Proba Flashcards
card(AUB) ?
card(AUB)= card(A) + card(B) - card(AΩB)
définition d’une p liste d’élément de E
tout élément de E^p= nb de façon de choisir avec ordre et répétition possible p objet parmi n objets distincts. Il y a n^p p-liste
card de l’ensemble des parties de E
card(P(E))= 2^n
définition et cardinal d’un p-arrangement de E
p-liste sans répétition et avec ordre d’éléments de E
Apn= n!/(n-p)!
définition et cardinal de permutation
liste de E contenant exactement une fois chaque élément de E
nb de permutation = n!
définition et cardinal de p-combinaison de E
toute partie de E contenant p élément ou encore le nb de façon de choisir simultanément p éléments parmi n
nb de combinaisons = p parmi n
Formule de Poincaré
P(AUB)= P(A)+P(B) - P(AΩB)
Inégalité de Boole
n n
P(U Ai) ≤ ∑ P(Ai)
i=1 i=1
Formule des probabilités conditionnelles
P(B|A)=P(AΩB)/P(A)
Formule des probabilités composées
(A1….An) une famille d’événements telle que P(A1ΩA2Ω…..ΩAn)≠0 alors:
P(A1Ω…….ΩAn)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1ΩA2)……P(An|A1Ω…..ΩAn-1)
Formule des probabilités totales
soit (A1.....An) un sce, pour tout i€ [1,n], P(Ai)≠0
Pour tout B€P(Ω) alors
n
P(B)= ∑P(B|Ai)*P(Ai)
i=1Formule de Bayes
(A1……An) un sce pour tout i€ [1,n], P(Ai)≠0, P(B)≠0
n
pour tout i€ [1,n], P(Ai|B)=(P(B|Ai)P(Ai))/∑P(Aj|B)P(Aj)
j=1
Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Bernoulli de paramètre p
D={0,1}
P(X=1)=p. P(X=0)=1-p
E(X)=p
V(X)=p(1-p)
Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Binomiale de paramètres n, p
D=[0,n]
P(X=k)= (k parmi n) p^k (1-p)^(n-k)
E(X)=np
V(X)=np(1-p)
Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Hypergéométrique de paramètre N, n, p
D=[max(0, n-N+Np),min(Np,n)]
P(X=k)=((k parmi Np)(n-k parmi N(1-p))/(n parmi N)
E(X)=np
V(X)= y’a pas de variance
Domaine, loi, espérance et variance de la loi uniforme sur [1,n]
D=[1,n]
P(X=k)=1/n
E(X)=(n+1)/2
V(X)=(n^2 - 1) /12
Domaine, loi, espérance et variance de la loi géométrique de paramètre p
D=N*
P(X=k)=p(1-p)^(k-1)
E(X)=1/p
V(X)=(1-p)/p^2
Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Poisson de paramètre µ
D=N
P(X=k)=exp(-µ) µ^k / k!
E(X)= µ
V(X)=µ
Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi uniforme sur [a,b]
E(X)= (a+b)/2
V(X)= (b-a)^2 /12
</a>
0 si x<a>b
f(x)= | 1/ (b-a) si x€[a,b]
| 0 sinon</a>
Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi exponentielle de paramètre µ
f(x)= | µexp(-µx) si x≥0
| 0 si x<0
E(X)= 1/µ V(X)= 1/µ^2
0 si x≤0
Fx(x)= | 1-exp(-µx) si x>0
Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi normale de paramètre m, σ^2
x
Fx(x)=∫f(t)dt
-∞
f(x)= (1/√2πσ^2)exp(-(x-m)^2/2σ^2))
E(X)= m V(X)= σ^2
Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi normale centrée réduite
x
Fx(x)=∫f(t)dt
-∞
f(x)= (1/√2π)exp(-x^2/2)
E(X)= 0 V(X)= 1
Théorème de transfert
E(u(X))=∑u(k)P(X=k)
k€X(Ω)
Formule de Koenig-Huygens (variance et covariance)
V(X)= E(X^2) - E(X)^2 cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
Définition d’une fonction de densité
continue sauf éventuellement en un nb finit de points à valeurs positives dans R \+∞ ∫ f(t)dt = 1 -∞
Définition d’une fonction de répartition d’une var à densité
Continue sur R
C1 sur R sauf éventuellement en un nb finit de points
Espérance et variance d’une variable à densité
\+∞
E(X)=∫ t f(t)dt
-∞
\+∞
E(X^2)=∫ t^2 f(t)dt
-∞Inégalité de Markov
Soit X une variable admettant une espérance et a un réel strictement positif:
P(X≥a)≤E(X)/a
Inégalité de Bienaymé-Tchébychev
Soit X une variable admettant une variance et a un réel strictement positif:
P(|X-E(X)|≥a)≤V(X)/a^2
Formule de Vandermonde
p
∑(k parmi m) * (p-k parmi n) = (p parmi n+m)
k=0
Domaine, loi, espérance et variance de la loi certaine égale à a
D={a}
P(X=a)=1
E(X)=a
V(X)=0
