12 Náhodný proces, filtrace, martingál Flashcards

1
Q

Náhodný proces

A

Nechť (Omega, A, P) je pravděpodobnostní prostor a T je indexová množina. Náhodný proces {X(w,t); t z T} je zobrazení X: Omega x T -> R, které je A-měřitelné

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Trajektorie

A

X(t) = X(t,w) pro pevné w

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Náhodná veličina

A

X(w) = X(t,w) pro fixní t

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Charakteristiky náhodného procesu

A

mi(t) = E(X(t))
var(X(t)) = gamma(t,t)
gamma(s,t) = cov(X(s),X(t))
ro(s,t) = cor(X(s), X(t))

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Distribuční funkce náhodného procesu

A

Systém funkcí Ft(X) = Ft1,…,tn(x1,…,xn) = P(X(t1) <= x1, …, X(tn) <= xn) pro n z N, …

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu

A

PX(t)(B) = P(X-1(B,t)) = P({w: X(w,t) v B}) pro B z Borel a t z T

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Kolmogorovy podmínky

A

symetrie: pro libovolnou permutaci indexů platí že distribuční funkce s prohozenými argumenty jsou si rovny
konzistence: pro libovolné t platí lim Ft1,…,tn,t(x1,…,xn, x) = Ft1,…,tn(x1,…,xn)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Kolmogorova věta

A

K systému funkcí Ft(x) splňující kolmogorovy podmínky existuje pravděpodobnostní prostor a na něm náhodný proces {X(t)} takový, že Ft(x) je jeho systém distribučních funkcí.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Filtrace

A

Filtrace pravděpodobnostního prostoru je systém množin Ft splňující pro všechna s,t >= 0:
Ft je sigma algebra
Ft <= A
s<=t: Fs <= Ft

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Adaptace vzhledem k filtraci

A

Náhodný proces je adaptovaný vzhledem k filtraci Ft pokud pro všechna t>=0, B z Borel: {w: X(t,w) z B} náleží Ft

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Přirozená filtrace

A

Přirozená filtrace A vzhledem k náhodnému procesu je filtrace FtX = sigma(X-1(B,s); s<=t, B z Borel) pro všechna T

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Historie

A

Historie náhodného procesu je přirozená filtrace A vzhledem k danému procesu

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Martingal

A

Náhodný proces je martingal vzhledem k filtraci Ft, pokud:
M je adaptovaný vzhledem k Ft
E(|M(t)|) < nekonečno
E(M(t)|Fs) = M(s)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Submartingal

A

E(M(t)|Fs) >= M(s)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Supermartingal

A

E(M(t)|Fs) <= M(s)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Stopping time

A

Náhodná veličina tau se nazývá stopping time vzhledem k filtraci Ft pokud {tau<=t} náleží Ft pro všechna t>=0

Náhodný proces I{t < tau} musí být adaptovaný vzhledem k filtraci Ft

Lze ho vnímat jako náhodný čas, v němž sledovaný náhodný proces splní určitou podmínku, tzv. pravidlo zastavení, založenou na současném a historickém chování procesu

17
Q

First hitting time

A

taua = min{t >= 0: X(t) = a}

18
Q

First passage time

A

taua = min{t >= 0: X(t) >= a}