8 Rozdělení pravděpodobnosti, L-S míra a integrál

Question 1

Rozdělení pravděpodobnosti

Answer 1

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X je zobrazení Px: Borel -> [0,1], dané předpisem Px(B) = P(X in B) = P(X-1(B)) = P({w z Omega: X(w) náleží B}) pro B z Borel.

(R, B, Px) tvoří pravděpodobnostní prostor na R.

Question 2

Distribuční funkce

Answer 2

Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce Fx: R -> [0,1], daná předpisem Fx(x) = Px((-nekonečno, x]) = P(X <= x) = P({w z Omega: X(w) <= x}) pro x z R.

Question 3

Věta o přenosu integrace

Answer 3

Nechť X je náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) a h je borelovsky měřitelná funkce. Potom platí Ep(h(X)) = I_Omega(h(x) dP) = I_R(h(x) dPx) = EPx(h), pokud alespoň jedna střední hodnota existuje.

Question 4

Důsledky věty o přenosu integrace

Answer 4

• Pokud pro náhodné veličiny X a Y platí E(h(X)) = E(h(Y)), pak Px = Py pro všechny h.
• Nechť P(X=Y) = 1. Potom platí E(h(X)) = E(h(Y)) pro všechny h.
• Nechť Pn je posloupnost rozdělení na (R,B). Potom existuje pravděpodobnostní prostor (Omega, A, P) a na něm posloupnost náhodných veličin Xn taková, že PXn = Pn

Question 5

Degenerované rozdělení pravděpodobnosti

Answer 5

Uvažujme náhodnou veličinu X, P(X = c) = 1 pro nějaké pevně zvolené c. Rozdělení pravděpodobnosti Px nazýváme degenerované v bodě c, a značíme Px = deltac

Platí Px(B) = deltac(B) = IB(c) pro B z Borel
Ep(h(x)) = Epx(h) = I_R(h(x) ddeltac) = h(c)

Question 6

Konvexní kombinace rozdělení pravděpodobnosti

Answer 6

Nechť PX1, PX2, … je nejvýše spočetná posloupnost rozdělení a a1, a2, … >= 0 nezáporné konstanty. Potom pro Px = Suma an * PXn a libovolnou borelovsky měřitelnou h platí I_R(h dPx) = Suma an * I_R(h dPXn). Pokud navíc Suma an = 1, je Px rozdělení pravděpodobnosti a platí EPx(h) = Suma an * EPXn(h)

Question 7

Hustota pravděpodobnosti

Answer 7

Pro libovolnou borelovsky měřitelnou funkci f s vlastnostmi f(x) >= 0, I_R(f(x) dlambda(x)) = 1, definujeme PX(B) = I_R(f(x) IB(x) dlambda(x)) pro B z Borel, jako rozdělení pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny X. Funkce f se nazývá hustota pravděpodobnosti.

Zkráceně píšeme PX(B) = I_B(f dlambda), dPx = f dlambda, f = dPx/dlambda (je R-N derivací vzhledem k lambda)

Platí EP(x)(h) = I_R(h dPx) = I_R(f(x) h(x) dlambda(x))

Question 8

Lebesgueova-Stieltjesova míra

Answer 8

Nechť F: R->R je neklesající zprava spojitá funkce a J je systém intervalů. Potom množinová funkce miF: J->R definovaná miF((a,b]) = F(b) - F(a) je sigma aditivní.
Tato míra je L-S míra a je právě jen jedna.

Question 9

Lebesgueův-Stieltjesův integrál

Answer 9

Integrál I_R(h dmiF) se nazývá L-S integrál funkce h vzhledem k funkci F a označuje se obvykle I_R(h(x) dF(x)). Pro B in Borel definujeme I_B(h(x) dF(x)) = I_B(h dmiF) = I_R(h(x) * IB(x) dmiF(x))