Série 4 Flashcards
Une application linéaire T: Rn –> Rm est entièrement déterminée par son action sur les colonnes de la matrice unité n x n
Vrai
Une rotation autour de l’origine est une application linéaire
Vrai
Si l’on effectue deux transformation linéaire l’une après l’autre, le résultat final peut ne pas correspondre à une application linéaire
Faux
Une application T : Rn –> Rm est surjective si tout vecteur x de Rn a une image dans Rm
Faux
Si A est une matrice 3 x 2 alors l’application qui
x –> Ax ne peux pas être injective
Faux
Si A est une matrice 4 x 3, alors l’application qui q x –> Ax est surjective
Faux
Toute application linéaire de Rn dans Rm se ramène a une transformation matricielle
Vrai
Les colonnes de la matrice canoniquement associée a une application linéaire T: Rn –> Rm sont les images par T des colonnes de la matrice unité n x n
Vrai
Une application T :Rn –> Rm est injective, si tout vecteur de Rn est transformé par T en un unique vecteur de Rm
Faux
La matrice canoniquement associée a une transvection horizontale de R2 dans R2 est de la forme :
a 0
0 d
où a et d valent (+-) 1
Faux
Toute matrice est équivalente selon les lignes à une unique matrice échelonnée.
Faux
Tout système de n équations linéaires à n inconnues a au plus n solutions.
Faux
Si un système d’équations linéaires admet deux solutions distinctes, alors il admet une infinité de solutions.
Vrai
Tout système linéaire n’ayant aucune inconnue non principale a une unique solution.
Faux
Si l’on transforme une matrice complète [A b] en [C d] par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, alors les équations Ax = b et Cx = d ont exactement le même ensemble de solutions.
Vrai
Si le système Ax = b admet plusieurs solutions, alors il en est de même pour le système Ax = 0.
Vrai
Si A est une matrice (m x n) et qu’il existe un vecteur b tel que l’équation Ax = b soit compatible, alors les colonnes de A engendrent Rm
Faux
Si l’on peut transformer la matrice complète [A b] par une suite d’opérations élémentaires en une matrice échelonnée réduite, alors l’équation Ax = b est compatible.
Faux
Si les matrices A et B sont équivalentes selon les lignes, alors elles ont la même forme échelonnée réduite.
Vrai
L’équation Ax = 0 admet la solution triviale si et seulement si il n’existe pas d’inconnue non principale.
Faux
Si A est une matrice (m x n) et que l’équation Ax = b est compatible quel que soit b dans Rm, alors A possède m colonnes pivots.
Vrai
Si A est une matrice (m x n) dont chaque ligne contient une position de pivot, alors quel que soit b dans Rm, l’équation Ax = b admet une unique solution.
Faux
Si une matrice (n x n) admet n positions de pivot, alors la forme échelonnée réduite de A est la matrice unité (n x n).
Vrai
Si A et B sont deux matrices 3 x 3 ayant chacune trois positions de pivot, alors on peut transformer A en B par une suite d’opérations élémentaires.
Vrai
Soit A une matrice (m x n), si l’équation Ax = b admet au moins deux solutions distinctes et que l’équation Ax = c est compatible. alors l’équation Ax = c admet plusieurs solutions.
Vrai
Si A et B sont deux matrices (m x n) équivalentes selon les lignes et que les colonnes de A engendrent Rm, alors il en est de même des colonnes de B.
Vrai
Si les vecteurs d’une famille de trois vecteurs de R3 ne sont pas deux à deux colinéaires, alors cette famille est libre.
Faux
Si u, v et w sont linéairement indépendants, alors ils n’appartiennent pas à R2.
Vrai
II est possible dans certains cas que quatre vecteurs engendrent R5.
Faux
Si u et v sont deux vecteurs de Rm, alors -u appartient à Vect{u, v}.
Vrai
Si u, v et w sont des vecteurs non nuls de R2, alors w est combinaison linéaire de u et v.
Faux
Si w est combinaison linéaire de deux vecteurs u et v de Rn, alors u est combinaison linéaire de v et w.
Faux
Soit v1, v2 et v3 des vecteurs de R5, tels que v2 ne soit pas colinéaire à v1 ,et v3 ne soit pas combinaison linéaire de v1 et v2. Alors la famille (v1, v2, v3) est libre.
Faux
Une application linéaire est une fonction.
Vrai
Si A est une matrice 6 x 5, alors l’application linéaire x –> Ax ne peut pas être surjective.
Vrai
Si A est une matrice (m x n) admettant m colonnes pivots, alors l’application linéaire x –> Ax est injective.
Faux
Si A et B sont deux matrices 2 x 2 dont on note respectivement a1, a2 et b1, b2 les colonnes, alors le produit AB vaut AB =[a1b1 a2b2].
Faux
Les colonnes de AB sont les combinaisons linéaires des colonnes de B dont les coefficients sont les composantes correspondantes des colonnes de A.
Faux
AB + AC = A(B + C)
Vrai
(t)=transposée
A(t) + B(t) = (A + B)(t)
Vrai
La transposée d’un produit de matrices est le produit dans le même ordre de leurs transposées.
Faux
La première ligne de AB est celle obtenue en multipliant à droite la première ligne de A par B.
Vrai
Si A et B sont des matrices 3 x 3 et B = [b1 b2 b3], alors AB = [Ab1 + Ab2 + Ab3 ].
Faux
Si A est une matrice n x n, alors (A^2)(t) = (A(t))^2
Vrai
(ABC)(t) = C(t)A(t)B(t)
Faux
La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme de leurs transposées.
Vrai
