La fonction exponentielle

Question 1

Définition de la fonction exponentielle de base q

Soit q un réel strictement positif. La fonction qui, à tout entier relatif n, associe qⁿ, se prolonge en une fonction définie sur R.

On note q^x l’image d’un réel x et on appelle fonction exponentielle de base q la fonction f définie par

………………..

Answer 1

Question 2

Comment nomme-t-on l’expression ci-dessous ?

Answer 2

on appelle fonction exponentielle f de base q

Question 3

La fonction définie sur R par f(x) =3^x est donc la

…..

Answer 3

la fonction exponentielle de base 3.

Question 4

Définition racine n-ième

Pour tout entier naturel non nul n et q réel strictement positif, on appelle racine n-ième de q le réel :

…..

Attention: n doit être non-nul car sinon si n=0 alors 1/n n’existe pas

Answer 4

q^1/n

Question 5

Simplifier

(q^1/n)ⁿ

Answer 5

= q

Question 6

Le nombre 6^1/4 est

…..

Answer 6

la racine quatrième de 6

Question 7

Définition de la relation fonctionnelle

Pour tous réels x, y quelconques et q strictement positif :

q^{<strong>x+y</strong>} =

Answer 7

q^x x q^y

Question 8

7³ x 7⁶ =

Answer 8

7³⁺⁶=7⁹

Question 9

Soit q un réel strictement positif, et soit x 1 réel quelconque. Alors :

q^-x=

Answer 9

1/q^x

Question 10

Soient q et q’ deux réels strictement positifs, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

(q)^x x (q’)^x =

Answer 10

(qq’)^x

Question 11

Soient q 1 réel strictement positif, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

(q^x)^y =

Answer 11

q^xy

Question 12

Soient q 1 réel strictement positif, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

q^x/q^y =

Answer 12

q^x-y

Question 13

Answer 13

Question 14

Answer 14

Question 15

Answer 15

Question 16

Answer 16

Question 17

Théorème sens de variation

Le sens de variation d’une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

Si q>1, la fonction exponentielle de base q est …..

Answer 17

croissante sur R

Question 18

Théorème sens de variation

Le sens de variation d’une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

Si 0 < q < 1

Answer 18

décroissante sur R

Question 19

Théorème sens de variation

Le sens de variation d’une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

Si q=1, la fonction exponentielle de base q est ….

Answer 19

constante sur R

Question 20

Se réprésenter mentalement la représentation graphique d’une fonction exponentielle de base q sur R si

q>1

et si 0 < q < 1

Answer 20

Question 21

Propriété

Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est

…..

Answer 21

convexe sur R

c’est à dire que la tangente en tout point de x de R est toujours sous la courbe représentative de la fonction exponentielle de base q

Question 22

Définition de la fonction exponentielle de base e

La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée exp, est la fonction définie sur R par :

……

Answer 22

exp(x) =e^x

Question 23

Propriété de la fonction exponentielle de base e

Pour tous réels x et y :

exp(x+y) = …….

Answer 23

exp(x) x exp(y)

Question 24

Propriété de la fonction exponentielle e

e =exp (1) à peu près égal à ….

Answer 24

2.718

Question 25

Signe de l’exponentielle de base e

Pour tout réel x :

Answer 25

e^x > 0

Question 26

Propriétés algébriques de l’exponentielle de base e

e^x =e^y ⇔

Answer 26

e^x =e^y ⇔ x = y

Question 27

Propriétés algébriques de l’exponentielle de base e

e^x < e^y ⇔

Answer 27

e^x < e^y ⇔ x < y

Ceci est une propriété de la fonction exponentielle car elle est strictement croissante

Question 28

Propriétés algébriques de l’exponentielle de base e

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

e^x+y =…..

Answer 28

e^xe^y

Question 29

Propriétés algébriques de l’exponentielle de base e

Soit 1 réel x. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

e^-x =….

Answer 29

1/e^x

Question 30

Propriétés algébriques de l’exponentielle de base e

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

e^x-y =….

Answer 30

e^x/e^y

Question 31

Propriétés algébriques de l’exponentielle de base e

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

(e^x)^y =…..

Answer 31

e^xy

Question 32

Dérivée de la fonction exponentielle

Théorème

La fonction exponentielle est dérivable sur R. Pour tout réel x, on a :

…..

Answer 32

exp’ (x) =exp (x) = e^x

Question 33

Théorème de la dérivée de e^u

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée e^u est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

(e^u(x))′= …..

Answer 33

u′(x) e^u(x)

Question 34

Considérons la fonction f définie sur f(x)=e^3x+6.

f est définie et dérivable sur R. On pose, pour tout réel x :

• u (x) = 3x +6
• u’(x) = 3

On a f=e^u, donc f’ = u’e^u

Ainsi , pour tout réel x:

f’(x) =….

Answer 34

3e^3x+6

Question 35

Sens de variation

La fonction exponentielle est ….

Answer 35

strictement croissante sur R

Question 36

Propriété

La droite d’équation y = x + 1 est ………….à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0.

Answer 36

tangente

Question 37

Propriété

La fonction exponentielle est convexe, concave ou ni l’un ni l’autre ?

La fonction exponentielle est ….

Answer 37

convexe

car la tangente de sa courbe représentative en tout point de x de R est en dessous de cette même courbe