Equation différentielles

Question 1

Solutions de l’équation différentielle d’ordre 1 à coefficients constants et second membre nul (y’+ay=0)

Answer 1

So = {f : R->R, x l-> K*exp(-ax), K€R }

Question 2

Solutions de l’équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants et second membre nul (y’‘+ay’+by=0)

Answer 2

Si ∆>0 , So= {f : R->R, x l-> µ1exp(r1x)+µ2exp(r2x), µ1,µ2 €R}
Si ∆=0 , So= {f : R->R, x l-> (µ1+xµ2)exp(r0x), µ1,µ2 €R}
Si ∆<0 , So= {f : R->R, x l-> exp(αx)(µ1cos(βx)+µ2sin(βx)), µ1,µ2 €R}

Question 3

Solution de l’équation différentielle d’ordre 1 de la forme y’+a(t)y=0

Answer 3

So={f:R->R, x |->C*exp(-A(x)) | C€R} (A primitive de a)

Question 4

Expliquer la méthode de variation de la constante (pour une équation de type E=y’‘+ay=f)

Answer 4

soit g solution de ≠0 de Eo. On cherche µg où µ:I->R une nouvelle fonction telle que µg est solution particulière de E. Alors:
(µg)’ + aµg = f <=> µg’+µ’g+µag=f <=> µ’g=f
Comme g≠0 alors 1/g est défini sur I ainsi µ est primitive de f/g sur I et µg solution particulière