2 Věta o rozšíření, konstrukce rovnoměrného rozdělení

Question 1

Algebra

Answer 1

Množina podmnožin je algebra, pokud je neprázdná, uzavřená na doplňky a na konečná sjednocení.

Question 2

sigma-algebra

Answer 2

Množina podmnožin je sigma-algebra, pokud je neprázdná, uzavřená na doplňky a na spočetná sjednocení.

Question 3

semialgebra

Answer 3

Množina podmnožin je semialgebra pokud obsahuje Omega a prázdnou množinu, je uzavřená na konečné průniky a doplněk každého prvku lze zapsat jako konečné sjednocení disjunktních prvků.

Question 4

Naivní konstrukce prostoru na [0, 1]

Answer 4

J = {všechny intervaly tvarů …}
Požadujeme P(I) = b-a
J je semialgebra a přidáním všech konečných sjednocení získáme algebru.
Avšak ani pro přidání konečných a spočetných sjednocení nedostaneme sigma algebru

Question 5

Věta o rozšíření

Answer 5

Nechť J je semialgebra a nechť zobrazení P: J-> [0,1] má následující vlastnosti:
- P(0) = 0, P(Omega) = 1
- Konečná superaditivita: Pro vzájemně disjunktní A1, A2,…, An, UAi in J, platí P(U Ai) >= Suma P(Ai)
- sigma-monotonie: Pro A1, A2,… A in U Ai, platí P(A) <= Suma P(Ai)
Potom existuje sigma algebra a spočetně aditivní pravděpodobnost P, tak, že P(A) = P(A) pro A z J

Question 6

Lebesgueova míra

Answer 6

Pravděpodobnostní míra zkonstruovaná rozšířením J na sigma algebru. Značí délku intervalu

Question 7

Borelovská sigma algebra

Answer 7

sigma algebra generovaná systémem J, nejmenší sigma algebra obsahující J

Question 8

Pravděpodobnostní prostor a házení mincí

Answer 8

Omega = {(b1, b2, …); bk in 01}
Aa1,a2,…,an = {(b1,b2,…) in Omega, ak=bk}
P(Aa1,…,an) = 1/2^n
J={Aa1,…,an; n in N} U Omega, 0
J je semialgebra a P je na J aditivní (dokonce sigma aditivní)
Použijeme větu o rozšíření
Hn={(b1,….) in Omega; bn=1}
Každé x z [0,1] lze jednoznačně zapsat ve tvaru binárního rozvoje Suma_k bk/2^k, a lze ho jednoznačně ztotožnit s jednou z posloupností (b1,…) hodů mincí.
Pravděpodobnostní prostor házení mincí tedy v podstatě odpovídá Lebesgueově míře.