Continuité et convexité Flashcards
Définition de la continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Dire que f est continue sur I signifie que sa courbe représentative ……..
…..
peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On note Cf sa courbe représentative et A le point de la courbe Cf d’abscisse a. Pour tout réel x de l’intervalle I, on considère le point M de la courbe Cf d’abscisse x
La fonction f ci-dessous est-elle continue?
La fonction f est continue. Pour tout réel a de I, on peut rendre f (x) aussi proche que l’on veut de f (a) pourvu que x soit suffisamment proche de a
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On note Cf sa courbe représentative et A le point de la courbe Cf d’abscisse a. Pour tout réel x de l’intervalle I, on considère le point M de la courbe Cf d’abscisse x
La fonction ci-dessous est-elle continue?
La fonction f n’est pas continue en a. La courbe Cf présente un saut au point d’abscisse a. Le point M n’est pas proche du point A quand x est proche de a.
Théorème
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est
…..
….
continue sur cet intervalle
Remarque
Est-ce qu’une fonction continue est forcément dérivable?
Non
Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par exemple la fonction valeur absolue f définie sur R par f (x) = |x| est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0.
Voir graphique ci-dessous
La tangente en O n’est pas la même en 0- quand 0+
Propriété
Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies. De ce fait :
Les fonctions affines( f(x)=ax+b), la fonctions carré et la fonction cube sont-elles continues sur R
Oui car elles sont dérivables sur R donc d’après le théorème sur la continuité elles sont également continues. ( on peut tracer leurs courbes sans lever la main)
Propriété
Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies. De ce fait :
Les fonctions polynômes( axn+axn-1+….+b) sont elles continues sur R?
Oui
Propriété
Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies. De ce fait :
La fonction inverse ( f(x)=1/x) est-elle continue sur R ∗ = R\ {0} ?
Non
Elle est continue sur ]- l’infini; 0[
Elle est continue sur [0; +l’infini[
mais elle n’est pas continue sur R*
Propriété
Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies. De ce fait :
La fonction racine carrée est-elle continue sur [0 ; +∞[ ?
Oui
Qu’est-ce qu’une fonction de référence?
Citer les types de fonction de référence
Fonctions affines, carré, cube, inverse, racine carrée
Propriété
Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est-elle continue sur tout intervalle où elle est définie?
Oui
Soit c(x)=a(x)+b(x)
où a(x)= 2x3+5x2+5x+3 et b(x)= 4x5+4x2+31
c est-elle continue?
Dites pourquoi et sur quel ensemble de définition
Oui car a et b sont 2 fonctions polynômes( dérivables sur R donc continues sur R d’après le théorème) et donc leur somme c est également continues sur R
Soit c(x)=a(x)b(x)
où a(x)= 2x3+5x2+5x+3 et b(x)= 4x5+4x2+31
c est-elle continue?
Dites pourquoi et sur quel ensemble de définition
Oui car a et b sont 2 fonctions polynômes ( dérivables sur R donc continues sur R d’après le théorème) et donc leur produit c est également continues sur R
Rappel sur les termes utilisés : le produit de 2 fonctions ou entités est tout simplement leur multiplication
Soit a(x)= 2x3+5x2+5x+3 et c(x)=1/a(x)
c est-elle continue?
Dites pourquoi et sur quel ensemble de définition
La fonction a est une fonction polynôme donc continue sur R .
La fonction c est une fonction inverse de a donc est continue d’après une propriété des fonctions continues mais sur chaque intervalle de son ensemble de définition seulement .
Ici il faudrait résoudre a(x)=0 pour connaitre les racines de a
au final la fonction c serait continue sur les intervalles délimités par ses racines, intervalles pris séparément
Soit c(x)=a(x) / b(x)
où a(x)= 2x3+5x2+5x+3 et b(x)= 4x5+4x2+31
c est-elle continue?
Dites pourquoi et sur quel ensemble de définition
Oui car a et b sont 2 fonctions polynômes ( dérivables sur R donc continues sur R d’après le théorème) .
Sur quel intervalle? Il faut déterminer l’intervalle de l’inverse de b définie par 1/b(x)
Donc calculer les racines de b(x)=0 et donc c est continue sur les intervalles séparés délimités par les racines de b(x)
Rappel sur les termes utilisés : le quotient de 2 fonctions ou entités est tout simplement leur division
Montrer la continuité de la fonction définie sur I = ]0 ; +∞[ par l’expression ci-dessous
la fonction f est-elle continue et sur quelle intervalle?
