Fonction logarithme népérien Flashcards
Rappel sur la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et strictement positive sur R.
D’après le théorème de la …… , pour tout réel k > 0, l’équation ex = k admet donc une …. ( nombre de solutions)
….
La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et strictement positive sur R.
D’après le théorème de la valeur intermédiaire , pour tout réel k > 0, l’équation ex = k admet donc une unique solution dans R
La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et strictement positive sur R. D’après le théorème de la valeur intermédiaire, pour tout réel k > 0, l’équation ex = k admet donc une unique solution dans R.
On définit une nouvelle fonction appelée logarithme népérien qui à tout réel k strictement positif, associe
son unique antécédent par la fonction exponentielle
Définition 1 de la fonction logarithme népérien
On appelle logarithme népérien du réel k strictement positif …
l’unique solution α de l’équation d’inconnue x définie par :
ex = k
On note α = lnk cette solution qui se lit « logarithme népérien de k » .
eα = k⇔ ….
eln k = k
La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout réel strictement positif x, associe ….
ln x
avec e ln x = x
On note lnx, au lieu de ln(x), le logarithme népérien de x, lorsqu’il n’y a pas
…..
d’ambiguité
e0 = 1 donc ln(1) = ….
0
e1 = e donc ln( e ) = ….
1
Pour tout réel a > 0, l’équation ex = a
a pour unique solution x =
ln a
On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction
….
réciproque de la fonction exponentielle
On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction …..de la fonction exponentielle.
Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite D d’équation y = x. ( propriété des courbes représentatives de fonctions réciproques )
réciproque
Propriété 1
La fonction ln est ….sur ]0; +∞[
La fonction ln est définie et continue sur ]0; +∞[
Pour tout réel x strictement positif :
elnx = …
Pour tout réel x strictement positif :
elnx = x
Pour tout réel x : ln (ex) = …
Pour tout réel x : ln (ex) = x
Propriété
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et pour tout réel x > 0 :
ln′ (x) = ….
1/x
Propriété
La fonction ln est strictement ……………. sur ]0;+∞[
croissante
Propriété
Pour a et b strictement positifs,
a = b ⇔ ln a = ……..
a < b ⇔ ln a < …….
a = b ⇔ ln a = ln b
a < b ⇔ ln a < ln b
Théorème
Pour tout réel x strictement positif :
ln x = 0 ⇔ x = …..
ln x = 0 ⇔ x = 1
Théorème
Pour tout réel x strictement positif :
ln x > 0 ⇔ x > ….
ln x > 0 ⇔ x > 1
Théorème
Pour tout réel x strictement positif :
ln x = 0 ⇔ x = 1
ln x > 0 ⇔ x > 1
alors ln x < 0 ⇔ …..
Pour tout réel x strictement positif :
ln x = 0 ⇔ x = 1
ln x > 0 ⇔ x > 1
alors ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs :
ln (a ×b) = …..
Pour tous réels a et b strictement positifs :
ln (a ×b) = ln (a)+ln (b)
La fonction exponentielle transforme une somme en produit, sa fonction réciproque, la fonction logarithme népérien transforme …..
….
un produit en somme
Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif :
ln 1/a = …..
ln 1/a = − ln a
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif :
ln a/b = ……
ln a/b = ln a − ln b
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif :
ln an = …..
ln an = n ln a
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif :
Équation xn = k et concavité
Propriété
Soit x et k des réels strictement positifs et n un entier naturel. L’équation xn = k admet une unique solution dans ]0; +∞[ qui est :
Propriété
La fonction logarithme népérien est concave sur l’intervalle ]0; +∞[. La courbe représentative de la fonction ln est donc située au ……………… de ses tangentes.
La fonction logarithme népérien est concave sur l’intervalle ]0; +∞[. La courbe représentative de la fonction ln est donc située au dessous de ses tangentes.
Propriété
Sur l’intervalle ]0; +∞[, la courbe représentative de la fonction ln est donc située au dessous de la droite d’équation y = …………. , c’est à dire de la première …………….. du repère.
Sur l’intervalle ]0; +∞[, la courbe représentative de la fonction ln est donc située au dessous de la droite d’équation y = x, c’est à dire de la première bissectrice du repère.
