Probabilités

Question 1

Une expérience aléatoire est une expérience dont

…..

Answer 1

On ne connait pas le résultat par avance

OU ENCORE

le résultat dépend du hasard

Question 2

L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle

Answer 2

l’univers de l’expérience

On le note

Ω

Question 3

Soit une expérience aléatoire d’univers Ω.

Chacun des résultats possibles s’appelle …..

Answer 3

une éventualité (ou un événement élémentaire ou une issue).

Question 4

On appelle événement

…..

Answer 4

….tout sous ensemble de Ω

Question 5

Un événement est constitué de

…..

Answer 5

…..zéro, une ou plusieurs éventualités (ou encore appelés événements élémentaires ou issues).

Question 6

Exemple:

Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers

Answer 6

Ω={1;2;3;4;5;6}

Question 7

Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers :

Ω={1;2;3;4;5;6}

L’ensemble E1={2;4;6} est un ….

Le traduire par une phrase en français

Answer 7

évènement

En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »

Question 8

L’ensemble E​2​​={1;2;3} est un

….

Le traduire par une phrase en français

Answer 8

évènement

Il peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 »

Question 9

Des évènements d’une expérience aléatoire d’univers :

Ω={1;2;3;4;5;6}

peuvent être représentés par un diagramme

On l’appelle diagramme de …

Answer 9

Venn

Question 10

l’événement impossible est la partie vide, noté ∅, lorsque qu’

…

Answer 10

aucune issue ne le réalise

Exemple

Ω={1;2;3;4;5;6}

E​1​​={2;4;6}

E​2​​={1;2;3}

L’événement « obtenir un nombre supérieur à 7 » est l’ événement impossible.

Question 11

l’événement certain est Ω, lorsque

…

Answer 11

toutes les issues le réalisent

Exemple jet de dé

Ω={1;2;3;4;5;6}

E​1​​={2;4;6}

E​2​​={1;2;3}

L’événement « obtenir un nombre entier » est l’ événement certain.

Question 12

l’événement contraire de A est l’ensemble des

…..

Answer 12

éventualités de Ω qui n’appartiennent pas à A

Question 13

si E​1​​={2;4;6}

alors

l’évènement ci-dessous peut se traduire par …

Answer 13

« le résultat est un nombre impair » :

Question 14

Un évènement est dit élémentaire s’il ne contient

….

Answer 14

….

qu’une seule éventualité

Question 15

l’événement A∪B (lire « A union B » ou « A ou B ») est constitué des …

On reprend l’exemple précédent avec :

Ω={1;2;3;4;5;6}

E​1​​={2;4;6}

E​2​​={1;2;3}

E​1​​∪E​2​​={1;2;3;4;6}

cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 »

Answer 15

….

éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.

Question 16

l’événement A∩B (lire « A intersection B » ou « A et B ») est constitué

….

On reprend l’exemple précédent avec :

Ω={1;2;3;4;5;6}

E​1​​={2;4;6}

E​2​​={1;2;3}

E​1​​∩E​2​​={2}

cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 »

Answer 16

des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B

Question 17

On dit que A et B sont incompatibles ou disjoints si et seulement si

Answer 17

A∩B=∅

Deux événements sont incompatibles lorsqu’aucun événement ne les réalise simultanément.

Question 18

Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être

….

Answer 18

….

contraires

Exemple

Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles mais pas contraires car le contraire de l’évènement “Obtenir un chiffre inférieur à 2 “ est obtenir un chiffre supérieur ou égal à 2

Question 19

si

A∩B=Ø et

A∪B= Ω

alors

A et B sont

….

Answer 19

…

contraires

Question 20

Le cardinal d’un évènement est le…

Answer 20

…

nombre d’issues qu’il entretient

Question 21

Cardinal d’un évènement

Card ( A∪B) =

Answer 21

Card(A) + Card(B) - Card (A∩B )

Question 22

On note Card (A)

le

…

Answer 22

…

cardinal de A

Question 23

Si A et B sont incompatibles alors

Card(A∩B) =

….

Answer 23

0

Question 24

Si A et B sont incompatibles alors

Card(A∪B)=

…

Answer 24

…

Card(A) +Card(B)

Question 25

Définition de la probabilité d’un évènement élémentaire

La probabilité d’un événement élémentaire est un nombre réel tel que:

….

Answer 25

….

• Ce nombre est compris entre 0 et 1
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l’univers vaut 1

Question 26

p(∅)=

….

Answer 26

0

Question 27

p(Ω)=

…

Answer 27

…

1

Question 28

Answer 28

Question 29

Deux événements qui ont la même probabilité sont dits

…..

Answer 29

équiprobables

Question 30

Lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables, on dit qu’il y a

….

Answer 30

….

équiprobabilités

EXEMPLE

Un lancer d’un dé non truqué est une situation d’équiprobabilité.