La fonction f est définie et continue sur son ensemble de définition I comme somme et quotient de fonctions qui le sont sur cet intervalle.
I = ]0 ; +∞[ donc 3x+1 est non nul sur cette intervalle donc défini sur I donc (2x+2)/(3x+1) aussi
Qu’est-ce qui traduit la stricte monotonie et la continuité d’une fonction sur un intervalle considéré dans un tableau de variation?
Une flèche
D’après le tableau de variation ci-dessus, la fonction g est continue et strictement croissante sur [−3 ; −1].
Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est une fonction définie sur un intervalle [a ; b] et continue sur [a ; b] alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), combien l’équation f (x) = k admet-elle de solutions appartenant à [a;b] ?
au moins une solution
A contrario f n’est pas continue ci-dessous et donc
l’image de l’intervalle [a;b] n’est pas un intervalle. Il existe des réels k compris entre f (a) et f (b) pour lesquels l’équation f (x) = k n’a pas de solution.
Théorème corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k admet
…..
une unique solution dans [a ; b].
Théorème corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et si f (a) et f (b) sont de signe contraires, alors l’équation f (x) = 0 admet
une solution unique dans [a;b].
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative.
Dire que la fonction f est convexe sur I signifie que la courbe Cf est située entièrement
au-dessus de chacune de ses tangentes
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative.
Dire que la fonction f est concave sur I signifie que la courbe Cf est située entièrement….
au-dessous de chacune de ses tangentes.
Remarque
Intuitivement, quels que soient les points A et B de la courbe Cf
Si le segment [AB] est au-dessus de la courbe alors….
f est convexe
Remarque
Intuitivement, quels que soient les points A et B de la courbe Cf
Si le segment [AB] est au-dessous de la courbe alors….
f est concave
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est convexe sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f ′ est ….
croissante sur I
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est concave sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f ′ est …
décroissante sur I
On note f ′′ la dérivée seconde de la fonction f , c’est à dire la dérivée de la dérivée f ′
Si la dérivée seconde est positive alors….
la fonction f est convexe.
On note f ′′ la dérivée seconde de la fonction f , c’est à dire la dérivée de la dérivée f ′
Si la dérivée seconde est négative alors….
la fonction f est concave.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x5 −5x4 .
La fonction f est dérivable en tant que fonction polynôme sur R.
Sa dérivée est la fonction f ′ définie sur R par : f ′ (x) = 5x4 −20x3
Sa dérivée seconde est la fonction f ′′ définie sur R par
f ′′(x) = 20x3 −60x2 = 20x2 (x −3)
Les variations de f ′ se déduisent du signe de sa dérivée f ′′ . Notons que pour tout réel x on a : 20x2 > 0 donc f ′′(x) est du même signe que (x −3).
Se représenter mentalement le tableau de variation de f
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative. S’il existe un point A de la courbe Cf tel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit que A est ….
un point d’inflexion
Soit la courbe représentative de la fonction cube définie sur R par f (x) = x3
Soit Cf la courbe représentative de la fonction cube. La tangente au point O à la courbe Cf est l’axe des abscisses d’équation y = 0.
Pour x inférieur ou égal à 0, f (x) est inférieur ou égal à 0 donc la courbe Cf est au dessous de la tangente en O sur ]−∞;0].
Pour x supérieur ou égal à 0, f (x) est supérieur ou égal à 0 donc la courbe Cf est au dessus de la tangente en O sur [0;+∞[.
La courbe Cf traverse sa tangente en O donc O (0;0) est ….
un point d’inflexion.
En un point d’inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonction change ….
de convexité
Si la dérivée f ′ change de sens de variation en a alors la courbe admet ……
un point d’inflexion d’abscisse a
Si la dérivée seconde f ′′ s’annule en changeant de signe en a alors la courbe admet….
un point d’inflexion d’abscisse a
Soit une fonction f définie sur [0;4]
dont le tableau de variations est fourni ci-dessous :
On cherche à déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=−1
f(x)=−1 admet-elle une solution unique sur [0 ; 4] ?
Oui
L’unique flèche oblique montre que la fonction f est continue et strictement croissante sur [0;4].
−1 est compris entre f(0)=−3 et f(4)=1 .
Par conséquent, l’équation f(x)=−1 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 4]
