Série 4

Question 1

Une application linéaire T: Rn –> Rm est entièrement déterminée par son action sur les colonnes de la matrice unité n x n

Answer 1

Vrai

Question 2

Une rotation autour de l’origine est une application linéaire

Answer 2

Vrai

Question 3

Si l’on effectue deux transformation linéaire l’une après l’autre, le résultat final peut ne pas correspondre à une application linéaire

Answer 3

Faux

Question 4

Une application T : Rn –> Rm est surjective si tout vecteur x de Rn a une image dans Rm

Answer 4

Faux

Question 5

Si A est une matrice 3 x 2 alors l’application qui

x –> Ax ne peux pas être injective

Answer 5

Faux

Question 6

Si A est une matrice 4 x 3, alors l’application qui q x –> Ax est surjective

Answer 6

Faux

Question 7

Toute application linéaire de Rn dans Rm se ramène a une transformation matricielle

Answer 7

Vrai

Question 8

Les colonnes de la matrice canoniquement associée a une application linéaire T: Rn –> Rm sont les images par T des colonnes de la matrice unité n x n

Answer 8

Vrai

Question 9

Une application T :Rn –> Rm est injective, si tout vecteur de Rn est transformé par T en un unique vecteur de Rm

Answer 9

Faux

Question 10

La matrice canoniquement associée a une transvection horizontale de R2 dans R2 est de la forme :
a 0
0 d
où a et d valent (+-) 1

Answer 10

Faux

Question 11

Toute matrice est équivalente selon les lignes à une unique matrice échelonnée.

Answer 11

Faux

Question 12

Tout système de n équations linéaires à n inconnues a au plus n solutions.

Answer 12

Faux

Question 13

Si un système d’équations linéaires admet deux solutions distinctes, alors il admet une infinité de solutions.

Answer 13

Vrai

Question 14

Tout système linéaire n’ayant aucune inconnue non principale a une unique solution.

Answer 14

Faux

Question 15

Si l’on transforme une matrice complète [A b] en [C d] par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, alors les équations Ax = b et Cx = d ont exactement le même ensemble de solutions.

Answer 15

Vrai

Question 16

Si le système Ax = b admet plusieurs solutions, alors il en est de même pour le système Ax = 0.

Answer 16

Vrai

Question 17

Si A est une matrice (m x n) et qu’il existe un vecteur b tel que l’équation Ax = b soit compatible, alors les colonnes de A engendrent Rm

Answer 17

Faux

Question 18

Si l’on peut transformer la matrice complète [A b] par une suite d’opérations élémentaires en une matrice échelonnée réduite, alors l’équation Ax = b est compatible.

Answer 18

Faux

Question 19

Si les matrices A et B sont équivalentes selon les lignes, alors elles ont la même forme échelonnée réduite.

Answer 19

Vrai

Question 20

L’équation Ax = 0 admet la solution triviale si et seulement si il n’existe pas d’inconnue non principale.

Answer 20

Faux

Question 21

Si A est une matrice (m x n) et que l’équation Ax = b est compatible quel que soit b dans Rm, alors A possède m colonnes pivots.

Answer 21

Vrai

Question 22

Si A est une matrice (m x n) dont chaque ligne contient une position de pivot, alors quel que soit b dans Rm, l’équation Ax = b admet une unique solution.

Answer 22

Faux

Question 23

Si une matrice (n x n) admet n positions de pivot, alors la forme échelonnée réduite de A est la matrice unité (n x n).

Answer 23

Vrai

Question 24

Si A et B sont deux matrices 3 x 3 ayant chacune trois positions de pivot, alors on peut transformer A en B par une suite d’opérations élémentaires.

Answer 24

Vrai

Question 25

Soit A une matrice (m x n), si l’équation Ax = b admet au moins deux solutions distinctes et que l’équation Ax = c est compatible. alors l’équation Ax = c admet plusieurs solutions.

Answer 25

Vrai

Question 26

Si A et B sont deux matrices (m x n) équivalentes selon les lignes et que les colonnes de A engendrent Rm, alors il en est de même des colonnes de B.

Answer 26

Vrai

Question 27

Si les vecteurs d’une famille de trois vecteurs de R3 ne sont pas deux à deux colinéaires, alors cette famille est libre.

Answer 27

Faux

Question 28

Si u, v et w sont linéairement indépendants, alors ils n’appartiennent pas à R2.

Answer 28

Vrai

Question 29

II est possible dans certains cas que quatre vecteurs engendrent R5.

Answer 29

Faux

Question 30

Si u et v sont deux vecteurs de Rm, alors -u appartient à Vect{u, v}.

Answer 30

Vrai

Question 31

Si u, v et w sont des vecteurs non nuls de R2, alors w est combinaison linéaire de u et v.

Answer 31

Faux

Question 32

Si w est combinaison linéaire de deux vecteurs u et v de Rn, alors u est combinaison linéaire de v et w.

Answer 32

Faux

Question 33

Soit v1, v2 et v3 des vecteurs de R5, tels que v2 ne soit pas colinéaire à v1 ,et v3 ne soit pas combinaison linéaire de v1 et v2. Alors la famille (v1, v2, v3) est libre.

Answer 33

Faux

Question 34

Une application linéaire est une fonction.

Answer 34

Vrai

Question 35

Si A est une matrice 6 x 5, alors l’application linéaire x –> Ax ne peut pas être surjective.

Answer 35

Vrai

Question 36

Si A est une matrice (m x n) admettant m colonnes pivots, alors l’application linéaire x –> Ax est injective.

Answer 36

Faux

Question 37

Si A et B sont deux matrices 2 x 2 dont on note respectivement a1, a2 et b1, b2 les colonnes, alors le produit AB vaut AB =[a1b1 a2b2].

Answer 37

Faux

Question 38

Les colonnes de AB sont les combinaisons linéaires des colonnes de B dont les coefficients sont les composantes correspondantes des colonnes de A.

Answer 38

Faux

Question 39

AB + AC = A(B + C)

Answer 39

Vrai

Question 40

(t)=transposée

A(t) + B(t) = (A + B)(t)

Answer 40

Vrai

Question 41

La transposée d’un produit de matrices est le produit dans le même ordre de leurs transposées.

Answer 41

Faux

Question 42

La première ligne de AB est celle obtenue en multipliant à droite la première ligne de A par B.

Answer 42

Vrai

Question 43

Si A et B sont des matrices 3 x 3 et B = [b1 b2 b3], alors AB = [Ab1 + Ab2 + Ab3 ].

Answer 43

Faux

Question 44

Si A est une matrice n x n, alors (A^2)(t) = (A(t))^2

Answer 44

Vrai

Question 45

(ABC)(t) = C(t)A(t)B(t)

Answer 45

Faux

Question 46

La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme de leurs transposées.

Answer 46

Vrai