11 Podmíněná pravděpodobnost a střední hodnota

Question 1

Sub sigma-algebra

Answer 1

Množina H je sub sigma-algebra, pokud H<=A a je sigma algebrou na Omega

Náhodná veličina X na (Omega, A, P) je H-měřitelná, pokud X-1((-nekonečno, x]) je v H pro všechna x.

Sub sigma-algebra sigma(X) generovaná X je nejmenší sigma-algebra, vzhledem k níž je X měřitelná

Question 2

Podmíněná střední hodnota

Answer 2

Podmíněná střední hodnota náhodné veličiny Y při dané X je sigma(X)-měřitelná náhodná veličina h(X) = E(Y|X): E[h(X) Ic] = E[Y Ic] pro všechna c z sigma(X)

Question 3

Podmíněná pravděpodobnost

Answer 3

Podmíněná pravděpodobnost jevu A při dané X je sigma(X)-měřitelná náhodná veličina g(X) = P(A|X): E[g(X) Ic] = E[IA Ic] = P(A průnik C) pro všechna c z sigma(X)

Question 4

Konstrukce podmíněné pravděpodobnosti a střední hodnoty

Answer 4

Pro C z sigma(X) zavedeme následující míry:
P0 jako restrikci P na sigma(X), tj. P0(C) = P(C)
v předpisem v(C) = P(A průnik C)
mi+ a mi- předpisy mi+(C) = E(Y+ IC) a mi-(C) = E(Y- IC)
Všechny zavedené míry jsou absolutně spojité vzhledem k P0. Podle R-N věty tedy existují RN derivace a jsou určeny jednoznačně.
E(Y|X)(w) = dmi+/dP0 (w) - dmi-/dP0 (w)
P(A|X)(w) = dv/dP0

Question 5

Podmíněný rozptyl

Answer 5

Var(Y|X) = E[(Y-E(Y|X))^2|X]
Var(Y) = E[Var(Y|X)] + Var[E(Y|X)]

Question 6

Řeťezení podmínek

Answer 6

Nechť X a Y jsou náhodné veličiny, E(Y) < nekonečno, E(XY) < nekonečno, H je sub sigma algebra a nechť X je H měritelná. Potom s pravděpodobností 1 platí:
E(XY|H) = XE(Y|H)
E[E(X|H2)|H1] = E(X|H1) pro H1 < H2