Kapitel 7: Kostenminimierung

Question 1

Grundannahmen Kostenminimierung

Answer 1

• Wir nehmen an, dass Unternehmen ihre Gewinne maximieren wollen.
• Gewinne sind definiert als Erlöse minus Kosten (Unternehmen sind gleichermaßen Anbieter und Nachfrager).
• Kosten resultieren aus dem Einkauf von Inputs; diese werden mit Marktpreisen bewertet (Annahme: Wettbewerbsmärkte, d.h. “Preisnehmerverhalten”).
• Dies gilt auch für Inputs, die sich bereits im Besitz des Unternehmens befinden. Inputs könnten auf dem Markt verkauft werden, so dass die Verwendung in der Produktion Opportunitätskosten in Höhe der Marktpreise darstellt.
2

Question 2

Inputs

Answer 2

j=1,…,m

Question 3

Produkte

Answer 3

i = 1,…,n

Question 4

Outputpreis

Answer 4

pi

Question 5

Inputpreis

Answer 5

wi

Question 6

Die Gewinne ergeben sich mit der Formel:

Answer 6

Summe(i=1 bis n)piyi-Summe(j=1 bis m)wjxj

Question 7

Das Gewinnmaximierungsproblem

Answer 7

Gewinn wird unter der Bedingung der Produktionsfunktion maximiert
• Letztere hängt davon ab, ob wir eine kurzfristige oder langfristige Situation betrachten.

• Das Gewinnmaximierungsproblem wird häufig in zwei Schritte zerlegt: • Schritt 1: Minimierung der Kosten bei vorgegebenem Outputniveau.

min(x1,x2)w1x1 + w2x2 u.d.N. f(x1,x2) = y

• Die Lösung des Optimierungsproblems gibt (für gegebene Inputpreise) die bedingten Faktornachfragefunktionen x1(y) und x2(y) sowie - eingesetzt in die Zielfunktion - die Kostenfunktion c(y), welche die geringsten Kosten zur Produktion von y angibt.
• Schritt 2: Maximierung des Gewinns über alle Outputniveaus. max y py−c(y)
• Beachte: die Lösung des ersten Schrittes ist unabhängig von der Marktform auf dem Outputmarkt.
• wenn man sich weniger für die Faktornachfrage interessiert, wird oftmals auch der erste Schritt weggelassen, und man beginnt direkt mit der Kostenfunktion.

Question 8

Isokostengerade

Answer 8

beschreibt bei gegebenen w1 und w2 alle Inputkombinationen, die ein bestimmtes Kostenniveau c aufweisen:

w1x1 + w2x2 = c

x2 = −w1 /w2*x1 +c/w2

• Der Anstieg der Isokostengerade ist − w1 /w2

Question 9

Bedingung für die kostenminimale Inputkombination bei gegebenen y

Answer 9

-w1/w2=TRS=-MP1/MP2 in(x1,x2)

• Für jedes y und Inputpreise w1 und w2 erhalten wir somit das kostenminimierende Inputbündel
(x1(w1,w2,y),x2(w1,w2,y))

• Die Kostenfunktion lautet dann: c(w1,w2,y) = w1x1(w1,w2,y) + w2x2(w1,w2,y)
…oder für gegebene Inputpreise w1 und w2 schlicht c(y).

Question 10

perfekte Substitute (Kostenminimierung-langfristig)

Answer 10

Wenn f(x1,x2) = x1 + x2 (perfekte Substitute), dann gilt: c(w1,w2,y) = min{w1,w2}·y.

Question 11

perfekte Komplemente (Kostenminimierung-langfristig)

Answer 11

• Wenn f(x1,x2) = min{x1,x2 } (perfekte Komplemente), dann gilt: c(w1,w2,y) = (w1 + w2)·y.

