est strictement positif et si q > 1, la suite est croissante
Si le premier terme est strictement positif et si 0 < q < 1 alors la suite est décroissante
Suite géométrique de raison q
Si le premier terme est strictement négatif et si q > 1, la suite est
….
Si le premier terme est strictement négatif et si 0 <q></q>
<p>....</p>
</q>
Si le premier terme est strictement négatif et si q > 1, la suite est décroissante
Si le premier terme est strictement négatif et si q > 1, la suite est croissante
Soit (un) une suite définie sur N et ℓ un réel.
Dire que la suite (un) admet pour limite le réel ℓ signifie que
….
Dire que la suite (un) admet pour limite le réel ℓ signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]ℓ−r ;ℓ+r [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. On écrit : lim n→+∞ un = ℓ
Une suite qui admet pour limite un réel ℓ est dite
….
convergente
Propriété
La suite (un) converge vers un réel ℓ si, et seulement si, la suite (un)−ℓ est convergente vers
….
0
Suites sans limite
Par exemple la suite de terme général (−1)n admet-elle une limite?
Elle prend alternativement les valeurs 1 et −1. Elle n’admet donc pas de limite.
Théorème sur les limites d’une suite géométrique
Soit q un nombre réel :
Si −1 < q < 1 alors la suite géométrique de terme général qn converge vers
…
0
lim n→+∞ qn = 0
Théorème sur les limites d’une suite géométrique
Soit q un nombre réel :
Si q > 1 alors la suite géométrique de terme général qn a pour limite
…
+∞
lim n→+∞ qn = +∞
Théorème sur les limites d’une suite géométrique
Soit q un nombre réel :
Si q < −1 alors la suite géométrique de terme général qn n’admet pas de
…
limite finie ou infinie ( donc pas de limite)
