12 Náhodný proces, filtrace, martingál Flashcards
Náhodný proces
Nechť (Omega, A, P) je pravděpodobnostní prostor a T je indexová množina. Náhodný proces {X(w,t); t z T} je zobrazení X: Omega x T -> R, které je A-měřitelné
Trajektorie
X(t) = X(t,w) pro pevné w
Náhodná veličina
X(w) = X(t,w) pro fixní t
Charakteristiky náhodného procesu
mi(t) = E(X(t))
var(X(t)) = gamma(t,t)
gamma(s,t) = cov(X(s),X(t))
ro(s,t) = cor(X(s), X(t))
Distribuční funkce náhodného procesu
Systém funkcí Ft(X) = Ft1,…,tn(x1,…,xn) = P(X(t1) <= x1, …, X(tn) <= xn) pro n z N, …
Rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu
PX(t)(B) = P(X-1(B,t)) = P({w: X(w,t) v B}) pro B z Borel a t z T
Kolmogorovy podmínky
symetrie: pro libovolnou permutaci indexů platí že distribuční funkce s prohozenými argumenty jsou si rovny
konzistence: pro libovolné t platí lim Ft1,…,tn,t(x1,…,xn, x) = Ft1,…,tn(x1,…,xn)
Kolmogorova věta
K systému funkcí Ft(x) splňující kolmogorovy podmínky existuje pravděpodobnostní prostor a na něm náhodný proces {X(t)} takový, že Ft(x) je jeho systém distribučních funkcí.
Filtrace
Filtrace pravděpodobnostního prostoru je systém množin Ft splňující pro všechna s,t >= 0:
Ft je sigma algebra
Ft <= A
s<=t: Fs <= Ft
Adaptace vzhledem k filtraci
Náhodný proces je adaptovaný vzhledem k filtraci Ft pokud pro všechna t>=0, B z Borel: {w: X(t,w) z B} náleží Ft
Přirozená filtrace
Přirozená filtrace A vzhledem k náhodnému procesu je filtrace FtX = sigma(X-1(B,s); s<=t, B z Borel) pro všechna T
Historie
Historie náhodného procesu je přirozená filtrace A vzhledem k danému procesu
Martingal
Náhodný proces je martingal vzhledem k filtraci Ft, pokud:
M je adaptovaný vzhledem k Ft
E(|M(t)|) < nekonečno
E(M(t)|Fs) = M(s)
Submartingal
E(M(t)|Fs) >= M(s)
Supermartingal
E(M(t)|Fs) <= M(s)