Question 12

kurzfristiges Kostenminimierungsproblem

Answer 12

min x1
w1x1 + w2x2(fest) u.d.N.f(x1,x2(fest)) = y

• Die kurzfristigen Kosten übersteigen die langfristigen Kosten außer für das Outputniveau, bei dem die kurzfristige Inputbeschränkung genau der langfristigen Wahl des Inputniveaus entspricht.
• D.h., die langfristige Kostenkurve hat mit jeder kurzfristigen Kostenkurve immer einen Punkt gemeinsam, sonst verläuft die kurzfristige Kostenkurve oberhalb der langfristigen Kostenkurve

Question 13

Durchschnittskosten (average cost)

Answer 13

AC(y) =c(y)/ y (für y > 0)

• Die Eigenschaften der Skalenerträge einer Technologie bestimmen, wie sich die Durchschnittskosten mit dem Outputniveau verändern.

• Besitzt eine Technologie konstante Skalenerträge, so werden bei einer Verdoppelung des Outputs von y auf 2y auch alle Inputmengen verdoppelt.
⇒Die Gesamtkosten werden verdoppelt.
⇒Die Durchschnittskosten ändern sich nicht

• Besitzt eine Technologie fallende Skalenerträge, so werden bei einer Verdoppelung des Outputs von y auf 2y mehr als doppelt so viel von jedem Input benötigt.

⇒Die Gesamtkosten sind mehr als doppelt so groß.
⇒Die Durchschnittskosten steigen
.
• Besitzt eine Technologie steigende Skalenerträge, so werden bei einer Verdoppelung des Outputs von y auf 2y weniger als doppelt so viel von jedem Faktor benötigt.

⇒Die Gesamtkosten sind geringer als das Doppelte der ursprünglichen Gesamtkosten.
⇒Die Durchschnittskosten sinken.

Bei der Kostenfunktion einfach prüfen c(y)/y und c(2y)/2y
wenn Steigung von 2 größer, dann fallende Skalenerträge etc.

Question 14

Fixe, variable und Gesamtkosten

Answer 14

• c(y) umfasst die gesamten Kosten aller Inputs, fixe und variable, bei der Produktion von y Outputeinheiten; es gilt also:
c(y) = F + cv(y)

• cv(y) sind die variablen Kosten.
• F bezeichnet die fixen Kosten.

Question 15

DurchschnittsGesamtkosten

Answer 15

AC(y) = AFC(y) + AV C(y) =F/ y+cv(y)/ y

mit: AC = average cost, AVC = average variable cost, AFC = average fixed cost

Question 16

Grenzkosten (MC)

Answer 16

marginal Costs

MC(y) =∂c(y)/ ∂y = ∂cv(y)/ ∂y

• MC ist die Steigung der variablen Kostenfunktion und der Gesamtkostenfunktion. In welchem Verhältnis steht die
• Intuitiv: Die Grenzkostenkurve misst die Kosten einer zusätzlichen Einheit - addiert man alle diese zusätzlichen Kosten auf, erhält man die gesamten variablen Kosten.
• Die MC-Kurve schneidet die AVC-Kurve von unten im Minimum der AVC-Kurve.
• In gleicher Weise schneidet sie die AC-Kurve von unten in ihrem Minimum.
• Intuition: Einen Durchschnitt drückt man, in dem man Zahlen hinzuzählt, die kleiner sind als der Durchschnitt

• Mathematisch: ∂(c(y)/y)/ ∂y=
(c’(y)·y−c(y))/ y^2< 0 ⇐⇒
c’(y) < c(y)/y

Question 17

Zusammenfassung AFC/AVC/AC/MC

Answer 17

• AFC sinken immer mit dem Output, AVC steigen typischerweise (ab einem Punkt). Daher ist die AC-Kurve U-förmig.
• Die MC-Kurve liegt unterhalb der AC-Kurve, wenn die AC sinken, und oberhalb, wenn sie steigen. MC sind gleich den AC im Punkt der minimalen AC.
• Die Fläche unterhalb der MC-Kurve misst die Variablen Kosten