Dans les exercices, on considérera qu’il y a équiprobabilité si l’énoncé indique que l’on jette une pièce “équilibrée”, qu’on lance un dé “non truqué”, qu’on tire une carte “au hasard” , etc.

Question 31

On suppose que l’univers est composé de n événements élémentaires

Dans le cas d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité :

….

Answer 31

….

1/n

Question 32

On suppose que l’univers est composé de n événements élémentaires

Si un événement A de Ω est composé de m événements élémentaires, alors

P(A)=….

Answer 32

….

m/n

EXEMPLE

On reprend l’exemple du lancer d’un dé avec E​1​​ : « le résultat du dé est un nombre pair »

P(E​1​​)=​3/6​​=​1/2

Question 33

DÉFINITION

Soit une expérience aléatoire ayant comme univers:

Ω={e​₁​​;e₂​​;…;e_n​​}

On définit une probabilité Ω en associant, à chaque éventualité e​_i​​, un réel p(e_i) compris entre

…..

et tel que la somme de tous les p​(e_i) soit égale à

…..

Answer 33

…..

On définit une probabilité Ω en associant, à chaque éventualité e​_i​​, un réel p(e_i) compris entre

0 et 1

et tel que la somme de tous les p​(e_i) soit égale à

1

Question 34

Cas des évènements compatibles

Soit E une expérience aléatoire

Ω son univers et A et B 2 évènements de Ω tels que A∩B différent de ∅ donc A et B sont compatibles

alors

si p( A ∩B )= p(A) X p(B) on dit que A et B sont

….

Answer 34

…

des évènements indépendants

Question 35

Cas des évènements compatibles

Soit E une expérience aléatoire

Ω son univers et A et B 2 évènements de Ω tels que A∩B différent de ∅ donc A et B sont compatibles

alors

si p( A ∩B ) différent de p(A) X p(B) on dit que A et B sont

Answer 35

dépendants

Question 36

DÉFINITION

On définit une variable aléatoire en associant un….

Answer 36

….

nombre réel à chaque éventualité d’une expérience aléatoire.

EXEMPLES

On mise 1€ sur le numéro 1 à la roulette. On gagne 35€ (36€ - la mise) si le numéro sort. On perd sa mise (soit 1€) dans les autres cas. On peut définir une variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Cette variable aléatoire peut prendre la valeur 35 (en cas de gain) ou -1 (en cas de perte).

On lance 4 fois une pièce de monnaie. On peut définir une variable aléatoire égale au nombre de “faces” obtenues.

Les valeurs possibles pour cette variable sont : 0; 1; 2; 3 ou 4.

Question 37

On note généralement une variable aléatoire à l’aide d’une

….

Answer 37

lettre majuscule (le plus souvent X)

Question 38

Si la variable aléatoire X peut prendre les valeurs a​1​​,a​2​​,…a​n​​, on note

(X=a_​i​​) l’évènement :

….

Answer 38

“X prend la valeur a_​i​​”

Question 39

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X associe à chaque valeur a_​​​i prise par X la probabilité de l’événement (X=a​i​​).

On la représente généralement sous forme de

….

Answer 39

tableau

EXEMPLES

Si l’on reprend l’exemple de la roulette (ci-dessus) et si on suppose que la probabilité de sortie de chacun des 37 numéros (0 à 36) est égale, la probabilité de gain est de 1/37​​ et la probabilité de perte 36/37

La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

Question 40

DÉFINITION (ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE)

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_​i​​ avec les probabilités p_​i​​=p(X=x_​i​​).

On appelle espérance mathématique de X le nombre :

E(X)=

Answer 40

Question 41

L’espérance mathématique de X peut s’interpréter comme une

….

Answer 41

valeur moyenne de X si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience.

EXEMPLE

Pour l’exemple de la roulette on a :

E(X)= -1 X 36/37 + 35 X 1/37= -1/37

L’espérance de gain est négative, ce qui signifie qu’en moyenne, le jeu n’est pas favorable au joueur.

Question 42

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel positif :

V(X) =

où

Answer 42

Question 43

L’écart-type est égal à la racine carrée de la variance :

Answer 43

Question 44

D’après la définition de la variance, si X les valeurs x​_i​​ avec les probabilités p_​i​​ :

Answer 44

Question 45

En développant les carrés, on montre que la variance peut également s’écrire :

Answer 45

Question 46

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_​i​​ avec les probabilités p_​i​​. On note aX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs ax​_i​​+b avec les mêmes probabilités p_​i​​.

On a alors :

Answer 46

Question 47

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_​i​​ avec les probabilités p​_i​​. On note aX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs ax​_i​​+b avec les mêmes probabilités p​_i​​.

On a alors :

Answer 47

Question 48

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_​i​​ avec les probabilités p_​i​​. On note aX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs ax​_i​​+b avec les mêmes probabilités p​_i​​.

