7 Nerovnosti pro náhodné veličiny, konvergence

Question 1

Markovova nerovnost

Answer 1

Nechť X je nezáporná náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P). Potom pro všechna a > 0 platí P(X >= a) <= E(X)/a.

Question 2

Čebyševova nerovnost

Answer 2

Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P). Potom pro všechna a > 0 platí P(|X - E(X)| >= a) <= Var(X)/a^2.

Question 3

Cauchyova-Schwarzova nerovnost

Answer 3

Nechť X, Y jsou náhodné veličiny s konečnými druhými momenty na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P). Potom platí [E(|XY|)]^2 <= E(X^2)E(Y^2) .

Question 4

Jensenova nerovnost

Answer 4

Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P). Nechť h: R -> R je libovolná konvexní funkce. Potom platí E(h(X)) >= h(E(X))

Question 5

Bodová konvergence

Answer 5

Posloupnost náhodných veličin Xn na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) konverguje bodově k náhodné veličině X, Xn -> X, lim Xn = X, pokud lim Xn(w) = X(w) pro každé w z Omega.

Question 6

Konvergence skoro jistě

Answer 6

Posloupnost náhodných veličin Xn na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) konverguje skoro jistě (a.s.) k náhodné veličině X, Xn -a.s.-> X, pokud P(lim Xn = X) = P({w z Omega: lim Xn(w) = X(w)}) = 1

Question 7

Konvergence podle pravděpodobnosti

Answer 7

Posloupnost náhodných veličin Xn na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) konverguje podle pravděpodobnosti k náhodné veličině X, Xn -p-> X, pokud pro všechna e > 0: lim P(|Xn - X| >= e) = lim P({w z Omega: |Xn(w) - X(w)| >= e}) = 0

Question 8

Lp konvergence

Answer 8

Posloupnost náhodných veličin Xn na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) v p-tém momentu k náhodné veličině X, Xn -Lp-> X, pokud lim E(|Xn - X|^p) = 0

Question 9

Konvergence skoro všude

Answer 9

Posloupnost náhodných veličin Xn na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) konverguje skoro všude (a.e.) k náhodné veličině X, Xn -a.e.-> X, pokud mi(lim Xn != X) = mi({w z Omega: lim Xn(w) != X(w)}) = 0

Question 10

Konvergence podle míry

Answer 10

Posloupnost náhodných veličin Xn na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) konverguje podle míry k náhodné veličině X, Xn -mi-> X, pokud pro všechna e > 0: lim mi(|Xn - X| >= e) = lim mi({w z Omega: |Xn(w) - X(w)| >= e}) = 0

Question 11

Vlastnosti konvergencí

Answer 11

• Xn -> X => Xn -a.s.-> X
• P(|Xn - X| >= e i.o.) = 0 => Xn -a.s.->X
• Pokud je míra mi konečná a Xn -a.e.->X, pak Xn -mi-> X
• Pokud Xn -mi-> X a Xn -mi-> Y, potom mi(X!=Y) = 0
• Pokud Xn -mi-> X, potom existuje posloupnost Xnk <= Xn a n.v. Y tak, že Xnk -a.e.-> Y a mi(X != Y) = 0
• Pokud Xn -a.e.-> X a Xn -a.e.-> Y, pak mi(X != Y) = 0
• Pokud Xn -L2-> X, pak Xn -p-> X
• Pokud Xn -a.s.-> X a Xn -L1-> Y, pak P(X=Y) = 1

Question 12

Slabý zákon velkých čísel

Answer 12

Nechť X1, X2, …. je posloupnost náhodných veličin se stejnou střední hodnotou mi = E(Xk) a se stejným rozptylem sigma^2, který je shora omezený. Potom pro každé e > 0 platí: lim P(|1/n Suma Xk - mi| >= e) = 0.

Posloupnost průměrů konverguje pro n v pravděpodobnosti k mi

Question 13

Silný zákon velkých čísel

Answer 13

Nechť X1, X2, …. je posloupnost náhodných veličin se stejnou střední hodnotou mi a stejným čtvrtým momentem. Potom platí P(lim 1/n Suma Xk = mi) = 1.
Posloupnost částečných průměrů konverguje skoro jistě k mi.

Question 14

I.d. náhodné veličiny

Answer 14

Náhodné veličiny v systému Xk jsou i.d., pokud pro libovolnou borelovsky měřitelnou funkci h střední hodnota E(h(Xk)) nezávisí na indexu k

Question 15

I.i.d náhodné veličiny

Answer 15

Náhodné veličiny v systému Xk jsou iid, pokud jsou i.d. a navíc jsou vzájemně nezávislé.