Probabilités Flashcards
Une expérience aléatoire est une expérience dont
…..
On ne connait pas le résultat par avance
OU ENCORE
le résultat dépend du hasard
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle
l’univers de l’expérience
On le note
Ω
Soit une expérience aléatoire d’univers Ω.
Chacun des résultats possibles s’appelle …..
une éventualité (ou un événement élémentaire ou une issue).
On appelle événement
…..
….tout sous ensemble de Ω
Un événement est constitué de
…..
…..zéro, une ou plusieurs éventualités (ou encore appelés événements élémentaires ou issues).
Exemple:
Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers
Ω={1;2;3;4;5;6}
Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers :
Ω={1;2;3;4;5;6}
L’ensemble E1={2;4;6} est un ….
Le traduire par une phrase en français
évènement
En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
L’ensemble E2={1;2;3} est un
….
Le traduire par une phrase en français
évènement
Il peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 »
Des évènements d’une expérience aléatoire d’univers :
Ω={1;2;3;4;5;6}
peuvent être représentés par un diagramme
On l’appelle diagramme de …
Venn
l’événement impossible est la partie vide, noté ∅, lorsque qu’
…
aucune issue ne le réalise
Exemple
Ω={1;2;3;4;5;6}
E1={2;4;6}
E2={1;2;3}
L’événement « obtenir un nombre supérieur à 7 » est l’ événement impossible.
l’événement certain est Ω, lorsque
…
toutes les issues le réalisent
Exemple jet de dé
Ω={1;2;3;4;5;6}
E1={2;4;6}
E2={1;2;3}
L’événement « obtenir un nombre entier » est l’ événement certain.
l’événement contraire de A est l’ensemble des
…..
éventualités de Ω qui n’appartiennent pas à A
si E1={2;4;6}
alors
l’évènement ci-dessous peut se traduire par …
« le résultat est un nombre impair » :
Un évènement est dit élémentaire s’il ne contient
….
….
qu’une seule éventualité
l’événement A∪B (lire « A union B » ou « A ou B ») est constitué des …
On reprend l’exemple précédent avec :
Ω={1;2;3;4;5;6}
E1={2;4;6}
E2={1;2;3}
E1∪E2={1;2;3;4;6}
cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 »
….
éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
l’événement A∩B (lire « A intersection B » ou « A et B ») est constitué
….
On reprend l’exemple précédent avec :
Ω={1;2;3;4;5;6}
E1={2;4;6}
E2={1;2;3}
E1∩E2={2}
cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 »
des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B
On dit que A et B sont incompatibles ou disjoints si et seulement si
A∩B=∅
Deux événements sont incompatibles lorsqu’aucun événement ne les réalise simultanément.
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être
….
….
contraires
Exemple
Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles mais pas contraires car le contraire de l’évènement “Obtenir un chiffre inférieur à 2 “ est obtenir un chiffre supérieur ou égal à 2
si
A∩B=Ø et
A∪B= Ω
alors
A et B sont
….
…
contraires
Le cardinal d’un évènement est le…
…
nombre d’issues qu’il entretient
Cardinal d’un évènement
Card ( A∪B) =
Card(A) + Card(B) - Card (A∩B )
On note Card (A)
le
…
…
cardinal de A
Si A et B sont incompatibles alors
Card(A∩B) =
….
0
Si A et B sont incompatibles alors
Card(A∪B)=
…
…
Card(A) +Card(B)
Définition de la probabilité d’un évènement élémentaire
La probabilité d’un événement élémentaire est un nombre réel tel que:
….
….
- Ce nombre est compris entre 0 et 1
- La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l’univers vaut 1
p(∅)=
….
0
p(Ω)=
…
…
1
Deux événements qui ont la même probabilité sont dits
…..
équiprobables
Lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables, on dit qu’il y a
….
….
équiprobabilités
EXEMPLE
Un lancer d’un dé non truqué est une situation d’équiprobabilité.