On a alors :

Answer 48

Question 49

LOI DE BERNOULLI

DÉFINITION

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p (avec 0 < p <1) une expérience aléatoire ayant deux issues :

….

Answer 49

….

l’une appelée succès (généralement notée S) de probabilité p,

l’autre appelée échec (généralement notée S avec une barre au dessus​​​) de probabilité 1−p.

Question 50

DÉFINITION

On considère la variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p, définie par le tableau suivant:

Answer 50

DÉFINITION

On considère la variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p, définie par le tableau suivant:

Question 51

PROPRIÉTÉ

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernoulli ( donc de valeur 0 ou 1) de paramètre p est :

….

Answer 51

E(X)=p

DÉMONSTRATION

D’après la définition de l’espérance mathématique :

E(X)=0×(1−p)+1×p=p.

Question 52

SCHÉMA DE BERNOULLI - LOI BINOMIALE

DÉFINITION

On appelle schéma de Bernoulli la

….

Answer 52

….

répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Question 53

EXEMPLE

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au

hasard.

Si l’épreuve s’effectue sans remise, est-ce un schéma de Bernoulli?

Answer 53

Si l’épreuve s’effectue sans remise, les tirages ne sont ni identiques, ni indépendants. En effet, le fait d’avoir retiré une boule lors du premier tirage fait que le second tirage n’est pas identique au premier.

Question 54

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au hasard.

Si l’épreuve s’effectue avec remise, est-ce un schéma de Bernoulli?

Answer 54

Si l’épreuve s’effectue avec remise, on pourra, par contre, considérer que les tirages sont identiques et indépendants. On a donc bien, dans ce cas, un schéma de Bernoulli.

Question 55

DÉFINITION

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli constitué de n épreuves ayant chacune une probabilité de succès égale à p.

La variable aléatoire X suit une loi appelée

….

Answer 55

….

loi binomiale de paramètres n et p, souvent notée

Question 56

PROPRIÉTÉ

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale ß(n;p) est :

…..

Answer 56

….

E(X)=np

Question 57

DÉFINITION

On considère un arbre pondéré représentant une loi binomiale ß(n;p).

Le coefficient binomial

Answer 57

….

est le nombre de chemins qui correspondent à k succès.

Question 58

Pour désigner un coefficient binomial, on peut aussi utiliser le terme

….

Answer 58

combinaisons

Question 59

Pour calculer un coefficient binomial, sur la plupart des calculatrices, on utilise la commande

Answer 59

nCr

Question 60

Answer 60

n!/[k!(n-k)!]

Question 61

n!=

…

Answer 61

n(n-1)(n-2)(n-3)….x2x1

Question 62

n!

se dit

Answer 62

factoriel n

Question 63

PROPRIÉTÉS

Pour tout entier naturel n :

Answer 63

1

Question 64

Pour tout entier naturel n :

Answer 64

1

Question 65

Pour tout entier naturel n et tout entier naturel k (0⩽k<1)

Answer 65

Question 66

THÉORÈME

Soit X une variable aléatoire de loi ß(n;p).

Pour tout entier k compris entre 0 et n :

Answer 66

Question 67

CONDITIONNEMENT

DÉFINITION

A et B étant deux événements tels que p(A)≠0, la probabilité de B sachant A est le nombre réel :

Answer 67

Question 68

au lieu de p​_A​​(B) on note parfois

…..

Answer 68

p ( B/A)

Question 69

De même si p(B)≠0, la probabilité de A sachant B est

Answer 69

Question 70

p(A∩B)=

Answer 70

Question 71

DÉFINITION

On dit que les événements A​1​​,A​2​​,…,A​n​​ forment une partition de l’univers Ω si chaque élément de Ω

….

Answer 71

….

appartient à un et un seul des A

EXEMPLE

On lance un dé à 6 faces. On peut modéliser cette expérience par l’univers

Ω={1;2;3;4;5;6}.

Les événements :

A​1​​={1;2} (le résultat est inférieur à 3)

A​2​​={3} (le résultat est égal à 3)

A​3​​={4;5;6} (le résultat est supérieur à 3)

forment une partition de Ω. En effet, chacune des six éventualités 1, 2, 3, 4, 5, 6 appartient à et à un seul des A​_i​​.

Question 72

A et ​A barre au dessus​​​ forment

….

Answer 72

….

une partition de l’univers, quel que soit l’événement A. En effet, toute éventualité appartient soit à un événement, soit à son contraire et ne peut appartenir au deux en même temps.

Question 73

THÉORÈME (FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES)

Soit A​1​​,A​2​​,…,A​n​​ une partition de l’univers Ω. Pour tout événement B :

p(B)=

Answer 73

Question 74

CAS PARTICULIER FRÉQUENT

Comme A et A barré en haut​​​ forme une partition de l’univers :

p(B) =

Answer 74