Elektrosztatika

Question 1

Elektromos töltések?

• Elektromos töltések közötti kölcsönhatás kvalitatív jellemzői?

Answer 1

Azt jelenti, hogy milyen mértékben vesznek részt a kcsh.-ban, elektromosan aktív testekre jellemző.

— azonos töltések taszítják, különbözőek vonzzák egymást
— a távolság növelésével gyengül

Question 2

COULOMB-TÖRVÉNY

• Kvantitatív jellemzők?
• Szuperpozíció elve? (Azaz mi van, ha több test van?)

Answer 2

Az egymáshoz képest nyugvó töltött testek között ható erő mennyiségi megfogalmazása.

F(2,1) =[1/(4πε0)][q1q2/r^2]*[r/r],
ahol r = r1 — r2, ε0 pedig a vákuum permittivitása.

— Két test öszekötő vonalában hat.
— A töltésekkel egyenesen arányos.
— A távolság 1/r^2-tel arányos.

• Egy kicsi töltött testre ható ereő erő a kéttest-kcsh.-ok Coulomb-erőinek vektoriális eredője.
F(i) = ΣF(ij) = q(i)[1/(4πε0)]Σ(j)[q(j)(r_i — r_j)/|r_i–r_j|^3] = q(i)E(r_i), ahol i ≠ j (mert ott nem lenne értelmes, F_ii = 0)
Annak a következménye, hogy mindig csak két test között lép fel egyszerre erő, ami meg a Maxwell-egyenletek linearitása miatt van.

Question 3

ELEKTROMOS TÉRERŐSSÉG

• Jellemzők?
• Miért érdemes bevezetni?

Answer 3

Az egységnyi töltésre ható erő.
E(r) = F(r)/q = Σ(j,j≠i) q_i*(r_i–r_j)/|r_i–r_j|^3

— az r pontba helyezett q töltés q*E(r) nagyságú erőt “érezne” (itt a töltés odahelyezése ne változtassa meg a térszerkezetet ofc)
— nem értelmezhető a töltések helyén (itt divergál)

• Mert az absztrakt képletek sokkal egyszerűbbek.

Question 4

GAUSS-TÖRVÉNY

• Levezetés?
• Következmény?
• Elektromos fluxus?

Answer 4

Bármely zárt felület esetén, amelyen belül bárhol q(belső) töltés van: ∯ E dA = q(belső)/ε0.

• Kiindulás: az E 1/r^2-tel változik, egy pontot körülvevő gömb r^2-tel növekedik —> Efelület = töltés.
E-nek van iránya, így a felületnek is kell (hogy skalárszorzat legyen). Elemi felület mindig sík, így a hozzárendelt vektor rá merőleges, nagysága a felület nagysága, így képezhető: ∫E df = [1/(4πε0)](q/r^2)*4πr^2 = q/ε0
Ez krumplira is igaz. Zárt felületre: ∮E df = q/ε0, ahol q a felület valamilyen függvénye, azaz a felületen belül lévő összes töltés összege (ez a szuperpozíció elve miatt működik).
• Tehát nem igazán van szükség a fluxus használatára.
• Az adott felületet metsző erővonalak száma.
Θ = ∫(felületre)E dA
[Θ] = Nm^2/C

Question 5

EARNSHAW TÉTELE

• Lehet egy töltés egyensúlyban más töltések elektrosztatikus terében?
• Lehet stabil az egyensúly?

Answer 5

Egy elektromosan töltött tömegpontokból álló rendszer nem lehet stabil sztatikus egyensúlyi helyzetben a Coulomb-erő hatására.

• Ja, ha az elektromos térerősség abban a pontban nulla.
• Nem, mert Earnshaw tétele azt mondja.

Question 6

Töltés mozgatása zárt hurkon?

• Az elektrosztatika alapegyenletei? Differenciális alakok?

