Kapitel 6: Technologie Flashcards
Ein Unternehmen
- ist eine Organisation, die in einem Produktionsprozess Inputs (Produktionsfaktoren) in Outputs umwandelt.
- maximiert den Gewinn, gegeben (die Preise und) die technologischen Beschränkungen.
- Typische Inputs sind Arbeit, Land, Rohstoffe, Kapital (z.B. Gebäude, Maschinen).
- Outputs können sowohl Dienstleistungen (z.B. Haarschnitt, Beratung, Vermittlung) als auch physische Produkte (z.B. Autos, Bekleidung, Möbel, technische Geräte) sein.
Eine (Produktions-)Technologie
-beschreibt, welche Kombinationen von Inputs und Outputs realisierbar sind.
Ein Inputbündel
ist ein Vektor mit Inputmengen: (x1,x2,…, xn)
• y gibt die Outputmenge an.
Produktionsfunktion
y = f(x1,…,xn)
-Dabei gibt die Produktionsfunktion f die maximal mögliche Outputmenge y an, die sich mit dem Inputbündel x erzielen lässt
y y-achse und Input x- achse
Ein Produktionsplan (x1,x2,…, xn;y) ist realisierbar, falls
y ≤ f(x1,…,xn)
Technologie - Grenzprodukt
• Das Grenzprodukt gibt an, wie sich die Outputmenge verändert, wenn man die Menge eines Inputfaktors marginal verändert, wobei alle anderen Inputmengen konstant gehalten werden.
MPi = ∂y/ ∂xi
Ein Unternehmen hat zwei Inputs:
– Arbeit (L)
– Kapital (K)
Isoquanten
stellen die Menge aller möglichen Inputkombinationen dar, mit denen die gleiche Menge an Output hergestellt werden kann.
- Bei jedem Niveau von K(L) steigt die Produktion, wenn L(K) erhöht wird.
- Mit verschiedenen Kombinationen von Inputs wird der gleiche Output produziert.
Cobb-Douglas Produktionsfunktion
y = A·x1^a1 ·x2^a2 ·…·xn^an
• Beachte: Produktionsfunktionen beschreiben reale Produktionsprozesse und lassen sich nicht transformieren.
Alle Isoquanten sind zu den Achsen asymptotisch verlaufende Hyperbeln
Die Produktionsfunktion einer Technologie mit konstanten Proportionen
y = min{a1 ·x1,a2 ·x2,…,an ·xn} sieht aus wie bei Komplementen
Produktionsfunktion für perfekte Substitute hat die Form
y = a1 ·x1 + a2 ·x2 + … + an ·xn
alle Isoquanten sind linear und parallel
Technische Rate der Substitution
Die Steigung der Isoquante ist die technische Rate der Substitution (TRS).
Die Steigung gibt an, um wie viel die Menge von Input 2 verringert werden kann, wenn bei marginal steigender Menge von Input 1, der Output konstant gehalten werden soll.
• Das Grenzprodukt des Faktors i ist die Veränderung der Outputmenge, wenn wir die Menge des Faktors i marginal verändern, wobei alle anderen Inputmengen konstant gehalten werden: MPi = ∂y/ ∂xi
• Bei zwei Inputs gilt der Zusammenhang:
TRS =dx2 /dx1= −MP1/ MP2
Bsp:y = f(x1,x2) = x1^a*x2^b
TRS=−ax2/ bx1
‚Normale ‘ Eigenschaften der Technologie
Monotonie
• Monotonie: Mehr Input ergibt mehr Output (MPi > 0).
‚Normale ‘ Eigenschaften der Technologie
Gesetz vom „abnehmenden Grenzprodukt“
• Das Grenzprodukt des Faktors i nimmt ab, je mehr von diesem Faktor eingesetzt wird (bei Konstanz aller anderen Inputs):
∂MPi/ ∂xi=∂/∂xi*(∂y/ ∂xi)= ∂y^2/ ∂xi^2< 0
‚Normale ‘ Eigenschaften der Technologie
Konvexität
Durchschnitte produzieren mehr als Extrema.
• Wenn aus den Inputbündeln x’ und x’’ jeweils y Outputeinheiten hergestellt werden können, so kann aus ihrem gewogenen Durchschnitt, t·x0 + (1−t)·x00 mit 0 < t < 1, mindestens die gleiche Outputmenge y produziert werden.
impliziert, dass die TRS weniger negativ wird, je größer der Input x1
Skalenerträge
• Das Grenzprodukt beschreibt die Veränderung der Outputmenge, wenn die Inputmenge eines Faktors verändert wird.
• Skalenerträge beschreiben die Veränderung der Outputmenge, wenn wir die Mengen aller Inputfaktoren proportional verändern (z.B. alle Inputmengen werden verdoppelt oder halbiert).
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konstante Skalenerträge
• Gilt für ein Inputbündel (x1,…,xn) und alle k > 0:
f(k·x1,k·x2,…,k·xn) = k·f(x1,…,xn)
dann sagen wir, dass die Technologie mit der Produktionsfunktion f konstante Skalenerträge aufweist.
• z.B. k = 2: Verdopplung aller Inputmengen ergibt die doppelte Outputmenge.
fallende Skalenerträge
• Gilt für ein Inputbündel (x1,…,xn) und alle k > 1:
f(k·x1,k·x2,…,k·xn) < k·f(x1,…,xn)
dann sagen wir, dass die Technologie mit der Produktionsfunktion f fallende Skalenerträge aufweist.
• z.B. k = 2: Verdopplung aller Inputmengen ergibt weniger als die doppelte Outputmenge.
steigende Skalenerträge
• Gilt für ein Inputbündel (x1,…,xn) und alle k > 1:
f(k·x1,k·x2,…,k·xn) > k·f(x1,…,xn)
dann sagen wir, dass die Technologie mit der Produktionsfunktion f steigende Skalenerträge aufweist.
• z.B. k = 2: Verdopplung aller Inputmengen ergibt mehr als die doppelte Outputmenge.
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Cobb-Douglas Skalenerträge
• Die Skalenerträge einer Cobb-Douglas Technologie sind
konstant, wenn a1 + … + an = 1
steigend, wenn a1 + … + an > 1
fallend, wenn a1 + … + an < 1
Langfristig und kurzfristig
- Langfristig können alle Produktionsfaktoren variiert werden.
- Kurzfristig können Inputfaktoren fix sein.
- Die langfristige Produktionsfunktion lautet
y = x1^(1/3)*x2^(1/3)
• Kurzfristig lautet die Produktionsfunktion bei x2(fix) = 1:
y = x1^(1/3)*1^(1/3)= x1^(1/3)
• Kurzfristig lautet die Produktionsfunktion bei x2(fix) = 8:
y = x1^(1/3)* 8^(1/3)= 2x^(1/3)
