5 Náhodná veličina, střední hodnota

Question 1

Náhodná veličina

Answer 1

Zobrazení X: Omega -> R splňující podmínku { w z Omega: X(w) <=x } náleží A pro všechna x z R.
Neboli X-1(B) = {X náleží B} = {w z Omega: X(w) náleží B} náleží A pro všchny B z borelovské sigma algebry.

Question 2

Borelovsky měřitelná funkce

Answer 2

Funkce h: R -> R je borelovsky měřitelná, pokud h-1(B) náleží do Borel. sigma algebry pro všechna B

Question 3

Stochastická nezávislost jevů

Answer 3

Jevy {Ai} jsou stochasticky nezávislé, pokud pro každé n a každou volbu indexů {i1, …, in} platí P(Průnik Aik) = Pi P(Aik).

Question 4

Stochastická nezávislost náhodných veličin

Answer 4

Systém náhodných veličin {Xi} je stochasticky nezávislý, pokud pro každé n a každou volbu indexů {i1, …, in} a každé B1, …, Bn jsou jevy Xi1-1(B1), …, Xin-1(Bn) stochasticky nezávislé, tj. platí P(Průnik Xik náleží Bk) = Pi P(Xik náleží Bk).

Question 5

Jednoduchá náhodná veličina

Answer 5

Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Omega, A, P) je jednoduchá, pokud je její obor hodnot konečná množina.
Lze ji zapsat ve tvaru X(omega) = Suma xk IAk(omega), kde Ak = X-1({xk}) jsou vzory obrazů {xk}

Question 6

Střední hodnota jednoduché n.v.

Answer 6

E(X) = E(Suma xk IAk) = Suma xk * P(Ak) = Suma xk*P(X=xk)
Vážený průměr hodnot jednoduché náhodné veličiny

Question 7

Vlastnosti střední hodnoty jednoduché n.v.

Answer 7

E(IA) = P(A)
E(c) = c
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
E(X) <= E(Y) pro X <= Y
|E(X)| <= E(|X|).
E(XY) = E(X) E(Y) pro nezávislé X a Y
Y = h(X): E(Y) = E(h(X)
Var(X) = E([X - E(X)]^2) = E(X^2) - E(X)^2
Var(aX+b) = a^2 Var(X)
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + Cov(X,Y)

Question 8

Kovariance

Answer 8

Cov(X,Y) = E([X-E(X)][Y-E(Y)]) = E(XY) - E(X)E(Y)

Question 9

Střední hodnota nezáporné náhodné veličiny

Answer 9

E(X) = sup{E(Y): Y je jednoduchá náhodná veličina, Y <= X}

Question 10

Monotónní konvergence

Answer 10

Posloupnost náhodných veličin Xi konverguje monotónně k náhodné veličině X, Xn /> X, pokud X1(w) <= X2(w) <= …. a lim Xn(w) = X(w) pro všechna w z Omega.
Pokud konvergují, platí lim E(Xn) = E(X)

Question 11

Střední hodnota obecné náhodné veličiny

Answer 11

E(X) = E(X+) - E(X-), kde X+(w) = max{0, X(w)} a X-(w) = max{0, -X(w)}