Answer 6

E = ∮ F ds = 0, ha az erő konzervatív, ezért az elektromos tér konzervatív erőtér, azért a végzett munkának nullának kell lennie és így nem lehet energiát kitermelni az elektrosztatikus térből.
q* ∮(zárt hurok)E(r) dr = 0 —> ∮(zárt hurok)E(r) dr = 0

• ∯(zárt felület) E dr = q/ε0 —> divE = ρ/ε0
∮(zárt hurok)E(r) dr = 0 —> rotE = 0
Ezekből lehet meghatározni az E-t.

Question 7

Elektromos mező ábrázolása erővonalakkal?

Answer 7

— Minden töltésből a töltésekkel arányos számú erővonal lép ki.
— Az erővonalak folytonosak (pozitívból indulnak, negatívba érkeznek).
— Erővonalak nem képeznek hurkot.
— A térerősség iránya az erővonalak érintője, nagysága az erővonalak sűrűsége.

Question 8

ELEKTROMOS POTENCIÁLIS ENERGIA

• Elektromos potenciál?
• Poisson-egyenlet?
• Potenciál ábrázolása?
• Ekvipotenciális felületek?

Answer 8

A konzervatív erő által végzett munka ellentétes előjellel.
F = –gradU —> ΔU = –∫q*E dl

• Potenciális energia leosztva a töltés nagyságával, hogy attól ne függjön, és magára az erőtérre legyen jellemző.
∮E dr = 0 —> ∫E dr = V1 – V2 —> –∫(r0,r) E dr = V(r) – V(r0) —> E = – gradV, azaz a térerősség a potenciál negatív gradiense.
ΔV = –∫E dl, így a negatív előjel miatt az erővonalak mindig a csökkenő potenciál irányába mutatnak.
• Behelyettesítve a differenciális cuccokba: –div(gradV) = ρ/ε0 —> ΔV = –ρ/ε0
• insert ábra here
• Olyan felületek, ahol a potenciál mindenhol ugyanakkora – ezek merőlegesek a térerősség-vonalakra; gradV*dr = 0
(Ideális vezető felszíne ilyen.)

Question 9

Mit csinál az elektrosztatika?

Answer 9

A nyugvó töltések közötti kölcsönhatásokat vizsgálja.

Question 10

MONOPÓL

• Potenciál? Térerősség?

Answer 10

Olyan töltéselrendezés, ahol a térben egyetlen q töltés van.

• U(r) = 1/(4πε0)q/r
E(r) = 1/(4πε0)q/r^2, mert at ekvipotenciális felületek gömbök.

Question 11

DIPÓL

• Potenciál?
• Dipólmomentum?
• Térerősség?
• Főhelyzetek?
• A tér hatása a dipólra?

Answer 11

• A monopólus “kikompenzálódik” egy ellentétes töltéssel:
U(r) = 1/(4πε0)q/|r–l| – 1/(4πε0)q/|r| ≈ 1/(4πε0)q/|r| + 1/(4πε0)q* grad(1/r)(–l) – 1/(4πε0)q/|r| = 1/(4πε0)qrl/r^3 = 1/(4πε0)pr/r^3 = U(r)
• p = ql, azért lett bevezetve, mert ez mérhető, amikor l nem.
• E = 1/(4πε0)[3(pr)r–pr^3]/r^5 ~ 1/r^3
• A térerősség függ az iránytól, és két fontos főhelyzete van a dipólt körülvevő térben:
1. főhelyzet: r és p párhuzamosak —> |E| = 1/(4πε0)2p/r^3
2. főhelyzet: r és p merőlegesek —> |E| = 1/(4πε0)p/r^3
• Forgatónyomaték hat rá: úgy fogbeállni, hogy párhuzamos legyen a külső térrel. Homogén tér esetén: M = p x E. Inhomogén ér esetén erő is hat rá: F = pgradE, ami nem biztos, hogy szimmetrikus mátrix.