Ändringskvoter och derivata 2.1 Flashcards
Hur beräknas genomsnittliga förändringshastigheten för en funktion y = f(x)
Δy/ Δx
(förändring i y-led / förändring i x-led)
y = förändringens storlek
x = intervallets storlek
Kvoten Δy/ Δx kallas för?
ändringskvot/ differenskvot
(kan ses som k-värde = lutningen på en sekant till kurvan)
Begreppet derivatan av funktionen?
Derivatan av funktionen y =f(x) i punkten där x = a, kan tolkas som lutnigen av kurvans tangent i punkten.
Hur skrivs derivatans värde?
f´(a)
Bestämma förändringshastigheten vid en bestämd tidpunkt?
- Dra en tangent till grafens kurva där punkten är x = a
- Bestäm tangentens lutning (Δy/ Δx)
- Svaret = Derivatans värde
Skillnaden mellan tangents lutning och en sekants lutning?
- Tangents lutning = förändringshastigheten vid specifik tidpunkt
- Sekants lutning = genomsnittliga förändringshastigheten
Hur uttalas f´(0) och vad betyder det?
- “f prim av 0”.
- f´(0) = derivatan är 0
Snödjupet förändras enligt funktionen f. Vad innebär när f´ (Derivatan) är:
a) positiv
b) negativ
c) noll
a) Det blir mer snö (Derivatan är positiv = lutningen är positiv)
b) Snön minskar i mängd (derivatan är negativ)
c) Snö mängden är oförändrad (ingen lutning)
Vad är differenskvot framåt (numerisk derivering)?
Differenskvoten för en sekant i ett intervall runt aktuell punkt beräknas. Svaret blir ett närmevärde av derivatans värde i punkten.
Beräkna f´(2) utifrån punkterna:
(2.1) och (2)
f(x) = √x
f(2.1) - f(2)/ 2.1 - 2 (f(x) = √x)
√2.1 - √2/ 0.1 = ungefär 0.35
f´(2) = ungefär 0.35
Hur använder man central differenskvot:
En punkt till höger och till vänster om aktuell punkt. Räkna ut sekantens lutning.
Räkna ut f´(2) med central differenskvot:
f(x) = √x
f(2.1) - f(1.9)/ 2.1 - 1.9=
√2.1-√1.9/ 0.2 = ungefär 0.35
Svar: f´(2) = ungefär 0.35
Räkna ut derivatans definition:
a) f´(2) om f(x) = x^2
b) f´(2) om f(x) x^2 + k
c) Hur påverkas derivatan om en konstant adderas?
a) 4
b) 4
c) Inget, för att derivatan av en konstant = 0