Dans les exercices, on considérera qu’il y a équiprobabilité si l’énoncé indique que l’on jette une pièce “équilibrée”, qu’on lance un dé “non truqué”, qu’on tire une carte “au hasard” , etc.
On suppose que l’univers est composé de n événements élémentaires
Dans le cas d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité :
….
….
1/n
On suppose que l’univers est composé de n événements élémentaires
Si un événement A de Ω est composé de m événements élémentaires, alors
P(A)=….
….
m/n
EXEMPLE
On reprend l’exemple du lancer d’un dé avec E1 : « le résultat du dé est un nombre pair »
P(E1)=3/6=1/2
DÉFINITION
Soit une expérience aléatoire ayant comme univers:
Ω={e1;e2;…;en}
On définit une probabilité Ω en associant, à chaque éventualité ei, un réel p(ei) compris entre
…..
et tel que la somme de tous les p(ei) soit égale à
…..
…..
On définit une probabilité Ω en associant, à chaque éventualité ei, un réel p(ei) compris entre
0 et 1
et tel que la somme de tous les p(ei) soit égale à
1
Cas des évènements compatibles
Soit E une expérience aléatoire
Ω son univers et A et B 2 évènements de Ω tels que A∩B différent de ∅ donc A et B sont compatibles
alors
si p( A ∩B )= p(A) X p(B) on dit que A et B sont
….
…
des évènements indépendants
Cas des évènements compatibles
Soit E une expérience aléatoire
Ω son univers et A et B 2 évènements de Ω tels que A∩B différent de ∅ donc A et B sont compatibles
alors
si p( A ∩B ) différent de p(A) X p(B) on dit que A et B sont
dépendants
DÉFINITION
On définit une variable aléatoire en associant un….
….
nombre réel à chaque éventualité d’une expérience aléatoire.
EXEMPLES
On mise 1€ sur le numéro 1 à la roulette. On gagne 35€ (36€ - la mise) si le numéro sort. On perd sa mise (soit 1€) dans les autres cas. On peut définir une variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Cette variable aléatoire peut prendre la valeur 35 (en cas de gain) ou -1 (en cas de perte).
On lance 4 fois une pièce de monnaie. On peut définir une variable aléatoire égale au nombre de “faces” obtenues.
Les valeurs possibles pour cette variable sont : 0; 1; 2; 3 ou 4.
On note généralement une variable aléatoire à l’aide d’une
….
lettre majuscule (le plus souvent X)
Si la variable aléatoire X peut prendre les valeurs a1,a2,…an, on note
(X=ai) l’évènement :
….
“X prend la valeur ai”
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X associe à chaque valeur ai prise par X la probabilité de l’événement (X=ai).
On la représente généralement sous forme de
….
tableau
EXEMPLES
Si l’on reprend l’exemple de la roulette (ci-dessus) et si on suppose que la probabilité de sortie de chacun des 37 numéros (0 à 36) est égale, la probabilité de gain est de 1/37 et la probabilité de perte 36/37
La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
DÉFINITION (ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE)
Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs xi avec les probabilités pi=p(X=xi).
On appelle espérance mathématique de X le nombre :
E(X)=
L’espérance mathématique de X peut s’interpréter comme une
….
valeur moyenne de X si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience.
EXEMPLE
Pour l’exemple de la roulette on a :
E(X)= -1 X 36/37 + 35 X 1/37= -1/37
L’espérance de gain est négative, ce qui signifie qu’en moyenne, le jeu n’est pas favorable au joueur.
La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel positif :
V(X) =
où
L’écart-type est égal à la racine carrée de la variance :
D’après la définition de la variance, si X les valeurs xi avec les probabilités pi :
En développant les carrés, on montre que la variance peut également s’écrire :
Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs xi avec les probabilités pi. On note aX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs axi+b avec les mêmes probabilités pi.
On a alors :
Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs xi avec les probabilités pi. On note aX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs axi+b avec les mêmes probabilités pi.
On a alors :
Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs xi avec les probabilités pi. On note aX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs axi+b avec les mêmes probabilités pi.
