chapitre 2 polaire et exponentielle Flashcards
qu’elle nombre complexe n’a pas d’arguments défini
le 0
comment est décrit z de manière polaire
z = r(cos# +isin#)
qu’es ce que l’argument d’un nombre complexe
c’est son angle (#)
x=______
et y=______
en polaire
x = rcos#
y = rsin#
les angles peuvent etre de ______ à ____
-pi à pi
comment on passe de la forme cartésienne à la forme polaire
1 calcul du r
2 calcul des #
truc: les angles sont remarcable donc simplement faire un sin/cos/tan
comment passer de polaire à cartésien
1 calculer les angles
2 multiplier avec le rayon
comment faire une multiplication de nombre polaire
r1*r2 (cos #1+#2 + isin#1+#2)
comment démontrer la multiplication
1 multipli comme normale et regroupe les r
2 multipli les parenthese des cos/sin
3 les trigo = cos(#1+#2)
4 les i*trigo= isin(#1+#2)
la formule pour z^5
r^5 (cos(5#)+isin(5#)
qu’es ce que la formule de De moivre
si j’ai mais 2 identité trigo a une puissance la puissance ce multiplis avec les angles
elle n’est possible que dans l’imaginaire
comment déifinr le conjugé d’polaire
l’angle change d esigne
quand on divise un nombre imaginaire qu’es ce que ca va donner
1 onva multiplier pas sont conjugé en haut et en bas
2 = z¯ / |z|^2
si j’aplique la règle de division sur un polaire
1/r [cos(-#) + isin(-#)]
si je divise 2 nombre polaire que va t’il arriver
Les r vont se diviser et les # vont se soustraire
comment s’écrit la racine d’un nombre complex
Z^n=W
ou la racine est Z et w le nombre que l’on connait
qu’elle sont les 2 racine carré de -1
Z^2=-1
z1=i
z2=-i
qu’elle formule pour la racine du rayon du complex
r=n racine(a)
qu’elle formule pour l’angle# lors d’une racine d’un complex
= a/n + 2kpi/n
combien y a-t’il de racine cubique pour un nombre complex
3
Calcule # de 1+iracine(3)
si je prend racine(3)/r
rac(3)/2
egal au sin de l’angle r/3
de -2-2rac(3)i
le rayon est =rac(16)=4
sin# = -2rac(3)/4
= -racine(3)/2
ce qui est le sin de -2pi/3
si on a déja une des racines qu’es ce que fait pour avoir les autres racines
2pi/n
quel nombre complex peut on multiplier pour avoir d’autre racines à partir d’une
W = cos(2pi/n) + isin(2pi/n)
le rayon n’augmentera pas mais les angles vont s’additionner
e^ix =______
cos(x)+isin(x)
qu’est ce que la formule d’euler et comment l’avoir
e^ipi + 1 = 0
cos(pi) = -1
lorsque raporter a gauche =+1
e^ix barre =
e^-ix
|5e^ix|=
5
e^ix1 * e^ix2 =
e^i(x1+x2)
e^ix1 / e^ix2 =
e^i(x1-x2)
(re^ix)^2 =
r^2 * e^i2x
comment trouver la racine d’un nombre en exponentielle
Nracine(r) * e^i(#+2pi*k/N)
montre que |2z¬+5|=|2z¬+5|
l’inverse d’une norme est égal
(|2z¬+5|)¬
on distribue et tout les nombre reste semblable
|2z¬¬+5|
|2z+5|
calcul |3+4i|/|3-4i|
1
comment calculer l’angle de rotation nécessaire pour arriver de z1 à z2
utilisé z1*e^i# = z2
isoler e^i#
prendre les arg()
et on trouve l’ancgle
trouve les 0 de z^4=z^2 comment faire
z^4-z^2=0
z^2(z^2-1)=0
z^2=0
z^2=1 donc 1 et -1
trouve les 0 de |z^4|=|z^2| comment faire
|z^2|(|z^2|-1)=0
|z^2|=0
|z^2|=1 donc
|z|=1 ce qui est le cercle unitaire
trouve les 0 de z¬^4=z^2 comment faire
|z¬^2|(|z^2|-1)=0
dans une norme les barres servent a rien
|z^2|(|z^2|-1)=0
|z|=0 et il faut revenir en expo pour le =1
e^-4#i = e^2#i
1=e^6#i
e^0+2pik i=e^6#i
arg()
0+2pi = 6#
par la suite on trouve les 6 racines
quel sont les formules d’euler pour les cos et sin
cos = (e^xi + e^-xi )/2
sin =(e^xi - e^-xi )/2i
que représente
Re(1/z) = 1/R
transformer le 1/z
prendre le réelle
x/(x^2+y^2) = 1/R
inversé et envoyé le x a droite et puis on fait =0
x^2-xR+y^2=0
on fait la complession
(x-R/2)^2+y^2=(R/2)^2
donc un cercle
définie exp(z)
e^x * e^iy
1 le rayon
y l’angle
(e^z)barre = a quoi
e^z¬
|e^z|=
e^x
cos# en expo
(e^i# + e^-i#)/2
sin# en expo
(e^i# - e^-i#)/2
comment obtenir la définition d’un cos et sin en exponentielle
cos prendre les e^i# + e^-i# = _______
va s’annuler puis on envoi le 2 de l’autre coté
pour le sin on -
