Derivatan av Exponentialfunktioner 2.3 Flashcards
Exponential funktion formel:
f(x) = C × a^x
C = skär i y-axeln (konstant)
a = förändringsfaktor
Är derivatan positiv eller negativ för alla x?
f(x) = 10 × 1.2^x
a > 1 dvs växande
Svar: f’(x) > 0 för alla x
Är derivatan positiv eller negativ för alla x?
f(x) = 10 × 0.6^x
a < 1 dvs avtagande
g’(x) < 0 för alla x
Vad är förändringsfaktorn i funktionerna:
a) f(x) = 500 * 1.05^x
b) f(x) = 3^2x
a) 1.05 är förändringsfaktorn dvs. ökning på 5%
b) 9 är förändringsfaktorn dvs. ökning på 800%
3^2x = 9^x
Vad är talet e och vad gäller för f(x) = e^x?
e = ungefär 2,718
f(x) = e^x
f(x)´= e^x
(lutningen är samma som y-värdet)
a) Derivera f(x) = e^kx
b) Derivera f(x) = e^2x
a) f´(x) = k * e^kx
Konstanten från exponenten flyttas ner och multipliceras med talet e. Exponenten stannar.
b) 2 * e^2x
Räkna ut om f(x) = 2:
a) f (x) ´= 2x^3 (x som bas)
b) f (x) ´= e^3x (x som exponent)
a) 2 * 3 * 2 ^2 = 24
b) 3 * e^3*2 = 3 * e^6 = 1210
Derivera:
g(x) = e^2 - e^-x
Svar: e^-x
e^2 = konstant = 0
0 - e^-x = -1 * -e^-x = e^-x
Lös e^x = 6 grafiskt:
x = ungefär 1.79
Naturlig logaritmen och vad gäller för y:
Basen e och förkortas In
y = e^x <=> x = In y
Logaritmlagen In x^p = ?
In x^p = p * In x
Derivatan av a (naturlig logaritm)
a) f(x) = a^x
b) f(x) = a^kx
a) f’(x) = a^x * ln a
b) f’(x) = a^kx * k * ln a
Räkna ut derivatan av:
a) y = e^5x
b) y = 4 * e^-0.2x
c) y = 5 * 2^x
a) y’ = e^5x * 5 = 5e^5x
b) y’ = -0.8e^-0.2x
c) y’ = 5 * 2^x * ln 2
