Statistiques

Question 1

formule de la moyenne normale / intervalle

Answer 1

p
moyenne= 1/N ∑nk * xk
k=1
p
moyenne intervalle = 1/N ∑((a(k-1) + ak) /2) *nk
k=1

Question 2

formule de la variance normale/ intervalle

Answer 2

p
sx^2 = (1/N) ∑nk*(xk-moyenne)^2
                  k=1
                    p
sx^2 = (1/N) ∑nk*((a(k-1)+ak)/2 - moyenne)^2
                  k=1

Question 3

Formule de Koenig-Huygens

Answer 3

sx^2= moyenne(x^2) - moyenne(x)^2

Question 4

Formule et propriété de l’écart-type

Answer 4

Sx = √Sx^2
y = ax+b alors Sy=|a|Sx

Question 5

Qu’est ce que le point moyen ?

Answer 5

Point qui a pour coordonnées la moyenne de x et la moyenne de Y

Question 6

Formule de la covariance + propriétés

Answer 6

p q
Sx,y = 1/N ∑ ∑ nk,l * (xk-moyenne(x))*(xl-moyenne(y))
k=1. l=1

Sx,y = Moyenne(xy)-moyenne(x)*moyenne(y)
S(x+y)^2 = Sx^2 + 2*Sx,y + Sy^2

Question 7

Formule du coefficient de régression affine + propriétés

Answer 7

Rx,y = Sx,y/(Sx*Sy)
Rx,y € [-1,1]
Plus |Rx,y| est proche de 1 meilleure est l’approximation

Question 8

Loi faible des grands nombres

Answer 8

(X1…Xn) n variables aléatoires indépendantes de même espérance µ et même variance σ^2

              n
Mn=1/n ∑ Xi 
            i=1
Pour tout a>0, Lim P(|Mn-µ|≥a)=0
                        n->+∞
On dit que Mn converge en probabilité vers µ

Question 9

Théorème de la limite centrée

Answer 9

(X1…Xn) n variables aléatoires indépendantes de même espérance µ et même variance Sn^2
Mn* = (Mn-µ)/√(Sn^2/n)

Pour tout a,b€R,a<b>+∞</b>

Question 10

Théorème de Moivre Laplace

Answer 10

(Xn)n€N n variables aléatoires suivant la même loi de Binomiale de paramètres n,p

Pour tout a,b€R Lim P(a+∞

avec Xn*=(Xn-np)/√(np(1-p))

Question 11

Définition estimateur de θ

Answer 11

(Xn)n€N suivent même loi dépendante d’un paramètre θ

Suite de var (Tn)n€N où Tn est fonction de (Xn)n€N

Question 12

Définition d’une estimation de θ

Answer 12

Réalisation de Tn

Question 13

Expression de l’erreur d’estimation

Answer 13

Variable Tn-θ

Question 14

Formule du biais de l’estimateur θ

Answer 14

b(Tn)=E(Tn-θ)=E(Tn)-θ

Tn est sans biais si b(Tn)=0 ie si E(Tn)=θ

Question 15

Formule et propriétés de la moyenne empirique

Answer 15

n
Mn=1/N ∑ Xi
              i=1
C'est est estimateur sans biais de µ
V(Mn)=σ^2/n
Lim V(Mn-µ)=0 
n->+∞
Mn converge en moyenne quadratique vers µ

Question 16

Formule et propriétés variance empirique

Answer 16

n
Sn^2= 1/N (∑  Xi^2)  -Mn^2
                   i=1 
Sn^2 est un estimateur biaisé de σ^2
E(Sn^2)=(n-1)/n *σ^2
Lim b(Sn^2)=0
n->+∞
On dit que Sn^2 est asymptotiquement sans biais

Question 17

Intervalle de confiance (asymptotique) au niveau de confiance 1-α

Answer 17

Un et Vn des estimateurs de µ, α€]0,1[
P(Un≤µ≤Vn)=1-α
(Lim P(Un≤µ≤Vn)=1-α)
n->+∞

Question 18

Intervalle de confiance de la moyenne

Answer 18

Lim P(|(Mn-µ)/√(Sn^2/n)|≥u(1-α/2)=α
n->+∞
En principe on rejette l’hypothèse H0 si la quantité observée de Mn-µ)/√(Sn^2/n) n’est pas comprise dans [-u(1-α/2),u(1-α/2)]

Question 19

droite de régression linéaire

Answer 19

Y= (Sx,y / Sx^2) X + (moyenne(y) - (Sx,y / Sx^2)moyenne(x))