Proba

Question 1

card(AUB) ?

Answer 1

card(AUB)= card(A) + card(B) - card(AΩB)

Question 2

définition d’une p liste d’élément de E

Answer 2

tout élément de E^p= nb de façon de choisir avec ordre et répétition possible p objet parmi n objets distincts. Il y a n^p p-liste

Question 3

card de l’ensemble des parties de E

Answer 3

card(P(E))= 2^n

Question 4

définition et cardinal d’un p-arrangement de E

Answer 4

p-liste sans répétition et avec ordre d’éléments de E

Apn= n!/(n-p)!

Question 5

définition et cardinal de permutation

Answer 5

liste de E contenant exactement une fois chaque élément de E
nb de permutation = n!

Question 6

définition et cardinal de p-combinaison de E

Answer 6

toute partie de E contenant p élément ou encore le nb de façon de choisir simultanément p éléments parmi n
nb de combinaisons = p parmi n

Question 7

Formule de Poincaré

Answer 7

P(AUB)= P(A)+P(B) - P(AΩB)

Question 8

Inégalité de Boole

Answer 8

n n
P(U Ai) ≤ ∑ P(Ai)
i=1 i=1

Question 9

Formule des probabilités conditionnelles

Answer 9

P(B|A)=P(AΩB)/P(A)

Question 10

Formule des probabilités composées

Answer 10

(A1….An) une famille d’événements telle que P(A1ΩA2Ω…..ΩAn)≠0 alors:
P(A1Ω…….ΩAn)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1ΩA2)……P(An|A1Ω…..ΩAn-1)

Question 11

Formule des probabilités totales

Answer 11

soit (A1.....An) un sce, pour tout i€ [1,n], P(Ai)≠0
Pour tout B€P(Ω) alors
          n 
P(B)= ∑P(B|Ai)*P(Ai)
          i=1

Question 12

Formule de Bayes

Answer 12

(A1……An) un sce pour tout i€ [1,n], P(Ai)≠0, P(B)≠0
n
pour tout i€ [1,n], P(Ai|B)=(P(B|Ai)P(Ai))/∑P(Aj|B)P(Aj)
j=1

Question 13

Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Bernoulli de paramètre p

Answer 13

D={0,1}
P(X=1)=p. P(X=0)=1-p
E(X)=p
V(X)=p(1-p)

Question 14

Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Binomiale de paramètres n, p

Answer 14

D=[0,n]
P(X=k)= (k parmi n) p^k (1-p)^(n-k)
E(X)=np
V(X)=np(1-p)

Question 15

Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Hypergéométrique de paramètre N, n, p

Answer 15

D=[max(0, n-N+Np),min(Np,n)]
P(X=k)=((k parmi Np)(n-k parmi N(1-p))/(n parmi N)
E(X)=np
V(X)= y’a pas de variance

Question 16

Domaine, loi, espérance et variance de la loi uniforme sur [1,n]

Answer 16

D=[1,n]
P(X=k)=1/n
E(X)=(n+1)/2
V(X)=(n^2 - 1) /12

Question 17

Domaine, loi, espérance et variance de la loi géométrique de paramètre p

Answer 17

D=N*
P(X=k)=p(1-p)^(k-1)
E(X)=1/p
V(X)=(1-p)/p^2

Question 18

Domaine, loi, espérance et variance de la loi de Poisson de paramètre µ

Answer 18

D=N
P(X=k)=exp(-µ) µ^k / k!
E(X)= µ
V(X)=µ

Question 19

Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi uniforme sur [a,b]

Answer 19

E(X)= (a+b)/2
V(X)= (b-a)^2 /12
</a>

0 si x<a>b
f(x)= | 1/ (b-a) si x€[a,b]
| 0 sinon</a>

Question 20

Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi exponentielle de paramètre µ

Answer 20

f(x)= | µexp(-µx) si x≥0
| 0 si x<0

E(X)= 1/µ
V(X)= 1/µ^2

0 si x≤0
Fx(x)= | 1-exp(-µx) si x>0

Question 21

Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi normale de paramètre m, σ^2

Answer 21

x
Fx(x)=∫f(t)dt
-∞

f(x)= (1/√2πσ^2)exp(-(x-m)^2/2σ^2))

E(X)= m
V(X)= σ^2

Question 22

Fonction de répartition, densité, espérance et variance de la loi normale centrée réduite

Answer 22

x
Fx(x)=∫f(t)dt
-∞

f(x)= (1/√2π)exp(-x^2/2)

E(X)= 0
V(X)= 1

Question 23

Théorème de transfert

Answer 23

E(u(X))=∑u(k)P(X=k)

k€X(Ω)

Question 24

Formule de Koenig-Huygens (variance et covariance)

Answer 24

V(X)= E(X^2) - E(X)^2
cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)

Question 25

Définition d’une fonction de densité

Answer 25

continue sauf éventuellement en un nb finit de points 
à valeurs positives dans R
\+∞
∫ f(t)dt = 1
-∞

Question 26

Définition d’une fonction de répartition d’une var à densité

Answer 26

Continue sur R

C1 sur R sauf éventuellement en un nb finit de points

Question 27

Espérance et variance d’une variable à densité

Answer 27

\+∞
E(X)=∫ t f(t)dt 
        -∞
           \+∞
E(X^2)=∫ t^2 f(t)dt 
           -∞

Question 28

Inégalité de Markov

Answer 28

Soit X une variable admettant une espérance et a un réel strictement positif:
P(X≥a)≤E(X)/a

Question 29

Inégalité de Bienaymé-Tchébychev

Answer 29

Soit X une variable admettant une variance et a un réel strictement positif:
P(|X-E(X)|≥a)≤V(X)/a^2

Question 30

Formule de Vandermonde

Answer 30

p
∑(k parmi m) * (p-k parmi n) = (p parmi n+m)
k=0

Question 31

Domaine, loi, espérance et variance de la loi certaine égale à a

Answer 31

D={a}
P(X=a)=1
E(X)=a
V(X)=0