On a alors :
LOI DE BERNOULLI
DÉFINITION
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p (avec 0 < p <1) une expérience aléatoire ayant deux issues :
….
….
l’une appelée succès (généralement notée S) de probabilité p,
l’autre appelée échec (généralement notée S avec une barre au dessus) de probabilité 1−p.
DÉFINITION
On considère la variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p, définie par le tableau suivant:
DÉFINITION
On considère la variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p, définie par le tableau suivant:
PROPRIÉTÉ
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernoulli ( donc de valeur 0 ou 1) de paramètre p est :
….
E(X)=p
DÉMONSTRATION
D’après la définition de l’espérance mathématique :
E(X)=0×(1−p)+1×p=p.
SCHÉMA DE BERNOULLI - LOI BINOMIALE
DÉFINITION
On appelle schéma de Bernoulli la
….
….
répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
EXEMPLE
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au
hasard.
Si l’épreuve s’effectue sans remise, est-ce un schéma de Bernoulli?
Si l’épreuve s’effectue sans remise, les tirages ne sont ni identiques, ni indépendants. En effet, le fait d’avoir retiré une boule lors du premier tirage fait que le second tirage n’est pas identique au premier.
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au hasard.
Si l’épreuve s’effectue avec remise, est-ce un schéma de Bernoulli?
Si l’épreuve s’effectue avec remise, on pourra, par contre, considérer que les tirages sont identiques et indépendants. On a donc bien, dans ce cas, un schéma de Bernoulli.
DÉFINITION
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli constitué de n épreuves ayant chacune une probabilité de succès égale à p.
La variable aléatoire X suit une loi appelée
….
….
loi binomiale de paramètres n et p, souvent notée
PROPRIÉTÉ
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale ß(n;p) est :
…..
….
E(X)=np
DÉFINITION
On considère un arbre pondéré représentant une loi binomiale ß(n;p).
Le coefficient binomial
….
est le nombre de chemins qui correspondent à k succès.
Pour désigner un coefficient binomial, on peut aussi utiliser le terme
….
combinaisons
Pour calculer un coefficient binomial, sur la plupart des calculatrices, on utilise la commande
nCr
n!/[k!(n-k)!]
n!=
…
n(n-1)(n-2)(n-3)….x2x1
n!
se dit
factoriel n
PROPRIÉTÉS
Pour tout entier naturel n :
1
Pour tout entier naturel n :
1
Pour tout entier naturel n et tout entier naturel k (0⩽k<1)
THÉORÈME
Soit X une variable aléatoire de loi ß(n;p).
Pour tout entier k compris entre 0 et n :
CONDITIONNEMENT
DÉFINITION
A et B étant deux événements tels que p(A)≠0, la probabilité de B sachant A est le nombre réel :
au lieu de pA(B) on note parfois
…..
p ( B/A)
De même si p(B)≠0, la probabilité de A sachant B est
p(A∩B)=
DÉFINITION
On dit que les événements A1,A2,…,An forment une partition de l’univers Ω si chaque élément de Ω
….
….
appartient à un et un seul des A
EXEMPLE
On lance un dé à 6 faces. On peut modéliser cette expérience par l’univers
Ω={1;2;3;4;5;6}.
Les événements :
A1={1;2} (le résultat est inférieur à 3)
A2={3} (le résultat est égal à 3)
A3={4;5;6} (le résultat est supérieur à 3)
forment une partition de Ω. En effet, chacune des six éventualités 1, 2, 3, 4, 5, 6 appartient à et à un seul des Ai.
A et A barre au dessus forment
….
….
une partition de l’univers, quel que soit l’événement A. En effet, toute éventualité appartient soit à un événement, soit à son contraire et ne peut appartenir au deux en même temps.
THÉORÈME (FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES)
Soit A1,A2,…,An une partition de l’univers Ω. Pour tout événement B :
p(B)=
CAS PARTICULIER FRÉQUENT
Comme A et A barré en haut forme une partition de l’univers :
p(B) =
