Série 9

Question 1

La dimension de l’image d’une matrice est égale au nombre de ses colonnes pivots.

Answer 1

V

Question 2

Tout plan de R3 est un sous-espace vectoriel de R3 de dimension 2.

Answer 2

F

Question 3

L’espace P4 est de dimension 3.

Answer 3

F

Question 4

Si dimV = n et que F est une famille libre de vecteurs de V, alors F est une base de V.

Answer 4

F

Question 5

Si (v1,…, vp) est une famille génératrice d’un espace vectoriel V de dimension finie et si T est une famille contenant strictement plus de p vecteurs de V, alors T est liée.

Answer 5

V

Question 6

R2 est un sous-espace vectoriel de R3 de dimension 2.

Answer 6

F

Question 7

Si A est une matrice, la dimension de KerA est égale au nombre d’inconnues dans l’équation Ax=0.

Answer 7

F

Question 8

Si une famille infinie engendre un espace vectoriel, alors ce dernier est de dimension infinie.

Answer 8

F

Question 9

Si dimV = n et si F engendre V, alors F est une base de V.

Answer 9

F

Question 10

Le seul sous-espace de R3 de dimension 3 est R3 lui-meme.

Answer 10

V

Question 11

S’il existe une famille (v1, …, vp) qui engendre V, alors dim V <= p

Answer 11

V

Question 12

S’il existe une famille (v1, …, vp) de vecteurs de V, alors dimV >= p.

Answer 12

V

Question 13

Si dimV = p, alors il existe une famille génératrice de p+1 vecteurs de V.

Answer 13

V

Question 14

S’il existe une famille (v1, …, vp) de vecteurs de V, alors dim V <= p.

Answer 14

F

Question 15

Si aucune famille de p vecteurs de V n’engendre V, alors dimV > p.

Answer 15

V

Question 16

Si p >= 2 et que dimV = p, alors toute famille de p-1 vecteurs non nuls est libre.

Answer 16

F

Question 17

L’espace engendré par les lignes de A est égal à celui engendré par les colonnes de Atransposée (je note At).

Answer 17

V

Question 18

Si B est une forme échelonnée de A et si B possède exactement trois lignes non nulles, alors les trois premières lignes de A forment une base de LignA.

Answer 18

F

Question 19

Les espaces engendrés par les colonnes et par les lignes de A ont même dimension, même si A n’est pas carrée.

Answer 19

V

Question 20

LA somme des dimensions du noyau de A et de l’espace engendré par ses lignes est égale au nombre de lignes de A.

Answer 20

F

Question 21

Lors d’un calcul informatique, des opérations élémentaires sur les lignes peuvent modifier le rang apparent d’une matrice.

Answer 21

V

Question 22

Si B est une forme échelonnée de A, alors les colonnes pivots de B forment une base de l’image de A.

Answer 22

F

Question 23

Les opérations élémentaires sur les lignes conservent les relations de dépendance linéaire entre les lignes de A.

Answer 23

F

Question 24

La dimension de noyau de A est égale au nombre de colonnes de A qui ne sont pas des colonnes pivots

Answer 24

V

Question 25

L’espace engendré par les lignes de At est égal à celui engendré par les colonnes de A.

Answer 25

V.

Question 26

Si A et B sont deux matrices équivalentes selon les lignes, alors les espaces engendrés par leurs lignes sont les mêmes.

Answer 26

V

Question 27

Les colonnes de la matrice de passage P(C<–B) sont les composantes de la base B des vecteurs de C.

Answer 27

F

Question 28

On considère V = Rn et C la base canonique de V. Alors P(C<–B) est égale à la matrice de passage P(B) introduite à la section 4.4.

(Flegme de recopier 4.4 ouvre ton livre).

Answer 28

V

Question 29

Les colonnes de P(C<–B) sont linéairement dépendantes.

Answer 29

V

Question 30

On pose:
- V = R2
- B = (b1, b2)
- C = (c1, c2).
En réduisant par la méthode du pivot la matrice [ c1 c2 b1 b2] à la matrice [I P], on obtient une matrice P vérifiant [x]B = P[x]c.

Answer 30

V

Question 31

(v1, …,vp) : vecteurs non nuls d’un espace vectoriel V non nul de dimension finie.
F = (v1, …, vp)

L’ensemble des combinaisons linéaires de v1, …, vp est un espace vectoriel.

Answer 31

V

Question 32

(v1, …,vp) : vecteurs non nuls d’un espace vectoriel V non nul de dimension finie.
F = (v1, …, vp)

si (v1,…,vp-1) engendre V, alors F engendre V.

Answer 32

V

Question 33

(v1, …,vp) : vecteurs non nuls d’un espace vectoriel V non nul de dimension finie.
F = (v1, …, vp)

si (v1, …, vp-1) est libre, alors ilen va de même pour F.

Answer 33

F

Question 34

(v1, …,vp) : vecteurs non nuls d’un espace vectoriel V non nul de dimension finie.
F = (v1, …, vp)

Si F est libre alors v’est une base de V.

Answer 34

F

Question 35

(v1, …,vp) : vecteurs non nuls d’un espace vectoriel V non nul de dimension finie.
F = (v1, …, vp)

Si vectF = V alors on peut extraire de F une base de V.

Answer 35

V

Question 36

Si dimV = p et vectF = V, alors F est forcément libre.

Answer 36

V

Question 37

Un plan de R3 est un sous-espace vectoriel de dimension 2.

Answer 37

F

Question 38

Les colonnes non pivots d’une matrice sont toujours linéairement dépendantes.

Answer 38

F

Question 39

Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice A peuvent modifier les relations de dépendance linéaire entre les lignes de la matrice.

Answer 39

V

Question 40

Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice peuvent modifier son noyau.

Answer 40

F

Question 41

Le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes non nulles de cette matrice.

Answer 41

F

Question 42

Si A est une matrice m*n équivalente selon les lignes à une matrice échelonnée U et si U a k lignes non nulles, alors l’espace des solutions de l’équation Ax = 0 est de dimension m - k.

Answer 42

F

Question 43

Si B se déduit de A pr une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, alors rgB = rgA

Answer 43

V

Question 44

Les lignes non nulles d’une matrice A forment une base de LignA.

Answer 44

F

Question 45

Si deux matrices A et B ont la même forme échelonnée réduite alors LignA = Lign B.

Answer 45

V

Question 46

Si H est un sous-espace vectoriel de R3, alors il existe une matrice A de type 3x3 telle que H = ImA.

Answer 46

V

Question 47

Si A est une matrice m*n et que rgA = m, alors l’application linéaire x–>Ax est injective.

Answer 47

F

Question 48

Une matrice de passage est toujours inversible.

Answer 48

V

Question 49

Si A est une matrice m*n et que l’application linéaire x–>Ax est surjective, alors rgA = m.

Answer 49

V

Question 50

Si B = (b1,…,bn) et C = (c1, …,cn) sont des bases d’un espace vectoriel V, alors la jème colonne de la matrice de passage P(C<–B) est égale à la colonne de composantes [cj]B.

Answer 50

F